ラマヌジャンのタウ関数

ラマヌジャン(1916)が研究したラマヌジャンのタウ関数は、次の恒等式によって定義される関数です。 $\tau :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z}$

\sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}\left(1-q^{n}\right)^{24}=q\phi (q)^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),

ここで、 $q = exp(2 πiz)、$ $Im z > 0$ 、はオイラー関数、 $η$ はデデキントのイータ関数、関数 $Δ($ $z$ $)$ は重み 12、レベル 1 の正則カスプ形式で、判別モジュラー形式として知られています(一部の著者、特にApostol は、の代わりにと書いています)。これは、整数を 24 の平方の和として表す方法の数を数えることに伴う「誤差項」に関連して現れます。Ian G. Macdonaldによる式は、Dyson (1972) で与えられました。 $\phi$ $\Delta /(2\pi )^{12}$ $\Delta$

価値観

タウ関数の最初のいくつかの値は次の表に示されています（OEISのシーケンスA000594）。

この関数を奇数の平方数（つまり中心八角数）に対して計算すると奇数になるが、他の数に対しては偶数になる。^[1]

ラマヌジャンの予想

$ラマヌジャン（1916）はτ (n)$ の次の3つの性質を観察したが、証明はしなかった。

$τ (mn) = τ (m) τ (n) 、$ $gcd(m, n) = 1$ の場合（つまり、 $τ (n)は$ 乗法関数である）
$τ (p r + 1) = τ (p) τ (p r) - p 11 τ (p r - 1)$ ただし $p$ は素数で $r > 0$ 。
すべての素数 $p$ に対して $|$ $τ$ $($ $p$ $)$ $|\leq2p11$ $/$ $2$ 。

最初の 2 つの性質は、モーデル (1917) によって証明され、ラマヌジャン予想と呼ばれる 3 番目の性質は、ヴェイユ予想の証明の結果として、1974 年にドリーニュによって証明されました(具体的には、彼はそれを久我-佐藤多様体に適用することで導きました)。

タウ関数の合同性

$\mathbb {Z}$ かつ $\mathbb {Z}$ の場合、約数関数 $σ k (n)は$ $n$ の約数の $k$ 乗の和です。タウ関数はいくつかの合同関係を満たしており、その多くは $σ$ $k$ $($ $n$ $)$ で表現できます。以下にいくつか挙げます。^[2]

$\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ } }8$ ^[3]
$\tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8$ ^[3]
$\tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8$ ^[3]
$\tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8$ ^[3]
$\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3$ ^[4]
$\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ for }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3$ ^[4]
$\tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ for }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5$ ^[5]
$\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7$ ^[6]
$\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7$ ^[6]
$\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.$ ^[7]

$p \neq 23$ 素数の場合、^[2]^[8]

$\tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1$
$\tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ if }}p{\text{ is of the form }}a^{2}+23b^{2}$ ^[9]
$\tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.$

明示的な式

1975年にダグラス・ニーバーはラマヌジャンのタウ関数の明確な公式を証明した。^[10]

\tau (n)=n^{4}\sigma (n)-24\sum _{i=1}^{n-1}i^{2}(35i^{2}-52in+18n^{2})\sigma (i)\sigma (n-i).

ここで $σ(n)は$ $n$ の正の約数の合計です。

推測τ（ん）

$f が$ 重み $k の$ 整数で、フーリエ係数 $a (n)$ が整数であると仮定します。次の問題を考えてみます。

f には

複素乗算がないので、ほとんどすべての素数

p は

a (p) ≢ 0 (mod p)

という性質を持ちますか?

実際、ほとんどの素数はこの特性を持っているはずなので、普通の素数と呼ばれています。ガロア表現に関するドリーニュとセールの大きな進歩にもかかわらず、ガロア表現は、 $p$ と互いに素な $n$ に対して $a (n) (mod p)を決定しますが、$ $a$ $($ $p$ $) (mod$ $p$ $)$ を計算する方法は明らかではありません。この点で唯一の定理は、モジュラー楕円曲線に関するエルキーズの有名な結果であり、 $a$ $($ $p$ $) = 0 となる素数$ $p が$ 無限に存在し、したがって、 $p を$ 法として 0 と合同であることを保証します。無限に多くの素数 $pに対して$ $a$ $($ $p$ $) ≢ 0 (mod$ $p$ $)$ となるような、重みが 2 より大きい非 CM $fの例は知られていません (ほとんどすべての$ $p$ に対して当てはまるはずですが)。また、無限に多くのp $に対して$ $a$ $($ $p$ $) \equiv 0 (mod$ $p$ $)$ となる例も知られていません。研究者の中には、無限個の $pに対して$ $a$ $($ $p$ $) \equiv 0 (mod$ $p$ $)$ が成り立つかどうか疑問視し始めた者もいた。その証拠として、多くの人がラマヌジャンの $τ$ $($ $p$ $)$ (重み 12 の場合)を示した。方程式 $τ$ $($ $p$ $) \equiv 0 (mod$ $p$ $)の 10$ ¹⁰までの唯一の解は、2、3、5、7、2411、および7 758 337 633（OEISの配列A007659）。^[11]

レーマー（1947）は、すべての $n$ に対して $τ （ n ）\neq0$ であると予想した。これはレーマーの予想とも呼ばれる主張である。レーマーは、 $nが$ 214 928 639 999 (Apostol 1997、p. 22)。次の表は、この条件がすべての $n$ $\leq$ $N$ に対して成り立つ、より大きな $N$ の値を見つける進捗状況をまとめたものです。

ラマヌジャンのら-関数

ラマヌジャンのL関数は次のように定義される。

L(s)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}

であれば、解析接続により、そうでなければ、関数方程式を満たす。 $\Re s>6$

{\frac {L(s)\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}={\frac {L(12-s)\Gamma (12-s)}{(2\pi )^{12-s}}},\quad s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-},\,12-s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}

そしてオイラー積は

L(s)=\prod _{p\,{\text{prime}}}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}},\quad \Re s>7.

ラマヌジャンは、のすべての非自明な零点は実部がに等しいと予想しました。 $L$ $6$

注記

^ Sloane, N. J. A. (編)。「数列 A016754 (奇数平方数: (2n-1)^2。中心八角数でもある。)」。整数数列のオンライン百科事典。OEIS Foundation。
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^ N. Lygeros および O. Rozier (2010). 「方程式 τ ( p ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle \tau (p)\equiv 0{\pmod {p}}} の新しい解」( PDF)。Journal of Integer Sequences。13 : Article 10.7.4。

参考文献

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[1] Sloane, N. J. A. (編)。「数列 A016754 (奇数平方数: (2n-1)^2。中心八角数でもある。)」。整数数列のオンライン百科事典。OEIS Foundation。

[swd-2] スウィナートン・ダイアー 1973 の 4 ページ目

[kolberg-3] コルバーグ1962による

[ashworth-4] アシュワース 1968年

[5] ラヒヴィのおかげで

[Lehmer-6] DHレーマーによる

[7] ラマヌジャンによる 1916

[8] ウィルトン1930年

[9] JPによる。セール 1968 年、セクション 4.5

[10] Niebur, Douglas (1975年9月). 「ラマヌジャンの$\tau$関数の公式」.イリノイ数学ジャーナル. 19 (3): 448–449. doi : 10.1215/ijm/1256050746 . ISSN 0019-2082.

[Lygeros-11] N. Lygeros および O. Rozier (2010). 「方程式 τ ( p ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle \tau (p)\equiv 0{\pmod {p}}} の新しい解」( PDF)。Journal of Integer Sequences。13 : Article 10.7.4。