切頂立方八面体

切頂立方八面体グラフ
切頂立方八面体グラフ
	4回対称性
頂点	48
エッジ	72
自己同型	48
彩度数	2
プロパティ	立方、ハミルトン、正則、ゼロ対称
	グラフとパラメータの表

幾何学において、切頂立方八面体または大菱形立方八面体は、アルキメデスの立体であり、ケプラーが立方八面体の切頂として名付けた。切頂立方八面体は、12 の正方形面、8 つの正六角形面、6 つの正八角形面、48 の頂点、72 の辺を持つ。切頂立方八面体の各面は点対称(つまり、180°回転対称) であるため、切頂立方八面体は9面体である。切頂立方八面体は、八角柱で敷き詰めることができる。

名前

同様の名前を持つ非凸一様多面体として、非凸大菱形八面体があります。

直交座標

辺の長さが 2 で中心が原点にある切頂立方八面体の頂点の直交座標は、次のすべての順列です。 ${\Bigl (}\pm 1,\quad \pm \left(1+{\sqrt {2}}\right),\quad \pm \left(1+2{\sqrt {2}}\right){\Bigr )}.$

面積と体積

辺の長さがaの切頂立方八面体の面積Aと体積Vは次のようになります。

{\begin{aligned}A&=12\left(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 61.755\,1724~a^{2},\\V&=\left(22+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}&&\approx 41.798\,9899~a^{3}.\end{aligned}}

解剖

切頂立方八面体は、 2 倍対称軸上の 12 個の正方形の上に立方体がある菱形立方八面体の凸包です。残りの空間は、八角形の下の 6 個の正方形キューポラと、六角形の下の 8 個の三角形キューポラに分割できます。

分割された切頂立方八面体から、中央の菱形八面体と、それぞれ 6 つの正方形キューポラ、8 つの三角形キューポラ、または 12 個の立方体を取り除くことで、種数 5、7、または 11 のスチュワートトロイドを作成できます。中央の菱形八面体と、その他の分割コンポーネントのサブセットを取り除くことで、他の多くの対称性の低いトロイドも作成できます。たとえば、三角形キューポラを 4 つ取り除くと、種数 3 のトロイドが作成されます。これらのキューポラが適切に選択されている場合、このトロイドは四面体対称性を持ちます。^[4]^[5]

均一なカラーリング

この多面体の面の色は均一で、面の種類ごとに 1 色ずつあります。

交互に色付けされた六角形には、四面体対称性を持つ 2 均一色付けが存在します。

直交投影

切頂立方八面体は、 A2コクセター平面とB2コクセター平面に_[ 6 _]と[8]の射影対称性を持つ2つの特別な直交射影を持ち、多面体要素に対するさまざまな射影平面から多数の[2]対称性を構築できます。

球状タイル

切頂立方八面体は球面タイリングとして表現することもでき、立体投影によって平面に投影されます。この投影は等角投影であり、角度は保存されますが、面積や長さは保存されません。球面上の直線は、平面上に円弧として投影されます。

完全八面体群

他の多くの立体と同様に、切頂八面体は完全な八面体対称性を持っていますが、完全な八面体群との関係はそれよりも密接です。切頂八面体の 48 個の頂点は群の要素に対応し、その双対の各面は群の基本領域です。

右側の画像は、サンプルオブジェクト (左側の明るい JF 複合) に適用されたグループ内の 48 個の順列を示しています。24 個の明るい要素は回転であり、暗い要素はそれらの反射です。

立体のエッジは、グループ内の 9 つの反射に対応します。

八角形と正方形の間のものは、向かい合う八角形の間の 3 つの反射に対応します。
六角形の辺は、向かい合う正方形の間の 6 つの反射に対応します。
（向かい合う六角形の間では反射はありません。）

サブグループは、切頂八面体のそれぞれの頂点を共有する立体に対応します。
たとえば、24 個の要素を持つ 3 つのサブグループは、キラル八面体対称性を持つ不均一なスナブ立方体、黄鉛面体対称性を持つ不均一な菱立方八面体(カンティックスナブ八面体)、および完全な四面体対称性を持つ不均一な切頂八面体に対応します。12 個の要素を持つ唯一のサブグループは交代群A ₄です。これは、キラル四面体対称性を持つ不均一な二十面体に対応します。