切頂二十二十面体

幾何学において、切頂二十二面体、菱形切頂二十二面体、^[1] 大菱形十二面体、^{[2] [3]} 全切頂十二面体または全切頂二十面体^[4]は、 2種類以上の正多角形の面によって構成される13個の凸状、等角状、非柱状立体であるアルキメデスの立体である。

面の数は 62 で、そのうち 30 が正方形、20 が正六角形、12 が正十角形です。すべてのプラトン立体およびアルキメデス立体の中で辺と頂点の数が最も多いですが、面の数はスナブ十二面体の方が多くなっています。すべての頂点推移多面体の中で、それが内接する球面の体積に占める割合が最も高く (89.80% )、スナブ十二面体 (89.63%) や小菱形十二面体 (89.23%)を僅差で上回り、切頂二十面体(86.74%)とは僅差で上回っています。また、辺の長さが 1 のとき、切頂二十二面体は断然最大の体積 (206.8 立方単位) を持ちます。角柱や反角柱以外の頂点推移多面体の中で、各頂点の角度の合計 (90 + 120 + 144 = 354 度) が最も大きく、60 辺を超える角柱や反角柱のみがこれより大きな合計を持ちます。各面が点対称(つまり、180°回転対称) であるため、切頂二十二面体は15面体です。

大菱形十二面体という名前は、（小さな）菱形十二面体との関係を指しています（「解剖」のセクションを参照）。同様の名前を持つ非凸均一多面体として、非凸大菱形十二
面体 があります。

辺の長さがaの切頂二十二面体の表面積Aと体積Vは、次のとおりである。^[要出典]

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}&&\approx 174.292\,0303a^{2}.\\V&=\left(95+50{\sqrt {5}}\right)a^{3}&&\approx 206.803\,399a^{3}.\end{aligned}}}$

すべての辺の長さが等しい 13 個のアルキメデス立体のセットを構築すると、切頂二十二面体が最大になります。

 原点を中心とし、辺の長さが2φ−2の切頂二十面体の頂点の直交座標は、以下の偶数順列である: ^[5]

（± ⁠1/φ⁠、± ⁠1/φ⁠、±(3 +  φ ))、

（± ⁠2/φ⁠、± φ、±(1 + 2 φ ))、

（± ⁠1/φ⁠、± φ ²、±(−1 + 3 φ ))、

(±(2 φ  − 1)、±2、±(2 +  φ )) および

（± φ、±3、±2 φ）、

ここでφ  =  ⁠1 + √ 5/2⁠ は黄金比です。

切頂二十二面体は、菱二十二十十二面体の凸包で、その 30 個の正方形の上に直方体があり、高さと底辺の比はφです。残りの空間は、内側の五角形と外側の十角形の間で12 個、内側の三角形と外側の六角形の間で20 個の不均一なキューポラに分割できます。

別の分割法でも、菱形十二面体コアが存在します。内側の五角形と外側の十角形の間に 12 個の五角形の円形があります。残りの部分はドーナツ状の多面体です。

切頂二十二面体には、頂点を中心とし、3 種類の辺と、正方形、六角形、十角形の 3 種類の面を持つ 7 つの特殊な直交投影があります。最後の 2 つは、A ₂コクセター平面と H ₂ コクセター平面に対応します。

切頂二十二面体は球面タイリングとして表現することもでき、立体投影によって平面に投影されます。この投影は等角投影であり、角度は保存されますが、面積や長さは保存されません。球面上の直線は平面上に円弧として投影されます。

シュレーゲル図も同様で、透視投影と直線のエッジを備えています。

二十面体対称性の範囲内で、等角面を持つ切頂二十二十十二面体の幾何学的バリエーションが無限に存在します。切頂十二面体、菱形二十十二面体、切頂二十面体は退化した極限ケースです。

切断された二十面体グラフ
5回対称性
頂点	120
エッジ	180
半径	15
直径	15
胴回り	4
自己同型	120（A5 × 2）
彩度数	2
プロパティ	立方、ハミルトン、正則、ゼロ対称
グラフとパラメータの表

数学のグラフ理論の分野において、切頂二十二面体グラフ（または大菱形二十二十二面体グラフ）は、アルキメデスの立体の1つである切頂二十二面体の頂点と辺のグラフである。これは120の頂点と180の辺を持ち、ゼロ対称で立方体のアルキメデスのグラフである。^[6]

この多面体は、頂点図形（4.6.2 p）とコクセター・ディンキン図を持つ一様なパターンの列のメンバーと考えることができる。 p < 6の場合 、シーケンスのメンバーは、以下に球状のタイリングとして示される、全切頂多面体 (ゾノヘドロン) です。p > 6 の場合、それらは、切頂三七角形のタイリング から始まる双曲面のタイリングです。

• ウェニンガー、マグナス（1974）、多面体モデル、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-09859-5、MR  0467493
• クロムウェル、P. (1997)。多面体。イギリス：ケンブリッジ。pp. 79–86アルキメデスの立体。ISBN 0-521-55432-2。
• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。
• クロムウェル、P.; 多面体、CUP hbk (1997)、pbk. (1999)。
• Weisstein, Eric W.、「GreatRhombicosidodecahedron」（「アルキメデスの立体」） at MathWorld。
• Klitzing、Richard。「3D 凸均一多面体 x3x5x - グリッド」。

• Weisstein、Eric W.「大菱形十二面体」。MathWorld。
• * Weisstein、Eric W.「偉大な菱形十二面体グラフ」。MathWorld。
• インタラクティブな 3D ビューを備えた、編集可能で印刷可能な切頂二十面体のネット
• 均一な多面体
• バーチャルリアリティ多面体 多面体百科事典