数学 では、モックモジュラー形式 は調和弱マース形式の 正則 部分であり、モックシータ関数は本質的に重み 1/2 の 。 を それら に 加えると 、調和弱 マース
歴史 「オイラー形式の関数があり、すべての点または無限個の点が指数特異点であると仮定します。また、これらの点において漸近形が（A）および（B）の場合と同様にきれいに閉じると仮定します。問題は、この関数が、通常のθ 関数と、すべての 点e 2 m π i / n において O(1) となる（自明な）関数の2つの関数の和であるかどうかです。…そうでない場合、私はこの関数をモックθ 関数と呼びます。」
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ラマヌジャンが1920年1月12日にハーディに宛てた手紙には、彼がモックシータ関数と呼んだ関数の例が17個挙げられており、彼の失われたノート にはさらにいくつかの例が含まれていた。（ラマヌジャンは、 、 尖 に 極 を持つ可能性があるが、「通常の」 シータ関数 では表現できないことを指摘した。彼は、同様の性質を持つ関数を「モックシータ関数」と呼んだ。ツヴェーガースは後に、モックシータ関数と弱いマース形式との関連性を発見した。
ラマヌジャンは、明確に定義されていないモックシータ関数に次数を関連付けた。ツヴェーガースの研究以前には、既知のモックシータ関数の次数には以下が含まれていた。
3、5、6、7、8、10。 ラマヌジャンの秩序の概念は、後に、ラマヌジャン の ネベンティプス 特性 の 導体 に対応することが判明した。
その後の数十年間、ラマヌジャンのモックシータ関数は、ワトソン、アンドリュース、セルバーグ、ヒッカーソン、チョイ、マッキントッシュらによって研究され、ラマヌジャンのそれに関する主張が証明され、さらにいくつかの例と恒等式が発見された。（「新しい」恒等式と例のほとんどは、すでにラマヌジャンに知られており、彼の失われたノートに再び現れた。）1936年、ワトソンは、モジュラー群 の要素の作用の下で、位数3のモックシータ関数は、重み1/2のモジュラー形式（qの適切なべき乗を掛けたもの）とほぼ同じように変換するが、 関数 に 「 誤差 項 が あり、通常は明示的な積分として与えられることを発見した。 しかし、長年にわたり、モックシータ関数の適切な定義はなかった。これは、2001年にツヴェーガースが非正則モジュラー形式、レルヒ和、不定シータ級数との関係を発見したことで変わった。ツヴェーガースは、ワトソンとアンドリュースの以前の研究を利用して、次数 3、5、7 のモック シータ関数は、重み 1/2 の弱いマース形式と、尖点で終わる測地線に沿って有界な関数の和として書けることを示した。[2] 弱いマース形式は、双曲ラプラシアンの下で固有値 3/16 を持ちます (重み1/2 の 正則 モジュラー 形式と。ただし 、 尖点 の近く で は 指数 関数 的 速く 増加するため、マース波動形式 の通常の成長条件を満たしません。ツヴェーガースは、モック シータ関数を 次元 2 の
ツヴェーガースの基本的な結果は、 。 これ により 、 線形代数 に還元される。初めて、無限の数のモックシータ関数の例を生成することが可能になった。この研究以前には、約 50 例しか知られていなかった（そのほとんどはラマヌジャンによって最初に発見された）。ツヴェーガースのアイデアのさらなる応用として、カトリン・ブリングマン とケン・オノは 、 ロジャース [ 6 ] [ 7 ] と f ( q ) の係数の漸近級数が係数に収束することを示した。特に、モックシータ関数は、上半平面 に作用するモジュラー群 の尖点 で漸近展開を 持ち、尖点に極 を 1/2 の モジュラー形式 の漸近展開に似ている
意味 擬似モジュラー形式は、調和弱マース形式 の「正則部分」として定義される。
重みk を固定します。通常は2kの整数です。SL 2 ( Z ) の部分群 Γ (またはk が半整数の場合はメタプレクティック群) と、Γ の指標 ρ を f は 、Γ の要素の下で次のように変換します。
f （ 1 τ + b c τ + d ） = ρ （ 1 b c d ） （ c τ + d ） k f （ τ ） {\displaystyle f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\rho {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(c\tau +d)^{k}f(\tau )} 重みk の弱マース形式は 連続関数 であり、重みkのモジュラー形式のように変換し、重み k ラプラシアン演算子の固有関数であり、その固有値が( 1 − k / 2 ) k / 2 である場合、調和的と 呼ばれます。これは正則な重みk モジュラー形式の固有値であるため、これらはすべて調和弱マース形式の例です。（マース形式は、尖点で急速に減少する弱マース形式です。）したがって、調和弱マース形式は 微分演算子 によって消滅します。
∂ ∂ τ y k ∂ ∂ τ ¯ \displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}y^{k}{\frac {\partial }{\partial {\overline {\tau }}}}} F が 任意の調和弱マース形式である場合、関数g は次のように与えられる。
g = y k ∂ F ¯ ∂ τ = ∑ n b n q n {\displaystyle g=y^{k}{\frac {\partial {\overline {F}}}{\partial \tau }}=\sum _{n}b_{n}q^{n}} は正則であり、重みk のモジュラー形式のように変換しますが、尖点では正則ではない可能性があります。同じ像gを持つ他の関数 g * を見つけることができれば、F − g * は正則になります。このような関数は、微分演算子を積分によって反転することで得られます。たとえば、次のように定義できます。
g * （ τ ） = （ 私 2 ） k − 1 ∫ − τ ¯ 私 ∞ （ z + τ ） − k g （ − z ¯ ） ¯ d z = ∑ n n k − 1 b n ¯ β k （ 4 n y ） q − n + 1 {\displaystyle g^{*}(\tau )=\left({\frac {i}{2}}\right)^{k-1}\int _{-{\overline {\tau }}}^{i\infty }(z+\tau )^{-k}{\overline {g(-{\overline {z}})}}\,dz=\sum _{n}n^{k-1}{\overline {b_{n}}}\beta _{k}(4ny)q^{-n+1}} どこ
β k （ t ） = ∫ t ∞ u − k e − π u d u {\displaystyle \displaystyle \beta _{k}(t)=\int _{t}^{\infty }u^{-k}e^{-\pi u}\,du} は本質的に不完全ガンマ関数 です。積分は、g が 尖点i ∞ で零点を持つ場合に収束し、不完全ガンマ関数は 解析接続 によって拡張できるため、この式は、 gが i ∞で有理型である場合でもF の正則部分g *を定義するために使用できますが、 k が 1 または整数でない場合、またはn = 0 の場合は注意が必要です。微分演算子の逆関数は一意ではなく、任意の準同型関数をg * に追加してもその像に影響しないため、結果として関数g * は群 Γ の下で不変である必要はありません。関数h = F − g *は F の正則部分 と呼ばれます。
モックモジュラー形式は 、ある調和弱マース形式Fの正則部分 h として定義される。したがって、モックモジュラー形式h の空間から調和弱マース形式の部分空間への同型写像が存在する。
擬似モジュラー形式h は正則であるが完全なモジュラー形式ではなく、h + g * はモジュラー形式であるが完全な正則形式ではない。重みkの擬似モジュラー形式の空間は、重み k のほぼモジュラー形式 (「尖点で有理型である可能性のあるモジュラー形式」) の空間を部分空間として含む。商空間は、重み 2 − k の正則モジュラー形式の空間と (反線形に) 同型である。擬似モジュラー形式h に対応する重み (2 − k ) モジュラー形式gは、その シャドウ と呼ばれる。異なる擬似シータ関数が同じシャドウを持つことはよくある。例えば、ラマヌジャンが発見した 5 次モジュラー関数 10 個は 5 個の 2 つのグループに分類され、各グループのすべての関数は同じシャドウを持つ (定数倍を除いて)。
ドン・ザギエ 、モックシータ関数を、 q = e 2 π i 𝜏 の有理数べき乗に重み 1 / 2
∑ n ∈ Z ε （ n ） n q κ n 2 {\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }\varepsilon (n)nq^{\kappa n^{2}}} 正の有理数κ と奇周期関数 εに対して。（このようなシータ級数 は すべて 重み 3/2 の ） q の有理数べき乗は歴史的な偶然である。
ほとんどのモックモジュラー形式と弱マース形式は、カスプで急速な成長を示します。カスプでの成長速度が指数関数的に速いという条件を課すのが一般的です（モックモジュラー形式の場合、これはカスプで「有理型」であることを意味します）。カスプでの成長が何らかの固定された指数関数によって制限されるモックモジュラー形式（重みと群が与えられたもの）の空間は有限次元です。
ランベルト級数 の一般化であるアペル・レルヒ和は、ポール・エミール・アペル とマティアス・レルヒ によって最初に研究されました。ワトソンは、アペル・レルヒ和を用いて3次のモックシータ関数を研究し、ツヴェーガースはそれらを用いてモックシータ関数が本質的にモックモジュラー形式であることを示しました。
アペル・レルヒ系列は
μ （ u 、 v ; τ ） = 1 1 2 θ （ v ; τ ） ∑ n ∈ Z （ − b ） n q 1 2 n （ n + 1 ） 1 − 1 q n {\displaystyle \mu (u,v;\tau )={\frac {a^{\frac {1}{2}}}{\theta (v;\tau )}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-b)^{n}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{1-aq^{n}}}} どこ
q = e 2 π 私 τ 、 1 = e 2 π 私 u 、 b = e 2 π 私 v {\displaystyle \displaystyle q=e^{2\pi i\tau },\quad a=e^{2\pi iu},\quad b=e^{2\pi iv}} そして
θ （ v 、 τ ） = ∑ n ∈ Z （ − 1 ） n b n + 1 2 q 1 2 （ n + 1 2 ） 2 。 {\displaystyle \theta (v,\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}b^{n+{\frac {1}{2}}}q^{{\frac {1}{2}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.} 修正されたシリーズ
μ ^ （ u 、 v ; τ ） = μ （ u 、 v ; τ ） − 1 2 R （ u − v ; τ ） {\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v;\tau )=\mu (u,v;\tau )-{\frac {1}{2}}R(uv;\tau )} どこ
R （ z ; τ ） = ∑ ν ∈ Z + 1 2 （ − 1 ） ν − 1 2 （ s 私 g n （ ν ） − E [ （ ν + ℑ （ z ） y ） 2 y ] ） e − 2 π 私 ν z q − 1 2 ν 2 {\displaystyle R(z;\tau )=\sum _{\nu \in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}}(-1)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\left({\rm {sign}}(\nu )-E\left[\left(\nu +{\frac {\Im (z)}{y}}\right){\sqrt {2y}}\right]\right)e^{-2\pi i\nu z}q^{-{\frac {1}{2}}\nu ^{2}}} y = Im( 𝜏 )および
E （ z ） = 2 ∫ 0 z e − π u 2 d u {\displaystyle E(z)=2\int _{0}^{z}e^{-\pi u^{2}}\,du} 以下の変換特性を満たす
μ ^ （ u + 1 、 v ; τ ） = 1 − 1 b q − 1 2 μ ^ （ u + τ 、 v ; τ ） = − μ ^ （ u 、 v ; τ ） e 2 8 π 私 μ ^ （ u 、 v ; τ + 1 ） = μ ^ （ u 、 v ; τ ） = − （ τ 私 ） − 1 2 e π 私 τ （ u − v ） 2 μ ^ （ u τ 、 v τ ; − 1 τ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mu }}(u+1,v;\tau )&=a^{-1}bq^{-{\frac {1}{2}}}{\hat {\mu }}(u+\tau ,v;\tau )\\&{}=-{\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\e^{{\frac {2}{8}}\pi i}{\hat {\mu }}(u,v;\tau +1)&={\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\&{}=-\left({\frac {\tau }{i}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{{\frac {\pi i}{\tau }}(u-v)^{2}}{\hat {\mu }}\left({\frac {u}{\tau }},{\frac {v}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }}\right).\end{aligned}}} 言い換えれば、修正されたアペル・レルヒ級数は、 τ に関してモジュラー形式のように変換されます。モックシータ関数はアペル・レルヒ級数で表現できるため、モックシータ関数に特定の非解析級数を加えると、モジュラー形式のように変換されることを意味します。
不定シータ系列 ジョージ・アンドリュース[ 14 ] Θ (𝜏) / θ( 𝜏 ) を 示し 、 ディーン・ ヒッカーソン [ 15 ] は 次 モックシータ
ジョージ・アンドリュース[ 16 ]
例 重みk の任意のモジュラー形式(おそらく尖点でのみ有理型) は、シャドウ 0 の重みk の擬似モジュラー形式である。準モジュラー・アイゼンシュタイン級数 E 2 （ τ ） = 1 − 24 ∑ n > 0 σ 1 （ n ） q n {\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n>0}\sigma _{1}(n)q^{n}} 重み2、レベル1のものは、重み2のモックモジュラー形式で、shadowは定数です。これは、 E 2 （ τ ） − 3 π y {\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )-{\frac {3}{\pi y}}} 重み 2 のモジュラー形式のように変換します (ここで𝜏 = x + iy )。 が研究した、フーリエ係数が虚数二次場のフルヴィッツ類数H ( N ) である関数は、重み 3 / 2 q n 2 F （ τ ） = ∑ N H （ N ） q n + y − 1 / 2 ∑ n ∈ Z β （ 4 π n 2 y ） q − n 2 {\displaystyle F(\tau )=\sum _{N}H(N)q^{n}+y^{-1/2}\sum _{n\in Z}\beta (4\pi n^{2}y)q^{-n^{2}}} どこ β （ x ） = 1 16 π ∫ 1 ∞ u − 3 / 2 e − x u d u {\displaystyle \beta (x)={\frac {1}{16\pi }}\int _{1}^{\infty }u^{-3/2}e^{-xu}du} y = Im( 𝜏 ) 、q = e 2 π i 𝜏 モックシータ関数は、重み 1 / 2 のモックモジュラー形式で、そのシャドウは単項シータ関数にq の有理数乗を掛けたものです(歴史的な理由から)。ツヴェーガースの研究によってそれらを構成する一般的な方法が確立される前は、ほとんどの例が基本的な超幾何関数 として与えられていましたが、これは主に歴史的な偶然であり、ほとんどのモックシータ関数は、そのような関数による単純な表現が知られていません。
「自明な」モックシータ関数は、重み 1/2 の（正則な）モジュラー形式であり、 Serre とStark はすべて 1 次元格子のシータ関数で表すことができることが示さ れ
以下の例では、次のように定義されるq-ポッホハマー記号 ( a ; q ) nを使用します。
（ 1 ; q ） n = ∏ 0 ≤ j < n （ 1 − 1 q j ） = （ 1 − 1 ） （ 1 − 1 q ） ⋯ （ 1 − 1 q n − 1 ） 。 {\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{0\leq j<n}(1-aq^{j})=(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}).}
注文2 McIntoshはいくつかの2次モックシータ関数を研究した。
A （ q ） = ∑ n ≥ 0 q （ n + 1 ） 2 （ − q ; q 2 ） n （ q ; q 2 ） n + 1 2 = ∑ n ≥ 0 q n + 1 （ − q 2 ; q 2 ） n （ q ; q 2 ） n + 1 {\displaystyle A(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n+1}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}} （ OEIS における配列番号 A006304 ） B （ q ） = ∑ n ≥ 0 q n （ n + 1 ） （ − q 2 ; q 2 ） n （ q ; q 2 ） n + 1 2 = ∑ n ≥ 0 q n （ − q ; q 2 ） n （ q ; q 2 ） n + 1 {\displaystyle B(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}} （ OEIS における配列番号 A153140 ） μ （ q ） = ∑ n ≥ 0 （ − 1 ） n q n 2 （ q ; q 2 ） n （ − q 2 ; q 2 ） n 2 {\displaystyle \mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}^{2}}}} （ OEIS における配列番号 A006306 ） 関数μ は、ラマヌジャンが失くしたノートの中で発見した。
これらは、次の8次関数のセクションに記載されている関数に関連しています。
U 0 （ q ） − 2 U 1 （ q ） = μ （ q ） {\displaystyle U_{0}(q)-2U_{1}(q)=\mu (q)} V 0 （ q ） − V 0 （ − q ） = 4 q B （ q 2 ） {\displaystyle V_{0}(q)-V_{0}(-q)=4qB(q^{2})} V 1 （ q ） + V 1 （ − q ） = 2 A （ q 2 ） {\displaystyle V_{1}(q)+V_{1}(-q)=2A(q^{2})}
注文番号7 ラマヌジャンは、1920 年にハーディに宛てた手紙の中で、7 次モック シータ関数を 3 つ示しました。これらはセルバーグによって研究され、係数の漸近展開が見つかりました。また、アンドリュース[ 14 ] は、これらの関数の多くが、不定シータ級数を重み 1/2 の モジュラー は、これらの関数 の
F 0 （ q ） = ∑ n ≥ 0 q n 2 （ q n + 1 ; q ） n {\displaystyle \displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n+1};q)_{n}}}} （ OEIS における配列番号 A053275 ） F 1 （ q ） = ∑ n ≥ 0 q n 2 （ q n ; q ） n {\displaystyle \displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n};q)_{n}}}} （ OEIS における配列番号 A053276 ） F 2 （ q ） = ∑ n ≥ 0 q n （ n + 1 ） （ q n + 1 ; q ） n + 1 {\displaystyle \displaystyle F_{2}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}} （ OEIS における配列番号 A053277 ） これら３つのモックシータ関数は異なるシャドウを持つため、ラマヌジャンの3次および5次関数の場合とは異なり、通常のモジュラー形式との間に線形関係はありません。対応する弱いマース形式は次のとおりです。
M 1 （ τ ） = q − 1 / 168 F 1 （ q ） + R 7 、 1 （ τ ） M 2 （ τ ） = − q − 25 / 168 F 2 （ q ） + R 7 、 2 （ τ ） M 3 （ τ ） = q 47 / 168 F 3 （ q ） + R 7 、 3 （ τ ） {\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}(\tau )&=q^{-1/168}F_{1}(q)+R_{7,1}(\tau )\\[4pt]M_{2}(\tau )&=-q^{-25/168}F_{2}(q)+R_{7,2}(\tau )\\[4pt]M_{3}(\tau )&=q^{47/168}F_{3}(q)+R_{7,3}(\tau )\end{aligned}}} どこ
R p 、 j （ τ ） = ∑ n ≡ j モジュール p （ 12 n ） サイン （ n ） β （ n 2 y 6 p ） q − n 2 / 24 p {\displaystyle R_{p,j}(\tau )=\!\!\!\!\sum _{n\equiv j{\bmod {p}}}{\binom {12}{n}}\operatorname {sgn}(n)\beta \left({\frac {n^{2}y}{6p}}\right)q^{-n^{2}/24p}} そして
β （ x ） = ∫ x ∞ u − 1 / 2 e − π u d u {\displaystyle \beta (x)=\int _{x}^{\infty }u^{-1/2}e^{-\pi u}\,du} は、ほぼ相補誤差関数 である。メタプレクティック群の下では、これら3つの関数は、メタプレクティック群のある特定の3次元表現に従って次のように変換される。
M j （ − 1 τ ） = τ 7 私 ∑ k = 1 3 2 罪 （ 6 π j k 7 ） M k （ τ ） M 1 （ τ + 1 ） = e − 2 π 私 / 168 M 1 （ τ ） 、 M 2 （ τ + 1 ） = e − 2 × 25 π 私 / 168 M 2 （ τ ） 、 M 3 （ τ + 1 ） = e − 2 × 121 π 私 / 168 M 3 （ τ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{j}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {\frac {\tau }{7i}}}\,\sum _{k=1}^{3}2\sin \left({\frac {6\pi jk}{7}}\right)M_{k}(\tau )\\[6pt]M_{1}(\tau +1)&=e^{-2\pi i/168}M_{1}(\tau ),\\[6pt]M_{2}(\tau +1)&=e^{-2\times 25\pi i/168}M_{2}(\tau ),\\[6pt]M_{3}(\tau +1)&=e^{-2\times 121\pi i/168}M_{3}(\tau ).\end{aligned}}} 言い換えれば、それらは重み 1/2 のレベル 1 ベクトル値調和弱マース形式の 構成 要素 で 。
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![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}(\tau )&=q^{-1/168}F_{1}(q)+R_{7,1}(\tau )\\[4pt]M_{2}(\tau )&=-q^{-25/168}F_{2}(q)+R_{7,2}(\tau )\\[4pt]M_{3}(\tau )&=q^{47/168}F_{3}(q)+R_{7,3}(\tau )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525b436c04f6acd913da02df65d8cc2486f5ca8e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{j}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {\frac {\tau }{7i}}}\,\sum _{k=1}^{3}2\sin \left({\frac {6\pi jk}{7}}\right)M_{k}(\tau )\\[6pt]M_{1}(\tau +1)&=e^{-2\pi i/168}M_{1}(\tau ),\\[6pt]M_{2}(\tau +1)&=e^{-2\times 25\pi i/168}M_{2}(\tau ),\\[6pt]M_{3}(\tau +1)&=e^{-2\times 121\pi i/168}M_{3}(\tau ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7ea50aaf061f7021429ea9bbd9fbd92054abce)
