六角数

六角数は図形数です。n番目の六角数h _nは、最大n 個の点を持つ正六角形を重ねて 1 つの頂点を共有する場合に、その六角形の輪郭で構成される点のパターン内の異なる点の数です。

n番目の六角数 の公式

${\displaystyle h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={\frac {2n(2n-1)}{2}}.}$

最初のいくつかの六角数字（OEISのシーケンスA000384）は次のとおりです。

1、6、15、28、45、66、91、120、153、190、231、276、325、378、435、496、561、630、703、780、861、946 ...​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

すべての 16 角数は三角数ですが、他のすべての三角数 (1 番目、3 番目、5 番目、7 番目など) のみが 16 角数です。三角数と同様に、 10 進数の 16 角数のデジタル根は1、3、6、または 9 のいずれかになります。9 つの項ごとに繰り返されるデジタル根のパターンは、「1 6 6 1 9 3 1 3 9」です。

すべての偶数の完全数は六角形であり、次の式で与えられる。

${\displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}{\frac {M_{p}+1}{2}}=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}}}$

ここで、M _{p は}メルセンヌ素数です。奇数の完全数は知られていないため、既知の完全数はすべて六角形です。

たとえば、2 番目の六角数は 2×3 = 6、4 番目は 4×7 = 28、16 番目は 16×31 = 496、64 番目は 64×127 = 8128 です。

最大 4 つの六角数の和として表すことができない最大の数は130です。アドリアン・マリー・ルジャンドルは1830 年に、1791 より大きい 任意の整数をこの方法で表すことができることを証明しました。

さらに、5 つの六角数を使用して表現できない整数 (6 つの六角数では表現可能) は 11 と 26 の 2 つだけです。

六角数は、ウィンナーソーセージの標準的なパッケージをモデルにした中心六角数と混同しないでください。曖昧さを避けるために、六角数は「角六角数」と呼ばれることもあります。

正の整数xが六角数であるかどうかを効率的に調べるには、次のように計算すれ ばよい。

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}.}$

nが整数の場合、 x はn番目の六角数です。n が整数でない場合、 x は六角数ではありません。

• ${\displaystyle h_{n}\equiv n{\pmod {4}}}$
• ${\displaystyle h_{3n}+h_{2n}+h_{n}\equiv 0{\pmod {2}}}$

六角数列のn番目の数は、シグマ表記法を使って次のよう に表すこともできる。

${\displaystyle h_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{(4k+1)}}$

ここで、空の合計は 0 とみなされます。

六角数の逆数の和は2ln(2)であり、ここでlnは自然対数を表す。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(2k-1)}}&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}+{\frac {1}{2k}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&=2\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}dx\\&=2[\ln(1+x)]_{0}^{1}\\&=2\ln {2}\\&\approx {1.386294}\end{aligned}}}$

並べ替えると、次の式が得られます。

${\displaystyle h_{2n}=4h_{n}+2n}$

${\displaystyle h_{3n}=9h_{n}+6n}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle h_{m*n}=m^{2}h_{n}+(m^{2}-m)n}$

前の最終式をmとnに関して使用し、さらにいくつかの簡約と移動を行うと、次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {h_{m}+m}{h_{n}+n}}=\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}}$

${\displaystyle 12^{n-1}}$n >0には約数が存在します。 ${\displaystyle h_{n}}$

同様に、 pとqが異なる素数である形式の任意の自然数に対して、 n >0の場合、約数が存在します。 ${\displaystyle r=p^{2}q}$${\displaystyle r^{n-1}}$${\displaystyle h_{n}}$

証明。 に は という形の約数があります。ただし、k = 0 ... 2( n − 1), l = 0 ... n − 1です。kとlの各組み合わせは異なる約数を生み出すので、 には約数、つまり約数があります。∎ ${\displaystyle r^{n-1}=(p^{2}q)^{n-1}=p^{2(n-1)}q^{n-1}}$${\displaystyle p^{k}q^{l}}$${\displaystyle r^{n-1}}$${\displaystyle [2(n-1)+1][(n-1)+1]}$${\displaystyle (2n-1)n=h_{n}}$

六角形かつ完全な平方数である数列は、1、1225、1413721、... OEIS : A046177から始まります。

• 中心六角数

• Weisstein、Eric W.「六角数」。MathWorld。