カスプフォーム

数学の一分野である数論において、カスプ形式はフーリエ級数展開において定数係数がゼロである特別な種類のモジュラー形式である。

カスプ形式は、モジュラー群のモジュラー形式の場合、フーリエ級数展開における定数係数a ₀がゼロになることで区別されます（q展開を参照）。

${\displaystyle \sum a_{n}q^{n}.}$

このフーリエ展開は、モジュラー群の上半平面への作用が変換を介して 存在する結果として存在する。

${\displaystyle z\mapsto z+1.}$

他の群では、いくつかの単位を通る変換がある場合があり、その場合、フーリエ展開は異なるパラメータについて行われます。ただし、すべての場合において、q → 0 のときの極限は、 z → ∞の虚部としての上半平面における極限です。モジュラー群による商を取ると、この極限はモジュラー曲線の尖点に対応します (コンパクト化のために追加された点の意味で)。したがって、定義は、尖点形式は尖点で消えるモジュラー形式であると言うことに相当します。他の群の場合、尖点が複数ある場合があり、定義はすべての尖点で消えるモジュラー形式になります。これには複数の展開が含まれる場合があります。

カスプ形式の空間の次元は、原理的にはリーマン・ロッホの定理によって計算可能である。例えば、ラマヌジャンのタウ関数 τ ( n )は、 1 = 1であるモジュラー群の重み12のカスプ形式のフーリエ係数の列として生じる。このような形式の空間は次元が₁ であるため、この定義が可能であり、ヘッケ作用素の空間への作用がスカラー乗算によって行われることを説明する（ラマヌジャンの恒等式のモルデルの証明）。明示的には、モジュラー判別式である。

${\displaystyle \Delta (z,q),}$

これは（正規化定数を除いて）楕円曲線のワイエルシュトラス方程式の右辺の3次式の判別式、およびデデキントのイータ関数の24乗を表します。ここでのフーリエ係数は「ラマヌジャンのタウ関数」と書かれ 、正規化τ (1) = 1 で 呼ばれます。$${\displaystyle \tau (n)}$$

保型形式の大局では、カスプ形式は、離散スペクトル/連続スペクトル、またはスペクトル理論のさまざまな部分で典型的な離散級数表現/誘導表現の区別において、アイゼンシュタイン級数を補完します。つまり、アイゼンシュタイン級数は、カスプで特定の値を取るように「設計」できます。ただし、非常に複雑な放物型部分群の理論と対応するカスプ表現に依存した大規模な一般理論があります。

ある簡約群（ 上、アデール環）の標準的な放物型部分群について考えます。上の保型形式は、となるすべての放物型部分群に対して が成り立つとき、尖型と呼ばれます。ここで は標準的な極小放物型部分群です。の表記は と定義されます。 ${\displaystyle P=MU}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle U(\mathbb {A} )M(k)\backslash G}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle P_{0}\subset P'\subsetneq P}$${\displaystyle \phi _{P'}=0}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle \phi_{P}}$${\displaystyle P=MU}$${\displaystyle \phi _{P}(g)=\int _{U(k)\バックスラッシュ U(\mathbb {A} )}\phi (ug)du}$

• セール、ジャン＝ピエール、『算数講座』、数学大学院テキスト、第7号、シュプリンガー出版社、1978年。ISBN 0-387-90040-3 
• 志村五郎『保型関数の数論入門』プリンストン大学出版局、1994年。ISBN 0-691-08092-5 
• ゲルバート、スティーブン、「アデール群の保型形式」、数学研究年報、第83号、プリンストン大学出版、1975年。ISBN 0-691-08156-5 
• Moeglin C、Waldspurger JL スペクトル分解およびエイゼンシュタイン シリーズ: 聖書の言い換え、Schneps L、トランス。ケンブリッジ大学出版局; 1995年。ISBN 978-0521418935