等角多角形

ユークリッド幾何学では、正角多角形は頂点の角度が等しい多角形です。辺の長さも等しい場合（つまり、正多角形でもある場合）、それは正多角形です。等角多角形は、2 つの辺の長さが交互になっている正角多角形です。

明確にするために、平面等角多角形は直接または間接と呼ぶことができます。直接等角多角形は、平面内ですべての角度が同じ方向に向いており、複数の回転を含めることができます。凸等角多角形は常に直接です。間接等角多角形には、右または左に曲がる角度を任意の組み合わせで含めることができます。斜め等角多角形は等角である可能性がありますが、非平面であるため直接とは見なされません。

スパイロラテラル n _{θ は}、頂点の内角が θ で、開始点に戻るまで n個の整数辺の長さが繰り返される等角多角形の特殊なケースです。

等角多角形は、辺が無限の線として延長された正多角形または正星型多角形から構築できます。各辺は、線の方向に対して垂直に独立して移動できます。頂点は、隣接する線のペア間の交点を表します。移動した各線は、その辺の長さと、2 つの隣接する辺の長さを調整します。^[1]辺の長さがゼロになると、多角形は縮退し、負の長さに短縮されると、内角と外角が逆転します。

内角が θ° である偶数辺の直接等角多角形の場合、交互の辺を移動することで、すべての頂点を補角 180-θ° に反転できます。奇数辺の直接等角多角形は部分的にしか反転できず、補角が混在したままになります。

すべての等角多角形は、この構成によって比率を調整でき、等角の状態を維持できます。

凸等角 p角形の場合、各内角は180(1-2/ p )°です。これが等角多角形定理です。

直接等角p / q 星型多角形、密度 qの場合、各内角は 180(1-2 q / p )° で、 1<2 q < pです。w =gcd( p , q )>1 の場合、これはw巻の ( p / w )/( q / w ) 星型多角形を表し、通常の場合には退化します。

凹状の間接等角( p _r + p _l ) 角形は、右折頂点がp _{r 個}、左折頂点がp _l個あり、頂点の順序に関係なく、内角は 180(1-2/| p _r - p _l |))° になります。間接星型等角( p _r + p _l ) 角形は、右折頂点がp _r個、左折頂点がp _{l 個}で、総回転数がq 個あり、頂点の順序に関係なく、内角は 180(1-2 q /| p _r - p _l |))°になります。右折と左折の数が同じ等角多角形は、総回転数が 0 であり、角度に制約はありません。

すべての直接等角p角形には、正多角形{ p } や正星型多角形{ p / q }のように、 p 個の頂点と密度q を持つ星を含む、< p > または < p / q >という表記が与えられます。

凸等角p角形<p>は内角が180(1-2/ p )°であるのに対し、直線星型等角多角形< p / q >は内角が180(1-2q / p ) °である。

凹状の間接等角p角形は、 c 個の逆回転頂点を持つ < p -2 c > と表記できます。たとえば、 <6-2> は、差 <4> の内角が 90° の六角形で、 1 つの逆回転頂点があります。多重回転の間接等辺p角形は、 c 個の逆回転頂点と合計回転数がqである < ^{p -2 c} / _q >と表記できます。等角多角形 < p - p > は、定義されていない内角 θ を持つp角形ですが、明示的に < p - p > _θと表現できます。

ヴィヴィアーニの定理は等角多角形に対して成り立つ：^[2]

等角多角形の内部点から各辺までの距離の合計は、その点の位置には依存せず、その多角形の不変量となります。

環状多角形が等角となるのは、交互の辺が等しい場合（つまり、辺 1、3、5、... が等しく、辺 2、4、... が等しい場合）のみです。したがって、nが奇数の場合、環状多角形が等角となるのは、それが正多角形である場合のみです。^[3]

素数pに対して、すべての整数辺等角p角形は正則である。さらに、すべての整数辺等角p ^k角形はp回回転対称性を持つ。^[4]

辺の長さの順序付けられた集合が等角n角形を生成するには、2つの同等の条件のいずれかが多項式に成立し、それが割り切れる複素数値においてゼロになる必要がある^[5]${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle a_{1}+a_{2}x+\cdots +a_{n-1}x^{n-2}+a_{n}x^{n-1}:}$${\displaystyle e^{2\pi i/n};}$${\displaystyle x^{2}-2x\cos(2\pi /n)+1.}$

直接等角多角形は、正多角形、等角多角形、または低対称性になります。< p / q > の例は、 pによってセクションにグループ化され、密度qによってサブグループ分けされます。

等角三角形は凸型で、内角は 60° でなければなりません。これは、正三角形であり、正三角形です(<3>={3})。自由度は、辺の長さのみです。

• 
  通常、{3}、r ₆

等角四辺形の内角は 90° です。等角四辺形は長方形、<4> と正方形、{4} のみです。

辺の長さが整数である等角四辺形は単位正方形でタイル張りすることができる。^[6]

• 
  通常、{4}、r ₈
• 
  スパイロラテラル2 _90°、p ₄

直角五角形<5> と <5/2> の内角はそれぞれ 108° と 36° です。

等角五角形の内角108° 、<5>

等角五角形は、正五角形、左右対称形、または非対称形のいずれかになります。

• 
  レギュラー、r ₁₀
• 
  左右対称、i ₂
• 
  対称性なし、₁

等角五角形の内角36° 、<5/2>

• 
  正五芒星、r ₁₀
• 
  不規則、d ₂

直角六角形<6> と <6/2> の内角はそれぞれ 120° と 60° です。

等角六角形の120°の内角、<6>

整数の辺を持つ等角六角形は単位正三角形でタイル張りすることができる。^[6]

• 
  通常、{6}、r ₁₂
• 
  スパイロラテラル（1,2）_120°、_p6
• 
  スパイロラテラル（1…3）_120°、g ₂
• 
  スパイロラテラル（1,2,2）_120°、i ₄
• 
  スパイロラテラル（1,2,2,2,1,3）_120°、p ₂

等角二重巻三角形の60°の内角、<6/2>

• 
  正規、退化、r ₆
• 
  スパイロラテラル（1,3）_60°、p ₆
• 
  スパイロラテラル（1,2）_60°、p ₆
• 
  スパイロラテラル（2,3）_60°、p ₆
• 
  スパイロラテラル（1,2,3,4,3,2）_60°、p ₂

直角二等角七角形、<7>、<7/2>、<7/3> の内角はそれぞれ 128 4/7°、77 1/7°、25 5/7° です。

等角七角形の内角は128.57° 、<7>

• 
  レギュラー、{7}、r ₁₄
• 
  不規則、i ₂

77.14° 等角七角形の内角、<7/2>

• 
  レギュラー、r ₁₄
• 
  不規則、i ₂

25.71°等角七角形の内角 、<7/3>

• 
  レギュラー、r ₁₄
• 
  不規則、i ₂

直角八角形<8>、<8/2>、<8/3> の内角はそれぞれ 135°、90°、45° です。

等角八角形の135°の内角、<8>

• 
  レギュラー、r ₁₆
• 
  脊柱外側角（1,2）_135°、_p8
• 
  スパイロラテラル（1…4）_135°、g ₂
• 
  不等角切形正方形、p ₂

等角二重巻き正方形の90°内角、<8/2>

• 
  正規退化、r ₈
• 
  スパイロラテラル（1,2,2,3,3,2,2,1）_90°、d ₂
• 
  スパイロラテラル（2,1,3,2,2,3,1,2）_90°、d ₂

等角八角形の内角45° 、<8/3>

• 
  レギュラー、r ₁₆
• 
  等角、p ₈
• 
  等角、p ₈
• 
  スパイロラテラル、（1,2）_45°、p ₈
• 
  等角、p ₈
• 
  スパイロラテラル（1…4）_45°、g ₂

直角等角七角形<9>、<9/2>、<9/3>、<9/4> の内角はそれぞれ 140°、100°、60°、20° です。

等角七角形の140°の内角<9>

• 
  レギュラー、r ₁₈
• 
  スパイロラテラル（1,1,3）_140°、i ₆

等角エニアグラムの 100° 内角、<9/2>

• 
  通常版 {9/2}、p ₉
• 
  スパイロラテラル（1,1,5）_100°、i ₆
• 
  スパイロラテラル 3 _100°、g ₃

等角三重巻三角形の60°の内角、<9/3>

• 
  正規、退化、r ₆
• 
  不規則、₁
• 
  不規則、₁
• 
  不規則、₁

等角エニアグラムの内角20° 、<9/4>

• 
  レギュラー {9/4}、r ₁₈
• 
  スパイロ外側3 _20°、g ₃
• 
  不規則、i ₂

直角正十角形<10>、<10/2>、<10/3>、<10/4> の内角はそれぞれ 144°、108°、72°、36° です。

正十角形の144°の内角<10>

• 
  レギュラー、r ₂₀
• 
  脊柱外側角（1,2）_144°、_p10
• 
  脊柱外側角（1…5）_144°、g ₂

等角二重五角形の内角108° <10/2>

• 
  規則的、退化的
• 
  脊柱外側角（1,2）_108°、_p10
• 
  不規則、p ₂

等角十四角形の72°の内角<10/3>

• 
  レギュラー{10/3}、r ₂₀
• 
  等角、p ₁₀
• 
  スパイロラテラル（1,2）_72°、_p10
• 
  不規則、i ₄
• 
  スパイロラテラル（1…5）_72°、g ₂

等角二重五角形の内角36° <10/4>

• 
  正規、退化、r ₁₀
• 
  脊柱外側角（1,2）_36°、_p10
• 
  等角、p ₁₀
• 
  等角、p ₁₀
• 
  不規則、p ₂
• 
  不規則、p ₂
• 
  不規則、p ₂

直角等角十六角形<11>、<11/2>、<11/3>、<11/4>、<11/5> の内角はそれぞれ 147 3/11°、114 6/11°、81 9/11°、49 1/11°、16 4/11° です。

等角11角形の内角は147° 、<11>

• 
  レギュラー、{11}、r ₂₂

等角十二卦の内角は 114° 、<11/2>

• 
  レギュラー{11/2}、r ₂₂

等角十六卦の内角は 81° 、<11/3>

• 
  レギュラー {11/3}、r ₂₂

等角十六卦の内角49° 、<11/4>

• 
  レギュラー {11/4}、r ₂₂

等角十六卦の内角16° 、<11/5>

• 
  レギュラー{11/5}、r ₂₂

直角正十二角形<12>、<12/2>、<12/3>、<12/4>、<12/5> の内角はそれぞれ 150°、120°、90°、60°、30° です。

等角十二角形の150°の内角、<12>

整数辺長の凸解は、パターンブロック、正方形、正三角形、30°菱形に並べることができます。^[6]

• 
  レギュラー、{12}、r ₂₄
• 
  等角、p ₁₂
• 
  スパイロラテラル（1,2）_150°、_p12
• 
  スパイロラテラル（1…3）_150°、g ₄
• 
  スパイロラテラル（1…4）_150°、g ₃
• 
  スパイロラテラル（1…6）_150°、g ₂

等角二重巻き六角形の120°内角、<12/2>

• 
  正規退化、r ₁₂
• 
  スパイロラテラル、（1…4）_120°、g ₃
• 
  不規則、d ₂
• 
  不規則、d ₂

等角三重巻き四角形の90°内角、<12/3>

• 
  正規、退化、r ₈
• 
  スパイロラテラル（1…3）_90°、g ₂
• 
  スパイロラテラル（2…4）_90°、g ₄
• 
  スパイロラテラル（1,1,3）_90°、i ₈
• 
  スパイロラテラル（1,2,2）_90°、i ₈
• 
  スパイロラテラル（1…6）_90°、g ₂
• 
  不規則、₁

等角四重巻三角形の60°の内角、<12/4>

• 
  正規、退化、r ₆
• 
  スパイロラテラル（1,3,5,1）_60°、p ₆
• 
  スパイロラテラル（1…4）_60°、g ₃
• 
  不規則、₁

等角十二角形の30°の内角、<12/5>

• 
  レギュラー{12/5}、r ₂₄
• 
  等角、p ₁₂
• 
  スパイロラテラル（1,2）_30°、_p12
• 
  スパイロラテラル（1…3）_30°、g ₄
• 
  スパイロラテラル（1…4）_30°、g ₃
• 
  スパイロラテラル（1…6）_30°、g ₂

直角正十四角形<14>、<14/2>、<14/3>、<14/4>、<14/5>、<14/6> の内角はそれぞれ 154 2/7°、128 4/7°、102 6/7°、77 1/7°、51 3/7°、25 5/7° です。

等角四角形の内角は154.28° 、<14>

• 
  レギュラー{14}、r ₂₈
• 
  等角、t{7}、p ₁₄

等角二重巻正七角形の内角は 128.57° 、<14/2>

• 
  正規退化、r ₁₄
• 
  等角、t{7/2}、p ₁₄
• 
  脊柱外側2 _128.57°

等角四辺形の内角は 102.85° 、<14/3>

• 
  レギュラー {14/3}、r ₂₈
• 
  等角t{7/3}、p ₁₄

等角二重巻き七芒星の内角は 77.14° <14/4>

• 
  正規退化、r ₁₄
• 
  等角、p ₁₄
• 
  等角、p ₁₄
• 
  脊柱外側2 _77.14°

等角四辺形の内角は 51.43° 、<14/5>

• 
  レギュラー{14/5}、r ₂₈
• 
  等角、p ₁₄
• 
  等角、p ₁₄

等角二重巻七芒星の内角は 25.71° 、<14/6>

• 
  正規退化、r ₁₄
• 
  等角、p ₁₄
• 
  等角、p ₁₄
• 
  等角、p ₁₄
• 
  不規則、d ₂

直角五角形<15>、<15/2>、<15/3>、<15/4>、<15/5>、<15/6>、<15/7> の内角はそれぞれ 156°、132°、108°、84°、60°、12° です。

等角五角形の内角は156°、<15>

• 
  レギュラー、{15}、r ₃₀

等角五芒星の内角は 132° 、<15/2>

• 
  レギュラー、{15/2}、r ₃₀

等角三重五角形の内角108°、<15/3>

• 
  正規、退化、r ₁₀
• 
  スパイロラテラル（1…3）_108°、g ₅

等角五角形の内角84°、<15/4>

• 
  レギュラー、{15/4}、r ₃₀

等角5角形三角形の60°の内角、<15/5>

• 
  正規、退化、r ₆
• 
  不規則、₁

等角三重五芒星の内角36° 、<15/6>

• 
  正規、退化、r ₁₀
• 
  不規則、₁
• 
  脊柱外側角（1…4）_36°、g ₅

等角五角形の内角12°、<15/7>

• 
  レギュラー、{15/7}、r ₃₀

直角等角十六角形<16>、<16/2>、<16/3>、<16/4>、<16/5>、<16/6>、<16/7> の内角はそれぞれ 157.5°、135°、112.5°、90°、67.5°、45°、22.5° です。

等角六角形の内角は157.5° 、<16>

• 
  レギュラー、{16}、r ₃₂
• 
  等角、t{8}、p ₁₆
• 
  脊柱外側角（1…4）_157.5°、g ₄

等角二重巻き八角形の内角135°、<16/2>

• 
  正規、退化、r ₁₆
• 
  不規則、p ₁₆

等角十六芒星の内角は112.5° 、<16/3>

• 
  レギュラー、{16/3}、r ₃₂

等角4角形の90°内角、<16/4>

• 
  正規、退化、r ₈
• 
  不規則、₁

等角十六芒星の内角は67.5° 、<16/5>

• 
  レギュラー、{16/5}、r ₃₂

等角二重巻き正八角形の内角45° 、<16/6>

• 
  正規、退化、r ₁₆
• 
  スパイロラテラル（1…3）_45°、g ₈

等角十六芒星の内角は22.5° 、<16/7>

• 
  レギュラー、{16/7}、r ₃₂
• 
  等角、p ₁₆

直角正八角形<18}、<18/2>、<18/3>、<18/4>、<18/5>、<18/6>、<18/7>、<18/8> の内角はそれぞれ 160°、140°、120°、100°、80°、60°、40°、20° です。

等角八角形の160°の内角、<18>

• 
  レギュラー、{18}、r ₃₆
• 
  等角、t{9}、p ₁₈

等角二重巻七角形からの140°の内角、<18/2>

• 
  規則的、退化的
• 
  スパイロラテラル2 _140°、p ₁₈

等角3角形六角形の120°内角<18/3>

• 
  通常、退廃、R ₁₈
• 
  不規則、₁

等角二重巻きエニアグラムの 100° 内角<18/4>

• 
  通常、退廃、R ₁₈
• 
  スパイロラテラル2 _100°、g ₃

等角八十四角形の80°の内角{18/5}

• 
  レギュラー、{18/5}、r ₃₆

等角6角形三角形の60°内角 <18/6>

• 
  正規、退化、r ₆
• 
  不規則、₁

等角八十四角形の40°の内角<18/7>

• 
  レギュラー、{18/7}、r ₃₆
• 
  等角、p ₁₈
• 
  等角、p ₁₈
• 
  等角、p ₁₈

等角二重巻きエニアグラムの20°内角<18/8>

• 
  通常、退廃、R ₁₈
• 
  等角、p ₁₈
• 
  等角、p ₁₈
• 
  等角、p ₁₈
• 
  等角、p ₁₈
• 
  スパイロ外側2 _20°、p ₁₈
• 
  スパイロ外側 6 _20°、g ₃

直角二等辺三角形<20>、<20/3>、<20/4>、<20/5>、<20/6>、<20/7>、<20/9> の内角はそれぞれ 162°、126°、108°、90°、72°、54°、18° です。

正二十角形からの内角は162° 、<20>

• 
  レギュラー、{20}、r ₄₀
• 
  脊柱外側角（1,3）_162°、p ₂₀

等角二重巻十角形の内角144° 、<20/2>

• 
  正規、退化、r ₂₀
• 
  脊柱外側部（1…4）_144°、g ₅

等角二十四角形の内角は 126° 、<20/3>

• 
  レギュラー{20/3}、p ₄₀
• 
  脊柱外側角（1,3）_126°、p ₂₀

等角4角形からの内角108° 、<20/4>

• 
  正規退化、r ₁₀
• 
  脊柱外側角（1…4）_108°、g ₅
• 
  不規則、₁

等角5角形からの90°の内角、<20/5>

• 
  正規退化、r ₈
• 
  スパイロラテラル（1…5）_90°、g ₄
• 
  スパイロラテラル（1,2,3,2,1）_90°、i ₈

等角二重巻き十四卦の内角72° 、<20/6>

• 
  正規退化、r ₂₀
• 
  スパイロラテラル（1,2）_72°、_p10
• 
  脊柱外側（1…4）_72°、g ₅

等角二十四角形の内角54° 、<20/7>

• 
  レギュラー{20/7}、r ₄₀
• 
  等角、p ₂₀
• 
  等角、p ₂₀
• 
  等角、p ₂₀

等角四重五芒星の内角36° 、<20/8>

• 
  正規退化、r ₁₀
• 
  脊柱外側角（1…4）_36°、g ₅
• 
  不規則、₁

等角二十四角形の内角18° 、<20/9>

• 
  レギュラー{20/9}、r ₄₀
• 
  等角、p ₂₀
• 
  等角、p ₂₀
• 
  等角、p ₂₀
• 
  等角、p ₂₀

• 脊柱外側

• ウィリアムズ、R.自然構造の幾何学的基礎：デザインのソースブック。ニューヨーク：ドーバー出版、1979年、p. 32

• 等角多角形の特性: それは何についてですか? Cut-the-knotでの Viviani の定理に関する議論。
• Weisstein、Eric W.「等角多角形」。MathWorld。