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数学において、二重周期関数とは、複素平面上で定義され、実数体上のベクトルとして線形独立な複素数 uとvの2つの「周期」を持つ関数である。uとvが関数ƒの周期であるということは、
複素数 zのすべての値に対して。[1] [2]
したがって、二重周期関数は、1 次元で繰り返されるより単純な単周期関数の 2 次元拡張です。実数直線上で単一の周期を持つ関数のよく知られた例としては、コサインやサインなどの三角関数があります。複素平面では、指数関数e z は、周期 2 πiを持つ単周期関数です。
例
実数 (または複素数) のペアから実数への任意のマッピングとして、二重周期関数をほとんど手間をかけずに構築できます。たとえば、周期が 1 と iであると仮定すると、繰り返し格子はガウス整数を頂点とする単位正方形の集合になります。プロトタイプ正方形 (つまり、 0 ≤ x < 1 かつ 0 ≤ y < 1の場合の x + iy ) の値は、かなり任意に割り当てて、隣接する正方形に「コピー」することができます。この関数は必然的に二重周期になります。
この例のベクトル 1 とi を線形独立ベクトルuとvに置き換えると、プロトタイプ正方形は平面を敷き詰めるプロトタイプ平行四辺形になります。平行四辺形の格子の「原点」は点 0 である必要はなく、格子は任意の点から始めることができます。言い換えれば、平面とそれに関連する関数の値は固定されたままであると考え、格子を頭の中で変換して関数の特性についての洞察を得ることができます。
複素解析の使用
二重周期関数が、コーシー・リーマン方程式を満たし、いくつかの孤立した極の集合から離れた解析関数を提供する複素関数、つまり有理型関数でもある場合、複素解析のいくつかの基本定理を適用することで、そのような関数に関する多くの情報を得ることができます。
- 非定数有理型二重周期関数は、プロトタイプ平行四辺形上で有界化できません。もし有界化されるとしたら、どこでも有界化されるため、リウヴィルの定理により定数になります。
- 関数は有理型なので、本質的な特異点は存在せず、極は孤立しています。したがって、どの極も通らない平行移動格子を構築できます。格子内の任意の平行四辺形の周りの周回積分は、2 組の平行辺に沿った二重周期関数の値が同一であり、周回積分を移動すると 2 組の辺が反対方向に横断されるため、ゼロになります。したがって、留数定理により、関数は各平行四辺形内に単一の単純極を持つことはできません。各平行四辺形内に少なくとも 2 つの単純極を持つか (ヤコビアンの場合)、少なくとも 1 つの次数より大きい極を持つ必要があります (ワイエルシュトラスの場合)。
- 同様の議論は関数g = 1/ ƒにも適用できます。ここで、ƒは有理型かつ二重周期です。この反転により、 ƒの零点はgの極になり、逆もまた同様です。したがって、有理型二重周期関数ƒ は、格子上の各平行四辺形内に 1 つの単純な零点を持つことはできません。少なくとも 2 つの単純な零点を持つか、重複度が 1 より大きい零点を少なくとも 1 つ持つ必要があります。したがって、ƒ は任意の値を 1 回だけ取ることはできません。なぜなら、 ƒ からその値を引いたものは、それ自体が零点を 1 つだけ持つ有理型二重周期関数になるからです。
参照
文学
- ジャコビ、CGJ (1835)。 「デ・ファンクション・デュアルム・ヴァリアビリウム・クアドルプリシター・ピリオディシス、クイバス・テオリア・トランセンティウム・アベリアナルム・イニティトゥール」。Journal für die reine und angewandte Mathematik (ラテン語)。１３．アル・クレル。ライマー、ベルリン: 55–56 。2022 年10 月 3 日に取得。Gesammelte Werke、第2巻、第2版、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、pp. 25-26、1969年に再版。
- Whittaker, ET および Watson, GN: A Course in Modern Analysis、第 4 版。ケンブリッジ、イギリス: Cambridge University Press、1963 年、pp. 429-535 に再版。第 XX 章から第 XXII 章では、楕円関数、一般定理、ワイエルシュトラスの楕円関数、シータ関数、ヤコビ楕円関数について説明しています。