ラマヌジャン素数

数学において、ラマヌジャン素数とは、素数計算関数に関してシュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって証明された結果を満たす素数である。

1919年、ラマヌジャンはベルトランの公準の新しい証明を発表しました。彼が指摘しているように、この公準はチェビシェフによって最初に証明されました。^[1] 2ページの公開された論文の最後で、ラマヌジャンは一般化された結果を導き出しました。それは次のとおりです。

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 1,2,3,4,5,\ldots {\text{ すべての }}x\geq 2,11,17,29,41,\ldots {\text{ それぞれ}}}$    OEIS :A104272

ここで、は素数カウント関数であり、 x以下の素数の個数に等しくなります 。 ${\displaystyle \pi (x)}$

この結果の逆はラマヌジャン素数の定義です。

n番目のラマヌジャン素数は、すべての x ≥ R _nに対して最小の整数R _nです。^[2]言い換えると、ラマヌジャン素数は、すべてのx ≥ R _nに対して、 xとx /2の間に少なくともn個の素数がある最小の整数R _nです。${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq n,}$

したがって、最初の 5 つのラマヌジャン素数は 2、11、17、29、41 です。

整数R _nは必ず素数であることに注意する。したがって、x = R _nで別の素数を得ることで必ず増加する。最大1ずつ増加するので、 ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$

${\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n.}$

すべての について、境界 ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle 2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n}$

保持します。の場合、 ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle p_{2n}$

ここで、p _{n は}n番目の素数です。

nが無限大に近づくにつれて、R _nは2 n番目の素数に漸近します。つまり、

Rn ~ p _{2 n (} n → ∞ ) 。

^{これらの結果はすべて、ソンドウ（2009） [3]}によって証明されたが、上限R _n < p _{3 n}はソンドウによって予想され、ライシュラム（2010）^[4]によって証明された。上限はソンドウ、ニコルソン、ノエ（2011）^[5]によって改良された。

${\displaystyle R_{n}\leq {\frac {41}{47}}\ p_{3n}}$

これはn = 5の等式なので、R _n ≤ c·p _{3 n}の最適形です 。