パーティションのランク

数学、特に数論と組合せ論の分野において、整数分割の階数は、分割に関連付けられた特定の数である。実際、文献には少なくとも2つの異なる階数の定義が登場する。この記事の大部分を占める最初の定義は、分割の階数は、分割の最大部分から分割部分の数を引いた数であるというものである。この概念は、フリーマン・ダイソンがユーレカ誌に掲載された論文で導入した。^[1]これは、インドの数学の天才シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが発見した分割関数の特定の合同特性 の研究の一環として発表された。同じ名前を共有する別の概念が組合せ論で使用され、階数は分割の ダーフィー平方のサイズとされる。

正の整数nの分割とは、次の2つの条件を満たす正の整数の 有限多重集合λ = {λ _k , λ _{k − 1} , . . . , λ _{1 }を意味します。}

• λ _k ≧ 。 。 。 ≧ λ ₂ ≧ λ ₁ > 0。
• λ _k + 。 。 。 + λ ₂ + λ ₁ = n。

λ _k、...、λ ₂、λ ₁が異なる場合、つまり、

• λ _k > 。 。 。 > λ ₂ > λ ₁ > 0

分割λ はnの厳密な分割と呼ばれる。整数λ _k、 λ _{k − 1}、 ... 、λ _{1は分割の}部分である。分割λの部分の数はkであり、分割の最大部分はλ _kである。分割λの階数（通常または厳密）はλ _k − kと定義される。^[1]

nの分割のランクは次の値のみを取ります: ^[1]

n − 1、n −3、n −4、... 。 。 、２、１、０、−１、−２、． 。 。 、−( n − 4)、−( n − 3)、−( n − 1)。

次の表は、数字 5 のさまざまなパーティションの順位を示しています。

次の表記法は、特定のランクを持つパーティションの数を指定するために使用されます。n、qを正の整数、m を任意の整数とします。

• nの分割の総数はp ( n )で表されます。
• ランクmのnの分割数はN ( m , n )で表されます。
• qを法としてmと同値のランクを持つnの分割数はN ( m , q , n )で表されます。
• nの厳密な分割数はQ ( n )で表されます。
• ランクmのnの厳密な分割の数はR ( m , n )で表されます。
• qを法としてmと階数が一致するnの厳密な分割の数はT ( m , q , n )で表されます。

例えば、

p (5) = 7、 N (2, 5) = 1、N (3, 5) = 0、 N (2, 2, 5) = 5 。

Q (5) = 3、 R (2, 5) = 1、R (3, 5) = 0、 T (2, 2, 5) = 2。

n、qを正の整数、mを任意の整数とする。[ ^1]

• ${\displaystyle N(m,n)=N(-m,n)}$
• ${\displaystyle N(m,q,n)=N(qm,q,n)}$
• ${\displaystyle N(m,q,n)=\sum _{r=-\infty }^{\infty }N(m+rq,n)}$

シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは1919年に発表した論文で、分配関数p ( n )に関する以下の合同式を証明した。^[2]

• p (5 n + 4) ≡ 0 (mod 5)
• p (7 n + 5) ≡ 0 (7を法として)
• p (11 n + 6) ≡ 0 (mod 11)

この結果についてコメントして、ダイソンは「... 5n + 4 の分割が 5 つの均等なサブクラスに分割できることは証明できるが、その証明から分割方法の具体的なアイデアが得られないのは不十分である。生成関数に頼らない証明が必要である...」と指摘した。^[1]ダイソンは、自らに課した課題を達成するために、分割のランクというアイデアを導入した。この新しいアイデアを使用して、彼は次の推測を行った。

• N (0、5、5 n + 4) = N (1、5、5 n + 4 ) = N (2、5、5 n + 4 ) = N (3、5、5 n + 4) = N ( 4、5、5n + 4 )
• N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N (2, 7, 7 n + 5) = 。 。 。 = N (6, 7, 7 n + 5)

これらの予想は1954年にアトキンとスウィナートン・ダイアーによって証明された。^[3]

次の表は、整数 4 (  n  = 0 の場合 5 × n  + 4 ) と 9 ( n = 1 の場合 5 × n  + 4  ) を 5 つの等しい数のサブクラスに分割する方法を示しています。

• p ( n )の生成関数は オイラーによって発見され、よく知られています。^[4]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}}$

• N ( m ,  n )の生成関数は以下の通りである: ^[5]

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }N(m,n)z^{m}q^{n}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{k=1}^{n}(1-zq^{k})(1-z^{-1}q^{k})}}}$

• Q ( n )の生成関数は以下の通りである: ^[6]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}}$

• R ( m ,  n )の生成関数は以下の通りである: ^[6]

${\displaystyle \sum _{m,n=0}^{\infty }R(m,n)z^{m}q^{n}=1+\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {q^{s(s+1)/2}}{(1-zq)(1-zq^{2})\cdots (1-zq^{s})}}}$

組合せ論では、パーティションのランクという語句が別の概念を説明するために使用されることがある。パーティション λ のランクは、 λ が少なくともi個の部分を持ち、その各々がiより小さくない最大の整数iである。^{[7]同様に、これは λ の}ヤング図またはフェラーズ図 の主対角線の長さ、または λ のダーフィー平方の辺の長さである。

5 のパーティションのランクの表を以下に示します。

• ランク分割関数の漸近式: ^[8]
• ランク関数の合同性: ^[9]
• ランクのBGランクへの一般化: ^[10]

• パーティションのクランク