ブロカールの問題

数学における未解決の問題:

には以外の整数解がありますか?

n!+1=m^{2}

n=4,5,7

（数学における未解決の問題がさらに増える）

ブロカールの問題は、が完全な平方 ( は階乗 ) となるようなの整数値を求める数学の問題です。の値は4、5、7 の 3 つだけがわかっており、他に値があるかどうかはわかっていません。 $n$ $n!+1$ $n!$ $n$

より正式には、となる整数のペアとを求める問題です。この問題は、 1876年と1885年にアンリ・ブロカールによって2つの論文で提起され、^[1]^{[2] 、1913年に}シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって独立に提起されました。^[3] $n$ $m$ $n!+1=m^{2}.$

茶色の数字

ブロカール問題を解く数のペアは、ケビン・S・ブラウンから問題を学んだ後、クリフォード・A・ピックオーバーが1995年の著書『Keys to Infinity』でブラウン数と名付けました。 ^[4] 2022年10月現在、ブラウン数のペアは3つしか知られていません。 $(n,m)$

（4,5）、（5,11）、（7,71）、

平等に基づいて

4! + 1 = 5 ² = 25、

5! + 1 = 11 ² = 121、そして

7! + 1 = 71 ² = 5041.

ポール・エルデシュは、他の解は存在しないと推測した。^[5] 1000兆回までの計算探索では、それ以上の解は見つからなかった。^[6]^[7]^[8]

ABC予想との関連

abc予想から、ブラウン数は有限個しか存在しないということがわかる。 ^[9] より一般的には、abc予想から、任意の整数に対して有限個の解しか存在しないということがわかる。[10] また、整数係数を持つ2次以上の任意の多項式に対して、整数解は有限個^しか存在しないということがわかる。 [ ^11] $n!+A=k^{2}$ $A$ $n!=P(x)$ $P(x)$

参考文献

^ Brocard、H. (1876)、「Question 166」、Nouv.コレ。数学。、2：287
^ Brocard、H. (1885)、「Question 1532」、Nouv.アン。数学。、4：391
^ ラマヌジャン、シュリニヴァサ (2000)、「質問 469」、ハーディ、GH、アイヤル、PV セシュ、ウィルソン、BM (編)、シュリニヴァサ・ラマヌジャン論文集、プロビデンス、ロードアイランド: AMS チェルシー出版、p. 327、ISBN 0-8218-2076-1、MR 2280843
^ ピックオーバー、クリフォード A. (1995)、Keys to Infinity、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、p. 170
^ Erdős、Paul (1963)、「Quelques problèmes de la théorie des nombres」(PDF)、Chabauty、C.;シャトレ、A.シャトレ、F.デスコム、R.ピソット、C. Poitou, G. (編)、Introduction à la théorie des nombres、Monographies de l'Enseignement Mathématique (フランス語)、vol. 6、ジュネーブ大学、81–135 ページ; 問題67、129ページを参照
^ Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000)、「Brocard–Ramanujan Diophantine 方程式 n! + 1 = m2 について」(PDF)、Ramanujan Journal、4 (1): 41–42、doi :10.1023/A:1009873805276、MR 1754629、S2CID 119711158、2017-07-03のオリジナル(PDF)からアーカイブ
^ マトソン、ロバート (2017)、「ブロカードの問題 4 番目の解探索の 2 次剰余の利用」(PDF)、数論、論理学、暗号学における未解決問題、 2018 年 10 月 6 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2017 年 5 月 7 日に取得
^ エプスタイン、アンドリュー、グリックマン、ジェイコブ (2020)、C++ Brocard GitHub リポジトリ
^ オーバーホルト、マリウス (1993)、「ディオファントス方程式 $n$ $! + 1 = m$ $2$ 」、ロンドン数学会報、25 (2): 104、doi :10.1112/blms/25.2.104、MR 1204060
^ Dąbrowski、Andrzej (1996)、「ディオファントス方程式 $x$ $! + A =$ $y$ $2$ について」、Nieuw Archief voor Wiskunde、14 (3): 321–324、MR 1430045
^ ルカ、フロリアン（2002）、「ディオファントス方程式P（x）= n！とM.オーバーホルトの結果」（PDF）、グラスニク・マテマティチュキ、37（57）（2）：269–273、MR 1951531

さらに読む

Guy, RK (2004)、「D25: 階乗を含む方程式」、数論における未解決問題(第 3 版)、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 301–302 $n$

外部リンク

Weisstein, Eric W.、「Brocard の問題」(「Brown Numbers」)、MathWorldにて。
Copeland, Ed、「Brown Numbers」、Numberphile、Brady Haran、2014-11-09 にオリジナルからアーカイブ、2013-04-06 に取得

[broc1-1] Brocard、H. (1876)、「Question 166」、Nouv.コレ。数学。、2：287

[broc2-2] Brocard、H. (1885)、「Question 1532」、Nouv.アン。数学。、4：391

[ramanujan-3] ラマヌジャン、シュリニヴァサ (2000)、「質問 469」、ハーディ、GH、アイヤル、PV セシュ、ウィルソン、BM (編)、シュリニヴァサ・ラマヌジャン論文集、プロビデンス、ロードアイランド: AMS チェルシー出版、p. 327、ISBN 0-8218-2076-1、MR 2280843

[pickover-4] ピックオーバー、クリフォード A. (1995)、Keys to Infinity、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、p. 170

[erdos-5] Erdős、Paul (1963)、「Quelques problèmes de la théorie des nombres」(PDF)、Chabauty、C.;シャトレ、A.シャトレ、F.デスコム、R.ピソット、C. Poitou, G. (編)、Introduction à la théorie des nombres、Monographies de l'Enseignement Mathématique (フランス語)、vol. 6、ジュネーブ大学、81–135 ページ; 問題67、129ページを参照

[bergal-6] Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000)、「Brocard–Ramanujan Diophantine 方程式 n! + 1 = m2 について」(PDF)、Ramanujan Journal、4 (1): 41–42、doi :10.1023/A:1009873805276、MR 1754629、S2CID 119711158、2017-07-03のオリジナル(PDF)からアーカイブ

[matson-7] マトソン、ロバート (2017)、「ブロカードの問題 4 番目の解探索の 2 次剰余の利用」(PDF)、数論、論理学、暗号学における未解決問題、 2018 年 10 月 6 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2017 年 5 月 7 日に取得

[epsgli-8] エプスタイン、アンドリュー、グリックマン、ジェイコブ (2020)、C++ Brocard GitHub リポジトリ

[overholt-9] オーバーホルト、マリウス (1993)、「ディオファントス方程式 $n$ $! + 1 = m$ $2$ 」、ロンドン数学会報、25 (2): 104、doi :10.1112/blms/25.2.104、MR 1204060

[dabrowski-10] Dąbrowski、Andrzej (1996)、「ディオファントス方程式 $x$ $! + A =$ $y$ $2$ について」、Nieuw Archief voor Wiskunde、14 (3): 321–324、MR 1430045

[luca-11] ルカ、フロリアン（2002）、「ディオファントス方程式P（x）= n！とM.オーバーホルトの結果」（PDF）、グラスニク・マテマティチュキ、37（57）（2）：269–273、MR 1951531