八面体

幾何学において、八面体（オクタヘドラ、オクタヘドロン）は、8 つの面を持つ多面体です。特別な例として、正八面体があります。これは、各頂点で 4 つの正三角形が交わる 8 つの正三角形で構成されるプラトン立体です。正八面体は、自然界では結晶構造として存在します。凸型と非凸型の両方を含む、不規則な八面体の種類も多数存在します。

正八面体は、交差多面体というより一般的な概念の 3 次元的なケースです。

正八面体

正八面体とその二重多面体である立方体。

正八面体は、正多面体である八面体です。正八面体のすべての面は同じ大きさの正三角形で、各頂点でちょうど 4 つの三角形が交わります。正八面体は凸型です。つまり、その中の任意の 2 つの点を結ぶ線分は、その内部に完全に収まります。

すべての面が正三角形であるため、8つの凸三角面体のうちの1つです。^{[1]これは、2つの}正四角錐を結合して作られた複合多面体です。^[2]^[3]その二重多面体は立方体であり、それらは同じ3次元対称群、八面体対称性を持っています。^[3] $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$

プラトン立体として

正八面体はプラトン立体の一つで、面が合同な正多角形で、各頂点で面の数が同じである多面体の集合である。 ^{[4]この古代の多面体の集合は、}ティマイオス対話の中でこれらの立体を自然と関連付けたプラトンにちなんで名付けられた。その一つである正八面体は、古典的な風の要素を表した。^[5]

ヨハネス・ケプラーは、プラトンが太陽系を自然界に帰属させたことを受けて、著書『世界の調和』の中でプラトン立体のそれぞれをスケッチした。^[5]ケプラーはまた、著書『宇宙の神秘』の中で、プラトン立体を別の立体の中に収め、それらを6つの惑星に似た6つの球で区切るという手法で太陽系を提唱した。この立体は、最も内側のものから最も外側のものへと、正八面体、正二十面体、正十二面体、正四面体、立方体の順になっている。^[6]

正方両錐体として

興味深い八面体の多くは、四角錐です。^[7]四角錐は、2つの四角錐を底辺同士で接続して構築された四角錐です。これらのピラミッドは正方形の底辺を覆うため、結果として得られる多面体は8つの三角形の面を持ちます。 ^[1]

正方双錐は、正方錐が対称的に正則で、両方の頂点が底辺の中心を通る線上にある場合、正方双錐であると言われます。そうでない場合は斜角です。^[8]結果として得られる双錐は、16 の二面体群の3 次元点群を持ちます。頂点と底辺の中心を垂直に通る対称軸の周りを回転すると、外観が対称になり、底辺の任意の二等分線に対して鏡映対称になります。また、水平面を挟んで鏡映すると対称になります。^[9]したがって、この正方双錐は面推移的または等面体です。^[10] $D_{4\mathrm {h} }$

正方両錐の辺の長さがすべて等しい場合、その正方両錐は正八面体です。

メトリック特性と直交座標

正八面体の表面積は、8つの正三角形を合計することで求めることができますが、体積は四角錐の体積の2倍です。辺の長さがの場合、^[11]外接球（八面体のすべての頂点に接する球）の半径、内接球（八面体の各面に接する球）の半径、および中球（各辺の中央に接する球）の半径は次のとおりです。 ^[12] $A$ $V$ $a$ ${\begin{aligned}A&=2{\sqrt {3}}a^{2}&\approx 3.464a^{2},\\V&={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}&\approx 0.471a^{3}.\end{aligned}}$ $r_{u}$ $r_{i}$ $r_{m}$ $r_{u}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707a,\qquad r_{i}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a\approx 0.408a,\qquad r_{m}={\frac {1}{2}}a=0.5a.$

正八面体の隣接する2つの三角形の面の間の二面角は109.47°です。これは正四角錐の二面角から得られます。隣接する2つの三角形の面の間の二面角は、隣接する2つの三角形の面の間の正四角錐の二面角であり、2つの正四角錐が接続された辺の隣接する2つの三角形の面の間の二面角は、正四角錐の三角形の面と正方形の底の間の二面角の2倍です。[ 13 ^]

辺の長さがの八面体は、中心を原点に、頂点を座標軸上に配置できます。頂点の直交座標は次のとおりです。3 次元空間では、中心座標がで半径がの八面体は、となるすべての点の集合です。 ${\sqrt {2}}$ $(\pm 1,0,0),\qquad (0,\pm 1,0),\qquad (0,0,\pm 1).$ $(a,b,c)$ $r$ $(x,y,z)$ $\left|xa\right|+\left|yb\right|+\left|zc\right|=r.$

グラフ

正八面体の骨格は、シュタイニッツの定理に従ってグラフとして表すことができます。ただし、グラフが平面グラフ（グラフの辺は他の辺と交差することなくすべての頂点に接続されている）であり、3連結グラフ（グラフの3つ以上の頂点のうち2つが削除されても辺は接続されたままである）である場合に限ります。^[14]^{[15]このグラフは}八面体グラフ、プラトングラフと呼ばれます。^[4]

八面体グラフは完全な三部グラフ、つまり2つの反対の頂点からなる3つの独立した集合に分割されたグラフとみなすことができます。 ^{[16]より一般的には、}トゥラングラフです。 $K_{2,2,2}$ $T_{6,3}$

八面体グラフは4連結であり、つまり4つの頂点を削除すると残りの頂点が切断される。これは4連結の単体的多面体であり、その頂点の最大独立集合がすべて同じサイズであることを意味する4つのうちの1つである。この特性を持つ他の3つの多面体は、五角形二角錐、スナブ二角錐、および12の頂点と20の三角形の面を持つ不規則多面体である。 ^[17]

特徴的なオルソスキーム

すべての正凸多面体と同様に、八面体は整数個の互いに素な直交配位に分割することができ、それらはすべて多面体の特性と同じ形状をしています。多面体はその直交配位の面の反射によって生成されるため、直交配位は基本的な特性です。直交配位は、互いに鏡像である 2 つのキラル形式で発生します。正多面体の特性直交配位は、四角形、長方形、不規則四面体です。

八面体の特性四面体の面は、八面体の対称面にあります。八面体は、各頂点で接する面の数が偶数であるという点で、プラトン立体の中では独特です。したがって、八面体は、その面のいずれにも通らない鏡面を持つ唯一の立体です。八面体の対称群はB ₃で示されます。八面体とその双対多面体である立方体は、同じ対称群を持ちますが、特性四面体は異なります。

正八面体の特徴的な四面体は、正八面体の標準的な分解^[21]によって見つけることができる。これは48の特徴的なオルソスキームに細分化される。八面体の中心を囲むように、3つの左手系オルソスキームと3つの右手系オルソスキームが八面体の8つの面のそれぞれで交わり、6つのオルソスキームが集まって三直角四面体を形成します。三直角四面体は、八面体の面を正底とし、立方体の頂点が八面体の中心にある三角錐です。^[22]

八面体の辺の長さが 𝒍 = 2 の場合、その特性四面体の 6 つの辺の長さは、直角三角形の外部面の周りで、、 (特性角𝟀、𝝉、𝟁 の反対側の辺)、^[a]プラス、、(八面体の特性半径となる辺) になります。正射投影図の直交辺に沿った 3 辺のパスは、、で、最初は八面体の頂点から八面体の辺の中心まで行き、次に 90° 回転して八面体面の中心まで行き、最後に 90° 回転して八面体の中心まで行きます。正射投影図には 4 つの異なる直角三角形の面があります。外面は90-60-30 の三角形で、八面体面の 6 分の 1 の大きさです。八面体の内側の 3 つの面は、、、の45-90-45 三角形、、、の 45-90-45 三角形、、、の 45-90-45 三角形、、、の 45-90-45 三角形です。 ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {2}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {2}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$

均一な色彩と対称性

八面体には 3 つの均一な色があり、各頂点の周りの三角形の面の色によって 1212、1112、1111 と名付けられています。

八面体の対称群は、位数 48 の 3 次元超八面体群である O _hです。この群のサブグループには、三角形の反対称の対称群である D _3d (位数 12) 、正方両錐の対称群である D 4h (位数 16) 、および_修正四面体の対称群である T _d (位数 24) が含まれます。これらの対称性は、面の色を変えることで強調できます。

その他のタイプの八面体

八面体は、8つの面を持つ多面体です。前の例では、正八面体は6つの頂点と12の辺を持ち、これは八面体としては最小の数です。不規則八面体は、12の頂点と18の辺を持つこともあります。^[24]鏡像を除いて、位相的に異なる凸八面体は257個あります。より具体的には、6から12の頂点を持つ八面体はそれぞれ2、11、42、74、76、38、14個あります。^[25]^[26]（2つの多面体は、面と頂点の配置が本質的に異なり、単に辺の長さや辺または面の角度を変えるだけでは一方を他方に変形できない場合、位相的に異なる。）次の多面体の中には、正方両錐体であること以外に8つの面を持つものがある。

六角柱: 2 つの面は平行な正六角形です。6 つの正方形が対応する六角形の辺のペアを結びます。
七角錐: 1 つの面が七角形 (通常は正七角形) で、残りの 7 つの面が三角形 (通常は二等辺三角形) です。すべての三角形の面が正三角形であることはできません。
切頂四面体: 四面体の 4 つの面が切頂されて正六角形になり、四面体の各頂点が切頂された部分にさらに 4 つの正三角形の面が存在します。
正方台形：8 つの面が合同な凧形です。
ジャイロビファスティギウム: 2 つの均一な三角柱が、正方形の辺の 1 つを接着して、どの三角形も他の三角形と辺を共有しないようにしたもの (ジョンソン立体 26)。
切頂三角形台形、デューラー立体とも呼ばれる。立方体または菱形体の2つの対角を切り落とすことで得られ、6つの五角形の面と2つの三角形の面を持つ。^[27]
八角形細面体: ユークリッド空間では退化しますが、球状に実現できます。

逆平行四辺形を赤道とするブリカール八面体。対称軸は逆平行四辺形の平面を通ります。

次の多面体は、組み合わせ的には正八面体と同等です。これらはすべて、正八面体の特徴と 1 対 1 で対応する 6 つの頂点、8 つの三角形の面、および 12 の辺を持ちます。

三角形の反柱: 2 つの面は正三角形で、平行な平面上にあり、共通の対称軸を持ちます。他の 6 つの三角形は二等辺三角形です。正八面体は、6 つの側面の三角形も正三角形である特殊なケースです。
四角両錐体。赤道四辺形の少なくとも 1 つが平面上にあります。正八面体は、3 つの四辺形すべてが平面正方形である特殊なケースです。
シェーンハルト多面体。新しい頂点を導入せずに四面体に分割することができない非凸多面体。
ブリカール八面体、非凸自己交差フレキシブル多面体

物理世界における八面体

自然界における八面体

ダイヤモンド、ミョウバン、蛍石などの天然結晶は、空間を満たす四面体-八面体ハニカム構造のように、一般的に八面体です。
八面体隕石中のカマサイト合金の板は、八面体の 8 つの面と平行に配列されています。
多くの金属イオンは、八面体または歪んだ八面体構成で 6 つの配位子を配位します。
ニッケル-鉄の結晶のウィドマンシュテッテンパターン

芸術と文化における八面体

特にロールプレイングゲームでは、この立体は「d8」と呼ばれ、最も一般的な多面体サイコロの 1 つです。
八面体の各辺を1オームの抵抗器に置き換えると、反対側の頂点間の抵抗は⁠1/2⁠オーム、そして隣接する頂点間の抵抗⁠5/12⁠オーム。^[28]
八面体の頂点に 6 つの音符を配置し、各辺が子音 2 和音、各面が子音 3 和音を表すようにすることができます。六面体を参照してください。

四面体八重トラス

四面体と半八面体を交互に配置した立体フレームは、四面体八面体ハニカム構造から派生したもので、1950年代にバックミンスターフラーによって発明されました。これは、片持ち梁の応力に耐える最も強力な建築構造として広く認識されています。

参照

注記

^ ab (Coxeter 1973) では、ギリシャ文字の 𝝓 (ファイ) を使用して、正多面体の3 つの特性角𝟀、𝝓、𝟁 のいずれかを表します。𝝓 は、Coxeter が 𝝉 (タウ) を使用する黄金比定数 ≈ 1.618 を表すためによく使用されるため、ここでは Coxeter の慣例を逆にして、特性角を表すために 𝝉 を使用します。

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外部リンク

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KJM マクリーン、5 つのプラトン立体とその他の半正多面体の幾何学的分析
均一な多面体
バーチャルリアリティ多面体 - 多面体百科事典
- 多面体のコンウェイ記法 – 試してみよう: dP4

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八面体