ハニカム予想

ハニカム予想は、正六角形の格子またはハニカムは、平面を等面積の領域に分割した際に、その全周長が最小になるというものである。この予想は、1999年に数学者トーマス・C・ヘイルズによって証明された。^[1]

を 内の任意の滑らかな曲線系とし、平面を領域（ の補集合の連結要素）に分割し、これらの領域はすべて境界があり面積が単位であるものとします。このとき、 を平面内の大きな円板上で平均すると、単位面積あたりの の平均長さは、少なくとも六角形タイリングの場合と同じ大きさになります。 の補集合に、境界のない要素や面積が 1 でない要素が追加されている場合でも、この定理は適用されます。これらの追加要素を許可しても を短くすることはできません。正式には、 が原点を中心とする半径 の円板を表し、が の全長を表し、 が境界のある単位面積要素で覆われたの全面積を表すものとします。（これらの要素のみが要素である場合、 となります。）この定理によれば、 となります。 不等式の右側の値は、六角形タイリングの単位面積あたりの限界長さです。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle B(0,r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle L_{r}}$${\displaystyle \Gamma \cap B(0,r)}$${\displaystyle A_{r}}$${\displaystyle B(0,r)}$${\displaystyle A_{r}=\pi r^{2}}$$${\displaystyle \limsup _{r\to \infty}{\frac {L_{r}}{A_{r}}}\geq {\sqrt[{4}]{12}}.}$$

この予想に関する最初の記録は、紀元前36年のマルクス・テレンティウス・ウァロの著作に遡るが、アレクサンドリアのパップス（ 290年頃～  350 年頃）のものとされることが多い。^[2] 17世紀には、ヤン・ブロジェクが同様の定理を用いて、ミツバチが六角形の蜂の巣を作る理由を論じた。1943年、ラースロー・フェイェシュ・トートがこの予想の特殊なケースの証明を発表した。このケースでは、各セルは凸多角形であることが求められる。^{[3]この予想の完全版は、1999年に数学者}トーマス・C・ヘイルズによって証明された。ヘイルズは、この論文の中で、この予想がウァロ以前の数学者の頭の中にあったと考えられる理由があると述べた。^{[1] [2]}

これは、平面上の最も密な円の詰め込みにも関連しており、すべての円は他の 6 つの円に接しており、平面の面積の 90% 強を占めています。

問題が正方形のグリッドに制限された場合は、1989年にチェ・ジャイヨンによって解決され、最適な図形は不規則な六角形であることを証明しました。^{[4] [5]}

• ウィア・フェラン構造、 3D における同様の問題の解決に関するケルビン予想の反例。