判別式

数学において、多項式の判別式は係数に依存し、根のいくつかの特性を計算せずに推測できる量です。より正確には、元の多項式の係数の多項式関数です。判別式は、多項式因数分解、数論、代数幾何学で広く使用されています。

二次多項式 の判別式は ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle b^{2}-4ac,}$

二次方程式の平方根の下に現れる量。この判別式がゼロになるのは、多項式が二重根を持つ場合のみである。実数係数の場合、多項式が２つの異なる実根を持つ場合は正になり、２つの異なる複素共役根を持つ場合は負になる。^{[1]同様に、} ３次多項式の判別式がゼロになるのは、多項式が多重根を持つ場合のみである。実数係数の３次の場合、多項式が３つの異なる実根を持つ場合は判別式が正になり、１つの実根と２つの異なる複素共役根を持つ場合は判別式が負になる。 ${\displaystyle a\neq 0,}$

より一般的には、正の次数の単変数多項式の判別式は、多項式に重根がある場合に限り 0 になります。実数係数で重根がない場合、非実数根の数が4 の倍数(0 個を含む) であれば判別式は正になり、それ以外の場合は負になります。

いくつかの一般化も判別式と呼ばれます。代数体 の判別式、二次形式の判別式、さらに一般的には、形式、同次多項式、または射影超曲面の判別式です(これら 3 つの概念は本質的に同等です)。

「判別式」という用語は1851年にイギリスの数学者ジェームズ・ジョセフ・シルベスターによって造られた。^[2]

させて

${\displaystyle A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

はn次 の多項式（つまり）であり、係数は体、またはより一般的には可換環に属します。Aとその導関数の合成式は、 ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1},}$

は整数係数の の多項式で、AとA ′のシルベスター行列の行列式です。シルベスター行列の最初の列の非ゼロの要素はとであり、結果はの倍数です。したがって、判別式は、その符号を除けば、AとA'の結果の商として次のように定義されます。 ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle na_{n},}$${\displaystyle a_{n}.}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')}$

歴史的に、この符号は、多項式のすべての根が実数であるときに、実数上で判別式が正になるように選択されてきました。係数の環にゼロの約数が含まれる場合、 による除算は明確に定義されない可能性があります。このような問題は、行列式を計算する前に、シルベスター行列の最初の列で を 1 に置き換えることで回避できます。いずれの場合も、判別式は整数係数を持つ の多項式です。 ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

上記の多項式が体上で定義されている場合、体の任意の代数的に閉じた拡大において、必ずしもすべてが異なるとは限らないn個の根が存在します。(係数が実数の場合、複素数体 上で根を取ることができ、その場合、代数の基本定理が適用されます。) ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$

根に関しては、判別式は次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j}).}$

したがって、これはヴァンデルモンド多項式の平方に を掛けた値になります。 ${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$

この判別式の表現は、定義としてよく用いられます。多項式に重根 がある場合、判別式はゼロであり、実係数の場合、すべての根が実数で単純である場合、判別式は正であることが明らかです。前の定義とは異なり、この表現は係数の多項式であることは明らかではありませんが、これはガロア理論の基本定理から、またはこの表現がAの根の対称多項式であることに注目することで、対称多項式の基本定理とVieta の公式から導かれます。

線形多項式（次数 1）の判別式が考慮されることはほとんどありません。必要な場合は、判別式が 1 に等しくなるように定義されるのが一般的です（空積の通常の規則を使用し、シルベスター行列の 2 つのブロックのうちの 1 つが空であることを考慮）。定数多項式（つまり、次数 0 の多項式）の判別式には、共通の規則はありません。

小さい次数の場合、判別式はかなり単純です（下記参照）が、高次数になると扱いにくくなる場合があります。たとえば、一般的な 4次式の判別式には16項、^[3] 5次式の判別式には59項、^{[4] 6}次式の判別式には246項があります。^[5] これはOEISシーケンスA007878です。

二次多項式は判別式を持つ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$

${\displaystyle b^{2}-4ac\,.}$

判別式の平方根は、2次多項式の根を表す 2次式に現れます。

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

ここで判別式は2つの根が等しい場合にのみゼロとなる。a、b、cが実数の場合、判別式が正であれば多項式は2つの異なる実根を持ち、判別式が負であれば2つの複素共役根を持つ。^[6]

^{判別式は、2}と根の差の二乗の積 です。

a、b、cが有理数である場合、判別式は 2 つの根が有理数である場合にのみ、有理数の 2 乗になります。

3次多項式は判別式を持つ ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$

${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.}$^{[7] [8]}

特別な場合、減算された3次多項式では、判別式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle x^{3}+px+q}$

${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}\,.}$

判別式がゼロになるのは、少なくとも2つの根が等しい場合のみです。係数が実数で判別式がゼロでない場合、根が3つの異なる実数であれば判別式は正になり、実根が1つで複素共役根が2つある場合は判別式は負になります。^[9]

判別式と強く関係する量の平方根は、3次多項式の根の公式に現れます。具体的には、この量は判別式の-3倍、または有理数の平方との積になります。たとえば、カルダノの公式の場合は1/18の平方です。

多項式が既約であり、その係数が有理数（または数体に属する）である場合、判別式が有理数（または数体からの数）の2乗であるためには、 3次方程式のガロア群が3次の巡回群である必要があります。

4次多項式は 判別 式を持つ ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}}$

下降四次多項式は 判別式を持つ ${\displaystyle x^{4}+cx^{2}+dx+e\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&16c^{4}e-4c^{3}d^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4}+256e^{3}\,.\end{aligned}}}$

判別式は、少なくとも 2 つの根が等しい場合にのみ 0 になります。係数が実数で判別式が負の場合、実根が 2 つと複素共役根が 2 つあります。逆に、判別式が正の場合、根はすべて実数か、すべて非実数になります。

体上の多項式の判別式がゼロになるのは、多項式が何らかの体拡大において多重根を持つ場合のみです。

多項式とその導関数が定数でない共通約数を持つ 場合のみ、積分領域上の多項式の判別式はゼロになります。

特性0では、これは多項式が平方数でない(つまり、非定数多項式の平方で割り切れる) ということと同じです。

非ゼロの特性pにおいて、判別式がゼロとなるのは、多項式が平方でないか、分離不可能な既約因子を持つ場合（つまり、既約因子が の多項式である場合）に限ります。 ${\displaystyle x^{p}}$

多項式の判別式は、スケーリングを除けば、変数の任意の射影変換に対して不変です。射影変換は、平行移動、相似性、反転の積に分解できるため、より単純な変換の場合は次の式が得られます。ここで、P ( x ) は、主係数として n次多項式を表します。${\displaystyle a_{n}}$

• 翻訳による不変性:

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

これは判別式の根による表現から生じる。

• 相似性による不変性:

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

これは、ルート、または判別式の準同次性に関する表現から生じます。

• 反転による不変性:

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

のとき、ここで、はPの逆多項式を表す。つまり、で あり 、 ${\displaystyle P(0)\neq 0.}$${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;}$${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},}$${\displaystyle a_{0}\neq 0,}$

${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.}$

を可換環の準同型とする。多項式 ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$

${\displaystyle A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}$

R [ x ]において、準同型性はAに作用して多項式を生成する。 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})}$

S [ x ]において。

判別式は次の意味で不変 である。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (a_{n})\neq 0,}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).}$

判別式は行列式に基づいて定義されるため、この特性は行列式の同様の特性から直接生じます。

ならば、ゼロになるかならないかのどちらかです。${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))}$${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).}$

判別式がゼロであるかどうかだけを知りたい場合（代数幾何学では一般的にそうである）、これらの特性は次のように要約できます。

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$またはのいずれかの場合に限り${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0}$${\displaystyle \deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.}$

これは、が多重根（おそらく無限大） を持つ場合のみであると解釈されることが多いです。${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$${\displaystyle A^{\varphi }}$

R = PQがxの多項式の積である場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}}$

ここで、 は変数xに関する結果を表し、pとq はそれぞれPとQの次数です。 ${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}}$

この特性は、それぞれの多項式の根に関して、結果と判別式の式を代入することによってすぐに得られます。

判別式は係数において同次多項式であり、根においても同次多項式であるため、係数において 準同次です。

n次多項式の判別式は、係数において2 n − 2次同次です。これは 2 つの方法で確認できます。根と主要項の公式で言えば、すべての係数にλを掛けても根は変化しませんが、主要項にλが掛けられます。 (2 n − 1) × (2 n ₋ 1)行列(シルベスター行列) を_nで割った行列式としての表現で言えば、行列式の要素は2 n − 1次同次であり、 n で割ると次数が2 n − 2になります。

n次多項式の判別式は、根においてn次( n − 1)の同次です。これは判別式を根で表現することから得られ、根は定数と根の差の二乗の積です。 ${\displaystyle {\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

n次多項式の判別式は、任意のiに対して、 の係数にn − i の重みが与えられている場合、係数においてn ( n − 1)次準同次です。また、任意のiに対して、 の係数にiの重みが与えられている場合、同じ次数の準同次です。これは、根において同次かつ対称なすべての多項式は、根の基本対称関数において準同次多項式として表現できるという一般的な事実の結果です。 ${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle x^{i}}$

多項式を考える

${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

前述のことから、判別式に現れる すべての単項式 の指数は、2つの式を満たすことがわかる。${\displaystyle a_{0}^{i_{0}},\dots ,a_{n}^{i_{n}}}$

${\displaystyle i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2}$

そして

${\displaystyle i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),}$

そして方程式

${\displaystyle ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),}$

これは、最初の式にnを掛けたものから 2 番目の式を引くことによって得られます。

これにより、判別式で可能な項が制限されます。一般の 2 次多項式の場合、判別式は 2 次同次多項式で、項は 2 つしかありませんが、3 変数の一般の 2 次同次多項式には 6 つの項があります。一般の 3 次多項式の判別式は 4 変数の 4 次同次多項式で、項は 5 つで、これは上記の規則で許可される最大値ですが、4 変数の一般の 4 次同次多項式には 35 の項があります。 ${\displaystyle b^{2}-4ac}$

より高い次数の場合、上記の規則を満たしながら判別式に現れない単項式が存在する可能性があります。最初の例は 4 次多項式で、この場合、単項式は判別式に現れずに規則を満たします。 ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$${\displaystyle bc^{4}d}$

このセクションでは、すべての多項式に実係数があります。

§ 低次数では、判別式の符号が 2 次および 3 次多項式の根の性質に関する有用な情報を提供することが説明されました。高次数では、判別式によって提供される情報は完全ではありませんが、それでも有用です。より正確には、n次多項式の場合、次のようになります。

• 多項式は、判別式がゼロの場合にのみ多重根を持ちます。
• 判別式が正の場合、非実数根の数は 4 の倍数です。つまり、2 k組の複素共役根とn − 4 k 個の実数根が存在するような非負整数k ≤ n /4が存在します。
• 判別式が負の場合、非実数根の数は 4 の倍数ではありません。つまり、2 k + 1組の複素共役根とn − 4 k + 2 個の実数根が存在するような非負整数k ≤ ( n − 2)/4が存在します。

させて

${\displaystyle A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}}$

2つの不定値を持つn次の同次多項式とする。

今のところ、とが両方ともゼロでないと仮定すると、 ${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).}$

この量を 1 で表すと${\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A),}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A),}$

そして

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A).}$

これらの特性のため、この量はAの判別式または同次判別式と呼ばれます。 ${\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A)}$

と がゼロになることが許される場合、多項式A ( x , 1)とA (1, y )の次数はnより小さくなることがあります。この場合、判別式がすべての多項式の次数がnであるかのように計算される限り、上記の公式と定義は有効です。つまり、判別式はと が不定である状態で計算する必要があり、実際の値への置き換えはこの計算の後で行われます。同様に、 § 環準同型に対する不変性の公式を使用する必要があります。 ${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{n}}$

代数幾何学における判別式の典型的な使用法は、平面代数曲線、より一般的には代数超曲面の研究です。そのような曲線または超曲面をVとします。Vは多変数多項式の零点集合として定義されます。この多項式は、他の不定値の多項式を係数として持つ、不定値の 1 つにおける一変数多項式と見なすことができます。選択された不定値に関する判別式は、他の不定値の空間における超曲面W を定義します。W の点は、 Vの点(無限遠点を含む)の投影とまったく同じであり、これらの点は特異であるか、選択された不定値の軸に平行な 接超平面を持ちます。

たとえば、f を実係数を持つXとYの 2 変数多項式とすると、  f  = 0は実平面代数曲線の暗黙の方程式になります。f を、係数がXに依存するYの 1 変数多項式と見なすと、判別式は、特異点、 Y軸に平行な接線を持つ点、およびY軸に平行ないくつかの漸近線のX座標を根とするXの多項式になります。言い換えると、 Y 判別式とX判別式の根を計算すると、変曲点を除く曲線の注目すべき点をすべて計算できます。

判別式の概念には 2 つのクラスがあります。最初のクラスは代数体 の判別式であり、二次体 を含むいくつかのケースでは、体を定義する多項式の判別式です。

2 番目のクラスの判別式は、係数に依存する問題で、問題の退化したインスタンスまたは特異性が係数の単一の多項式が消滅することによって特徴付けられる場合に発生します。これは、2 つの根が崩壊するときに 0 になる多項式の判別式の場合です。このような一般化された判別式が定義されるケースのほとんどは、次のインスタンスです。

A を、特性0の体、または多項式の次数を割り切れない素特性を持つ体上の n 個の不定値の同次多項式とします。多項式 A は射影超曲面を定義します。この曲面は、 A の n 個の偏導関数が非自明な共通零点を持つ場合に限り、特異点を持ちます。これは、これらの偏導関数の多変量結果が零である場合に限り当てはまり、この結果がAの判別式とみなされます。ただし、導出の結果の整数係数のため、この多変量結果はnの累乗で割り切れる可能性があり、判別式として、汎用係数で計算された結果の原始部分をとった方がよいでしょう。特性に対する制限が必要なのは、そうでなければ、偏導関数の共通零点が多項式の零点とは必ずしもならないためです (同次多項式のオイラー恒等式を参照)。

次数dの同次二変量多項式の場合、この一般判別式は§ 同次二変量多項式で定義された判別式の倍数です。一般定義の例である他のいくつかの古典的な判別式については、次のセクションで説明します。 ${\displaystyle d^{d-2}}$

二次形式はベクトル空間上の関数であり、ある基底上で2次の 同次多項式によって定義されます。

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},}$

あるいは、行列形式では、

${\displaystyle Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },}$

対称行列、行ベクトル、列ベクトルに対して。特性が2と異なる場合、^[10] Qの判別式または行列式はAの行列式になります。^[11]${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle X=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle X^{\mathrm {T} }}$

Qのヘッセ行列式はその判別式の積です。Qの偏微分の多変量結果はそのヘッセ行列式に等しくなります。したがって、二次形式の判別式は、判別式の上記の一般的な定義の特殊なケースです。 ${\displaystyle 2^{n}}$

二次形式の判別式は、次の意味で変数の線型変換（つまり、二次形式が定義されているベクトル空間の基底の変更）に対して不変です。変数の線型変換は、特異でない行列 Sによって定義され、行列Aを に変更し、判別式にSの行列式の平方を乗じます。したがって、判別式は平方による乗算までのみ明確に定義されます。言い換えると、体K上の二次形式の判別式は、Kの乗法モノイドを非ゼロの平方の部分群で割った商であるK /( K ^× ) ²の元です（つまり、Kの 2 つの元は、一方が他方の非ゼロの平方による積である場合、同じ同値類にあります）。したがって、複素数 では、判別式は 0 または 1 に等しくなります。実数 では、判別式は -1、0、または 1 に等しくなります。有理数では、判別式は一意の平方のない整数に等しくなります。 ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S,}$

ヤコビの定理によれば、2とは異なる特性を持つ体上の2次形式は、変数の線形変換の後、対角形式で次のように 表すことができる。

${\displaystyle a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

より正確には、上の二次形式は和として表される。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}}$

ここで、L _{i は}独立な線形形式で、n は変数の数です（a _iのいくつかはゼロになる場合があります）。 同様に、任意の対称行列Aに対して、 が対角行列となるような基本行列 Sが存在します。 この場合、判別式はa _iの積であり、 K /( K ^× ) ²のクラスとして明確に定義されます。 ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S}$

幾何学的には、3 変数の二次形式の判別式は二次射影曲線の方程式です。判別式が 0 になるのは、曲線が直線に分解される場合（体の 代数的に閉じた拡張の場合もある）のみです。

4 変数の二次形式は、射影面の方程式です。判別式が 0 の場合のみ、曲面は特異点を持ちます。この場合、曲面は平面に分解されるか、唯一の特異点を持ち、円錐または円筒になります。実数部で判別式が正の場合、曲面には実点がないか、どこでも負のガウス曲率を持ちます。判別式が負の場合、曲面には実点があり、負のガウス曲率を持ちます。

円錐曲線は、次の形式の 暗黙の方程式によって定義される平面曲線である。

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,}$

ここで、a、b、c、d、e、fは実数です。

2 つの二次形式、つまり 2 つの判別式が円錐曲線に関連付けることができます。

最初の二次形式は

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.}$

その判別式は決定式である

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.}$

円錐断面が 2 本の線、二重線、または 1 つの点に退化すると、ゼロになります。

2番目の判別式は、多くの初等教科書で唯一考慮されている判別式であり、方程式の2次同次部分の判別式である。これは^{[12]に等しい。}

${\displaystyle b^{2}-ac,}$

円錐曲線の形状を決定します。この判別式が負の場合、曲線には実点がないか、楕円または円になります。または、退化している場合は、1 つの点に縮小されます。判別式が 0 の場合、曲線は放物線になります。または、退化している場合は、二重線または 2 本の平行線になります。判別式が正の場合、曲線は双曲線になります。または、退化している場合は、交差する 1 対の線になります。

3 次元のユークリッド空間における実2 次曲面は、3 つの変数を持つ 2 次多項式の零点として定義できる曲面です。円錐曲線に関しては、自然に定義できる判別式が 2 つあります。どちらも 2 次曲面の性質に関する情報を得るのに役立ちます。

を3変数の2次多項式とし、実2次曲面を定義する。最初の関連する2次形式は4つの変数に依存し、Pを均質化することで得られる。 ${\displaystyle P(x,y,z)}$${\displaystyle Q_{4},}$

${\displaystyle Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).}$

その判別式を次のように表す。${\displaystyle \Delta _{4}.}$

2番目の二次形式は3つの変数に依存し、 Pの2次の項で構成されます。 ${\displaystyle Q_{3},}$

${\displaystyle Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).}$

その判別式を次のように表す。${\displaystyle \Delta _{3}.}$

であり、曲面に実数点がある場合、それは双曲放物面か一枚双曲面のいずれかです。どちらの場合も、これはすべての点で 負のガウス曲率を持つ線織面です。${\displaystyle \Delta _{4}>0,}$

表面が楕円体、二枚双曲面、または楕円放物面のいずれかである場合、すべての点で正のガウス曲率を持ちます。 ${\displaystyle \Delta _{4}<0,}$

表面に特異点がある場合、その点は無限遠にある可能性があります。特異点が 1 つしかない場合、表面は円筒または円錐です。特異点が複数ある場合、表面は 2 つの平面、二重平面、または 1 本の線で構成されます。 ${\displaystyle \Delta _{4}=0,}$

の符号が0でない場合、 Pを−Pに変えても表面は変化せず、の符号が変化するため、有用な情報を提供しません。しかし、で表面が放物面 である場合、それは の符号に応じて楕円または双曲面になります。${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0,}$${\displaystyle \Delta _{3},}$${\displaystyle \Delta _{3}.}$${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0}$${\displaystyle \Delta _{3}=0,}$${\displaystyle \Delta _{4}.}$

代数体の判別式は、代数体（の整数環） の大きさを測定します。

より具体的には、整数環の基本領域の体積の2乗に比例し、どの素数が分岐するかを制御します。

判別式は数体の最も基本的な不変量の一つであり、Kのデデキントゼータ関数の関数方程式やKの解析類数公式など、いくつかの重要な解析公式に現れる。エルミートの定理によれば、有界判別式の数体は有限個しか存在しないが、この量を決定することは未解決の問題であり、現在研究が進められている。^[13]

K を代数体とし、O K_をその整数環とする。b 1 , ..., b n を O K の整基底（つまり Z 加群としての基底）とし、_{ σ 1 _, ... _, σ n }をKの複素数_への_埋め込み（つまりK → C へ の入射環準同型）の集合とする。Kの判別式は、 ( i , j )要素が σ _i ( b _j )であるn行n列の行列Bの行列式の平方である。記号的に、

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

K の判別式は、数体の拡大K / Lの判別式と区別するために、Kの絶対判別式と呼ばれることがあります。後者はLの整数環のイデアルであり、絶対判別式と同様に、どの素数がK / Lで分岐するかを示します。これは、 L がQよりも大きいことを許容する絶対判別式の一般化です。実際、L  =  Qのとき、 K / Qの相対判別式は、Kの絶対判別式によって生成されるZの主イデアルです。

二次体の研究に役立つ特定の種類の判別式は、基本判別式です。これは、次の形式の表現である積分二項二次形式の理論で発生します。$${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$$

ここで、、、は整数です。 の判別式は次のように与えられます。すべての整数が整二項二次形式の判別式として現れるわけではありません。 整数が基本判別式となるのは、次の条件のいずれかを満たす場合のみです。 ${\textstyle a}$${\textstyle b}$${\textstyle c}$${\textstyle Q(x,y)}$$${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$$${\textstyle D}$

• ケース 1:は 1 を法として 4 ( ) と合同であり、平方数ではないため、どの素数の平方でも割り切れません。${\textstyle D}$${\textstyle D\equiv 1{\pmod {4}}}$
• ケース 2:は整数の 4 倍に等しく( )、4を法として 2 または 3 と同値 ( ) であり、平方数ではありません。${\textstyle D}$${\textstyle m}$${\textstyle D=4m}$${\textstyle m}$${\textstyle m\equiv 2,3{\pmod {4}}}$

これらの条件により、すべての基本判別式が特定のタイプの二次形式に一意に対応することが保証されます。

最初の 11 個の正の基本判別式は次のとおりです。

1、5、8、12、13、17、21、24、28、29、33（OEISの配列A003658 ）。​​​​​​​​​​​​​​​​

最初の 11 個の負の基本判別式は次のとおりです。

−3、−4、−7、−8、−11、−15、−19、−20、−23、−24、−31（OEISの配列A003657 ）。

二次体とは、次数 2 の有理数の体拡大です。二次体の判別式は、二次形式の判別式と同様の役割を果たします。 ${\textstyle \mathbb {Q} }$

基本的な関係が存在します。つまり、整数が基本的な判別式となるのは、次の場合のみです。 ${\textstyle D_{0}}$

• ${\textstyle D_{0}=1}$、 または
• ${\textstyle D_{0}}$は二次体の判別式です。

各基本判別式 に対して、 を判別式とする一意の（同型を除いて）二次体が存在する。これは二次形式の理論と二次体の研究を結び付ける。 ${\textstyle D_{0}\neq 1}$${\textstyle D_{0}}$

基本判別式は、素因数分解によっても特徴付けられます。4 を法として 1 と合同な素数と、4 を法として 3 と合同な素数の加法逆数からなる集合を考えてみましょう。整数は、互いに素であるの要素の積である場合に限り、基本判別式となります。^[要出典]${\textstyle S}$${\displaystyle -8,8,-4,}$$${\displaystyle S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,...\}}$$${\textstyle D\neq 1}$${\displaystyle S}$

• Wolfram Mathworld: 多項式判別式
• プラネットマス: 判別式