正多角形

幾何学では、正多角形はすべての辺の長さが同じである多角形です。三角形の場合を除き、正多角形は必ずしも等角（すべての角度が等しい）である必要はありませんが、等角の場合は正多角形になります。辺の数が 4 以上の場合、正多角形は凸多角形である必要はなく、凹多角形や自己交差している多角形であってもかまいません。

すべての正多角形と辺推移多角形は正多角形です。正多角形が交差せず、循環的である場合（頂点が円上にある場合）、その多角形は正多角形でなければなりません。正四角形は凸型でなければなりません。この多角形は菱形（正方形の場合もあります）です。

凸状の正五角形は、 2 つの連続する角度で表すことができ、これらの角度が組み合わさって他の角度が決まります。ただし、正五角形や 5 辺を超える正多角形は凹面になることもあり、凹状の五角形が許可されると、2 つの角度だけでは五角形の形状を決定できなくなります。

接線多角形（すべての辺に接する内接円を持つ多角形）は、交互の角が等しい場合（つまり、角 1、3、5、... が等しく、角 2、4、... が等しい場合）に限り正多角形となります。したがって、辺の数nが奇数の場合、接線多角形が正多角形である場合に限り正多角形となります。^[1]

ヴィヴィアーニの定理は正多角形にも一般化される: ^[2]正多角形の内部点から各辺までの垂線距離の合計は、内部点の位置に依存しない。

六角形の主対角線はそれぞれ六角形を四辺形に分割する。共通の辺aを持つ任意の凸正六角形には、主対角線d ₁が存在し、^[3]

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leq 2}$

そして主対角線d ₂は

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}}$。

正多角形をルーロー多角形に内接させると、ラインハルト多角形が形成される。辺の数が同じすべての凸多角形の中で、これらの多角形は直径に対して可能な限り最大の周長、直径に対して可能な限り最大の幅、および周囲に対して可能な限り最大の幅を持つ。^[4]

• ウィキメディア・コモンズの正多角形に関連するメディア
• 正三角形 インタラクティブアニメーション付き
• 等角多角形の特性: それは何についてですか? Cut-the-knotでの Viviani の定理に関する議論。