モーダルロジック

様相論理は、必然性と可能性に関する命題を表すために用いられる論理の一種です。哲学や関連分野では、知識、義務、因果関係といった概念を理解するためのツールとして用いられます。例えば、認識様相論理では、次の式が用いられます。 $\Box P$ は、次の文を表すために使用できます。 $P$ は既知である。義務様相論理では、同じ式で、 $P$ は道徳的義務である。様相論理は様相命題から生じる推論を考察する。例えば、ほとんどの認識論的様相論理は、次の式を扱う。 $\Box P\rightarrow P$ これは、真の命題のみが知識として認められるという原理を表すトートロジーとして解釈される。しかし、義務論的様相論理においては、真であるべきものが偽である場合もあるため、この式はトートロジーではない。

様相論理は、次のような単項演算子を含む形式体系です。 $\Diamond$ そして $\Box$ それぞれ可能性と必然性を表す。例えば、様相公式 $\Diamond P$ 「おそらく」と読むことができる $P$ " その間 $\Box P$ 「必然的に」と読むことができる $P$ 。様相論理の標準的な関係意味論では、論理式は可能世界に対して真理値が割り当てられます。ある可能世界における論理式の真理値は、アクセス可能な他の可能世界における他の論理式の真理値に依存する場合があります。特に、 $\Diamond P$ 世界では、 $P$ あるアクセス可能な可能世界では真であるが、 $\Box P$ 世界では、 $P$ は、アクセス可能なすべての可能世界で真である。アクセス可能性関係を制限することによって得られる意味論に関して健全かつ完全な証明体系が数多く存在する。例えば、義務様相論理D は、アクセス可能性関係が直列であることを要求すれば健全かつ完全である。

様相論理の背後にある直観は古代に遡るが、最初の様相公理系は1912 年に CI Lewisによって開発された。現在標準となっている関係意味論は、20 世紀半ばにArthur Prior、Jaakko Hintikka、Saul Kripkeらの研究から生まれた。最近の発展には、近傍意味論などの代替位相意味論や、関係意味論の本来の哲学的動機を超えた応用が含まれる。^[¹^]こうした応用には、ゲーム理論、^[²^]道徳および法理論、^[²^]ウェブデザイン、^[²^]マルチバースに基づく集合論、^[³^]および社会認識論^[⁴^]などがある。

様相演算子の構文

様相論理は、他の種類の論理とは異なり、次のような様相演算子を使用します。 $\Box$ そして $\Diamond$ 前者は慣習的に「必然的に」と読み上げられ、道徳的または法的義務、知識、歴史的必然性などの概念を表すために使用できます。後者は通常「おそらく」と読み上げられ、許可、能力、証拠との適合性などの概念を表すために使用できます。様相論理の整形式式には、次のような非様相式が含まれます。 $P\land Q$ また、次のような法助動詞も含まれています。 $\Box (P\land Q)$ 、 $P\land \Box Q$ 、 $\Box (\Diamond P\land \Diamond Q)$ 、等々。

したがって、言語 $\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 基本的な命題論理は、以下のように再帰的に定義できる。

もし $\phi$ 原子式であれば、 $\phi$ は、 $\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 。
もし $\phi$ は、 $\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 、それから $\neg \phi$ そうだ。
もし $\phi$ そして $\psi$ は、 $\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 、それから $\phi \land \psi$ そうだ。
もし $\phi$ は、 $\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 、それから $\Diamond \phi$ そうだ。
もし $\phi$ は、 $\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 、それから $\Box \phi$ そうだ。

様相演算子は、上記の #4 および #5 と同様の規則を導入することにより、他の種類の論理に追加できます。様相述語論理は、次のような式を含む広く使用されているバリアントの 1 つです。 $\forall x\Diamond P(x)$ 様相論理のシステムでは $\Box$ そして $\Diamond$ 双対である、 $\Box \phi$ は略語として解釈できます $\neg \ダイヤモンド \neg \phi$ これにより、それを導入するための別の構文規則が不要になる。ただし、2つの演算子が相互に定義できないシステムでは、別の構文規則が必要となる。

一般的な表記法のバリエーションには、次のような記号が含まれます。 $[K]$ そして $\langle K\rangle$ 知識を表現するために使用される様相論理のシステムと $[B]$ そして $\langle B\rangle$ 信念を表すために用いられる表記法。これらの表記法は、複数の様相演算子を同時に使用するシステム（マルチモーダル論理）で特に一般的である。例えば、認識論的・義務論的論理を組み合わせた場合、次の式が用いられる。 $[K]\langle D\rangle P$ 「Pが許可されていることは知っています」と読みます。様相論理のシステムには、インデックスによって区別される無限に多くの様相演算子を含めることができます。 $\Box _{1}$ 、 $\Box _{2}$ 、 $\Box _{3}$ 、等々。

意味論

関係意味論

基本的な概念

様相論理の標準的な意味論は関係意味論と呼ばれます。このアプローチでは、式の真偽は、しばしば可能世界と呼ばれる点に関して決定されます。様相演算子を含む式の場合、その真偽値は、他のアクセス可能な世界で何が真であるかに依存する可能性があります。したがって、関係意味論は、次のように定義されたモデルを使用して様相論理の式を解釈します。 ^{[ 5 ]}

関係モデルはタプルです ${\mathfrak {M}}=\langle W,R,V\rangle$ どこ：

$W$ 可能な世界の集合である
$R$ は、 $W$
$V$ は、原子式と世界の各ペアに真偽値を割り当てる評価関数です。 $V:W\times F\to \{0,1\}$ どこ $F$ （原子式の集合）

セット $W$ 宇宙と呼ばれることが多い。二項関係 $R$ これはアクセス可能性関係と呼ばれ、何が真実かを判断するために、どの世界が互いを「見る」ことができるかを制御します。たとえば、 $wRu$ 世界は $u$ 世界中からアクセス可能 $w$ つまり、 $u$ は、 $w$ 最後に、関数 $V$ これは評価関数として知られています。どの原子式がどの世界で真であるかを決定します。

次に、世界における式の真偽を再帰的に定義します。 $w$ モデルにおいて ${\mathfrak {M}}$ :

${\mathfrak {M}},w\models P$ もし $V(w,P)=1$
${\mathfrak {M}},w\models \neg P$ もし $\not \models P$
${\mathfrak {M}},w\models (P\wedge Q)$ もし $w\models P$ そして $w\models Q$
${\mathfrak {M}},w\models \Box P$ すべての要素に対して $u$ の $W$ 、もし $wRu$ それから $u\models P$
${\mathfrak {M}},w\models \Diamond P$ ある要素の場合 $u$ の $W$ 次のように主張する $wRu$ そして $u\models P$

この意味論によれば、世界に関して式が必要である。 $w$ もしそれがアクセス可能なすべての世界で成り立つならば $w$ .ある世界からアクセス可能な場合、それは可能です。 $w$ 可能性は、アクセス可能性の関係に依存する。 $R$ これにより、可能性の相対的な性質を表現できます。たとえば、物理法則からすると人間が光速より速く移動することは不可能だが、他の状況であれば可能だったかもしれない、と言うことができます。アクセス可能性の関係を使用すると、このシナリオを次のように翻訳できます。私たちの世界からアクセス可能なすべての世界では、人間が光速より速く移動することはできませんが、これらのアクセス可能な世界のうちの1つには、それらの世界からアクセス可能だが私たちの世界からはアクセスできない別の世界があり、そこでは人間が光速より速く移動できます。

フレームと完全性

アクセシビリティ関係の選択だけで、式の真偽を保証できる場合がある。例えば、モデルを考えてみよう。 ${\mathfrak {M}}$ そのアクセス可能性関係は反射的です。関係が反射的であるため、次のようになります。 ${\mathfrak {M}},w\models P\rightarrow \Diamond P$ いかなる場合でも $w\in G$ どの評価関数が使用されるかに関わらず、このことが当てはまります。そのため、様相論理学者は、関係モデルから評価関数を除いた部分である「フレーム」について言及することがあります。

関係フレームはペアです ${\mathfrak {M}}=\langle G,R\rangle$ どこ $G$ 可能な世界の集合であり、 $R$ は、 $G$ 。

様相論理のさまざまな体系は、フレーム条件を用いて定義されます。フレームは次のように呼ばれます。

w R wの場合反射的、すべてのw ∈ Gに対して
対称性とは、すべてのwおよびu ∈ Gに対してw R uならばu R wが成り立つ場合をいう
推移的とは、 w R uかつu R qが共にw R qを意味する場合であり、これはGのすべてのw、 u、 qについて成り立つ。
シリアルである場合、 Gのすべてのwに対して、w R uとなるようなGのuが存在する。
ユークリッド的であるとは、任意のu、 t、 wに対して、 w R uおよびw R t がu R tを意味する（対称性により、 t R uおよびt R tおよびu R uも意味する）。

これらのフレーム条件からシステムが導き出す論理は次のとおりです。

K := 条件なし
D := シリアル
T := 反射
B := 反射的かつ対称的
S4 :=反射的かつ推移的
S5 := 反射的かつユークリッド的

ユークリッド性に加えて反射性があれば、対称性と推移性が得られます。（ユークリッド性は、対称性と推移性からも得られます。）したがって、アクセス可能性関係Rが反射的かつユークリッド的であれば、Rは対称的かつ推移的であることも証明できます。したがって、S5 のモデルでは、Rは反射的、対称的、かつ推移的であるため、Rは同値関係となります。

これらのフレームは、すべての世界がWの他のすべての世界を見ることができるフレーム（つまり、Rが「全」関係である場合）と同じ有効な文の集合を生成することを証明できます。これにより、対応するモーダルグラフが得られます。このグラフは完全です（つまり、これ以上エッジ（関係）を追加することはできません）。たとえば、フレーム条件に基づく任意のモーダル論理では、次のようになります。

w\models \Diamond P

Gのある要素uに対して、以下が成り立つ場合に限り、

u\models P

そして、w R u。

全体の関係に基づいてフレームを考慮すると、次のように言うことができます。

w\models \Diamond P

Gのある要素uに対して、以下が成り立つ場合に限り、

u\models P

。

後者の規定からアクセシビリティ条項を削除できます。なぜなら、そのような全体フレームでは、すべてのwとuについてw R uが自明に成り立つからです。しかし、これはすべての S5 フレームで当てはまるわけではなく、S5 フレームは、互いに完全に接続されているものの、互いに切断されている複数の部分から構成される場合があります。

これらの論理体系はすべて、次のセクションで示すように、公理的に定義することもできます。たとえば、S5 では、公理は $P\implies \Box \Diamond P$ 、 $\Box P\implies \Box \Box P$ そして $\Box P\implies P$ （それぞれ対称性、推移性、反射性に対応する）が成り立つのに対し、他のより弱い論理ではこれらの公理の少なくとも１つが成り立たない。

位相意味論

様相論理は位相構造を用いて解釈されることもある。例えば、内部意味論では様相論理の式を次のように解釈する。

トポロジーモデルはタプルです $\mathrm {X} =\langle X,\tau ,V\rangle$ どこ $\langle X,\tau \rangle$ は位相空間であり、 $V$ は、各原子式をのサブセットにマッピングする評価関数です。 $X$ 基本的な内部意味論では、様相論理の式を次のように解釈します。

$\mathrm {X} ,x\models P$ もし $x\in V(P)$
$\mathrm {X} ,x\models \neg \phi$ もし $\mathrm {X} ,x\not \models \phi$
$\mathrm {X} ,x\models \phi \land \chi$ もし $\mathrm {X} ,x\models \phi$ そして $\mathrm {X} ,x\models \chi$
$\mathrm {X} ,x\models \Box \phi$ いくつかの場合 $U\in \tau$ 私たちは両方持っています $x\in U$ そしてそれもまた $\mathrm {X} ,y\models \phi$ すべての人々のために $y\in U$

位相的アプローチは関係的アプローチを包含し、非正規様相論理を可能にする。位相的アプローチが提供する追加構造は、信念の根拠や正当化といった特定の概念を分かりやすくモデル化する手段も提供する。位相意味論は、近年の形式認識論の研究で広く用いられており、デイヴィッド・ルイスとアンジェリカ・クラッツァーによる反事実論理などの先行研究にその源流がある。

公理系

様相論理の最初の形式化は公理的であった。1912年に C.I.ルイスがこの分野の研究を始めて以来、非常に異なる特性を持つ数多くのバリエーションが提案されてきた。例えば、ヒューズとクレスウェル（1996）は、42の正規様相論理と25の非正規様相論理について述べている。ゼマン（1973）は、ヒューズとクレスウェルが省略したいくつかのシステムについて述べている。

様相論理の現代的な扱いは、命題論理に「必然性」と「可能性」を表す2つの単項演算を追加することから始まります。以来広く用いられている CI Lewisの記法では、「必然的にp 」は、括弧で範囲が定められる接頭辞「ボックス」(□ p )で表されます。同様に、接頭辞「ひし形」(◇ p )は「可能性としてp 」を表します。一階述語論理の量化子と同様に、「必然的にp」(□ p )は量化の範囲(クリプキ意味論におけるアクセス可能な可能世界の集合)が空でないことを仮定しませんが、「可能性としてp」(◇ p )はしばしば暗黙のうちに、 $\Diamond \top$ （すなわち、アクセス可能な可能世界の集合は空ではない）。表記法に関わらず、これらの演算子はそれぞれ、古典的な様相論理において他の演算子を用いて定義可能である。

□ p (必然的にp ) は $\neg◇\neg p$ (「 pでないことは不可能」)と同等です
◇ p (おそらくp ) は $\neg□\neg p$ (「必ずしも非pではない」)と同等です

したがって、□と◇は双対演算子を形成する。

多くの様相論理において、必然性演算子と可能性演算子は、ブール代数におけるド・モルガンの法則の以下の類似物を満たす。

「Xである必要はない」は、「Xではない可能性がある」と論理的に同値である。

「Xはあり得ない」は、「Xでないことは必然である」と論理的に同値である。

実用的な様相論理体系を構築するために、命題論理にどのような公理と規則を追加する必要があるかは、哲学的な見解の問題であり、多くの場合、証明したい定理によって左右されます。あるいは、コンピュータ科学においては、どのような計算システムや演繹システムをモデル化したいかによって決まります。正規様相論理として総称される多くの様相論理には、次の規則と公理が含まれています。

N、必然性ルール：pが定理／トートロジー（ Nを呼び出す任意のシステム／モデルの）である場合、□ pも同様に定理である（つまり $(\models p)\implies (\models \Box p)$ )
K、分布公理： $□(p \to q) \to (□ p \to □ q)。$

ソール・クリプキにちなんで「K 」と名付けられた最も弱い通常の様相論理は、命題論理に□、規則N、および公理Kを追加しただけのものである。Kが弱いのは、命題が必然的であるか否かを判断できず、偶然的にしか必然的ではないと判断できない点にある。つまり、□ pが真ならば□□ pが真である、すなわち必然的真理が「必然的に必然的」である、という定理はKには存在しない。このような難解さが不自然で人為的だと考えられるならば、Kのこの欠点はそれほど大きなものではない。いずれにせよ、このような問いに対する異なる答えは、異なる様相論理体系を生み出す。

Kに公理を追加すると、他のよく知られた様相論理体系が生まれる。Kでは、「pは必要であるならばpは真である」と証明することはできない。公理Tはこの欠点を解消する。

T、反射律公理： $□ p \to p$ （pが必要な条件であれば、pが成り立つ。）

Tはほとんどの様相論理で成り立つが、すべてではない。ゼマン (1973) は、 S1 ⁰などのいくつかの例外について述べている。

その他のよく知られた基本的な公理は以下のとおりです。

4 : $\Box p\to \Box \Box p$
B： $p\to \Box \Diamond p$
D： $\Box p\to \Diamond p$
5 : $\Diamond p\to \Box \Diamond p$

これらから以下のシステムが得られます（公理は太字、システムは斜体で表記）。

K := K + N
T := K + T
S4 := T + 4
S5 := T + 5
D := K + D。

KからS5は入れ子構造のシステム階層を形成し、通常の様相論理の中核を構成します。しかし、特定のシステムには特定の規則または規則のセットが適切である場合があります。たとえば、義務論理では、 $\Box p\to \Diamond p$ (もしそれがpであるべきなら、 pが許容される) は適切と思われるが、おそらくそれを含めるべきではない $p\to \Box \Diamond p$ 実際、そうすることは自然主義的誤謬（つまり、自然なことは良いことであると主張すること、つまり、 pが事実であるならば、p は許されるべきであると言うこと）を犯すことになる。

一般的に用いられる体系S5は、すべての様相真理を必然的なものとしている。例えば、pが可能であれば、 pが可能であること「は必然的」である。また、pが必要であれば、pが必要であることも必然的である。S5が関心のあるすべての様相を記述できるわけではないため、他の様相論理体系も考案されている。

構造証明論

様相論理に対しては、シーケント計算や自然演繹体系が開発されてきたが、一般性と、純粋性（証明理論がラベルなどの非論理的な概念を導入しないこと）や解析性（論理規則が明確な解析的証明の概念を支えること）といった、優れた構造的証明理論に求められる他の特徴を両立させることは困難であることが分かっている。一般性を実現するために、様相論理にはより複雑な計算体系が適用されてきた。

意思決定方法

分析タブローは、様相論理において最も一般的な決定方法を提供する。^{[ 6 ]}

哲学における様相論理

真理論理

必然性と可能性の様相は、真理様相と呼ばれます。また、ラテン語のspeciesに由来する特殊様相と呼ばれることもあります。様相論理は、これらの概念を扱うために最初に開発され、その後他の概念にも拡張されました。そのため、あるいはその馴染みやすさと単純さゆえに、必然性と可能性はしばしば様相論理の対象として気軽に扱われます。さらに、必然性を、例えば法的、物理的、法則的、認識論的などといった相対性で捉える方が、他の概念を相対化するよりも理解しやすいのです。

古典様相論理では、命題は次のように言われる。

それが必ずしも偽ではない場合（それが実際に真であるか偽であるかに関わらず）は可能である。
偽である可能性がない場合（つまり、真であり、かつ必然的に真である場合）に必要となる。
必ずしも偽でもなく、必ずしも真でもない（つまり、可能性はあるが必ずしも真ではない）場合に条件付きである。
真である可能性がない限り（つまり、偽であり、かつ必然的に偽でない限り）、それは不可能である。

したがって、古典的な様相論理では、可能性または必然性の概念のいずれかが基本概念とみなされ、他の概念はド・モルガンの双対性のように、この基本概念に基づいて定義される。直観主義的様相論理では、可能性と必然性は完全に対称的ではないものとして扱われる。

例えば、コンビニに行く途中でフリードリヒの家の前を通りかかったとき、明かりが消えていることに気づいたとします。帰り道に、明かりがついていることに気づいたとします。

「誰かまたは何かが電気をつけた」という表現が必要です。
「フリードリヒが電気をつけた」、「フリードリヒのルームメイトのマックスが電気をつけた」、「アドルフという名の泥棒がフリードリヒの家に侵入して電気をつけた」は条件付きです。
上記の記述はすべてあり得る。
ソクラテス（すでに2000年以上前に亡くなっている）が電気をつけたなどということはあり得ない。

（もちろん、この類推は真理様相を真に厳密な形で適用しているわけではない。そうするためには、「人間は死から蘇ることはできない」「ソクラテスは人間であり、不死の吸血鬼ではなかった」「私たちは幻覚剤を服用して、明かりがついていると誤って信じたわけではない」といった命題を無限に公理的に述べなければならないだろう。真偽の絶対的な確実性は、「4辺の三角形を描くことは不可能である」「すべての独身男性は未婚である」といった論理的に構築された抽象概念の意味においてのみ存在する。）

何かが可能ではあるが真実ではないという概念を理解するのが難しい場合は、複数の「可能世界」（ライプニッツの意味で）または「代替宇宙」について考えることで、これらの用語の意味がより理解しやすくなるかもしれません。「必然的」なことはすべての可能世界で真実であり、「可能」なことは少なくとも1つの可能世界で真実です。

物理的な可能性

物理法則によって許されるならば、何かが物理的に、あるいは論理的に可能であると言える。例えば、現在の理論では、原子番号126の原子が存在する可能性があると考えられているが、そのような原子は実際には存在しない。 ^[⁷^]対照的に、論理的には光速を超えて加速することは可能であるが、 [ ⁸^]^現代科学では、物質粒子や情報にとってそれは物理的に不可能であると規定されている。^[⁹^]

形而上学的可能性

哲学者たちは、物体が科学法則によって規定される性質とは独立した性質を持つかどうかについて議論している。例えば、物理主義を主張する一部の人々が考えているように、思考するすべての存在は身体を持ち^[¹⁰^] 、時間の経過を経験できることは形而上学的に必然であるかもしれない。ソール・クリプキは、すべての人は必然的に現在の両親を持つことになると主張している。両親が異なれば、その人は同じ人間ではなくなるだろう^[¹¹^{] 。}

形而上学的可能性は、単なる論理的可能性よりも制約が多いと考えられてきた^{[ 12 ]}（つまり、形而上学的に可能なものは論理的に可能なものよりも少ない）。しかし、それが論理的可能性や物理的可能性とどのような関係にあるのか（もしあるとすれば）は議論の的となっている。哲学者たちはまた、形而上学的真理が単に「定義によって」必然的なものなのか、世界の根底にある深い事実を反映しているのか、あるいは全く別の何かなのかについても意見が分かれている。

認識論理

認識様相（ギリシャ語のepisteme、知識に由来）は、文の確実性に関係します。□演算子は「xは…であると確信している」と訳され、◇演算子は「xが知る限り、…が真である可能性がある」と訳されます。日常会話では、形而上学的様相と認識様相はしばしば似たような言葉で表現されます。以下の対比が参考になるでしょう。

ジョーンズという人物は、(1)「いいえ、ビッグフットが存在することはあり得ません。私はそのことを確信しています」と、(2)「確かに、ビッグフットが存在する可能性はあります」の両方を言うかもしれません。ジョーンズが(1)で意味しているのは、入手可能なすべての情報を考慮すると、ビッグフットが存在するかどうかについて疑問の余地はないということです。これは認識論的な主張です。(2)で彼は、ビッグフットが存在しないとしても、ビッグフットが存在することはあり得るという形而上学的な主張をしています。つまり、体毛が厚く、羽毛がなく、二足歩行する大型の生物が北米の森林に存在しない物理的または生物学的な理由はないということです（実際に存在するかどうかに関わらず）。同様に、「この文章を読んでいる人が身長14フィートでチャドという名前である可能性はある」という文は形而上学的には真である（そのような人が身長や名前を理由にそうすることが妨げられることはない）が、あなたがその記述に合致しない限り真理としては真ではなく、身長14フィートの人間がこれまで存在したことがないと分かっている場合は認識論的にも真ではない。

反対の方向から、ジョーンズは次のように言うかもしれない。（3）「ゴールドバッハの予想が真である可能性もあるが、偽である可能性もある」、そして（4）「もしそれが真であるならば、それは必然的に真であり、偽である可能性はない」。ここでジョーンズは、彼が知る限り（ゴールドバッハの予想は真か偽か証明されていない）、認識論的に真か偽かの可能性があるという意味で言っているが、もし証明（これまで発見されていない）があれば、ゴールドバッハの予想が偽であることは論理的に不可能であることが示されるだろう。つまり、それに違反する数の集合は存在しないということだ。論理的可能性は真理的可能性の一形態である。（4）は、数学的真理が偽である可能性があるかどうか（つまり、論理的に言えば）について主張しているが、（3）は、ジョーンズが知る限り（つまり、確実性について言えば）、数学的主張が具体的に真か偽かのどちらかである可能性があるかどうかについて主張しているだけであり、したがってジョーンズはここでも自己矛盾していない。ジョーンズの主張が必ずしも正しいとは限らない点に留意しておく価値がある。ゴールドバッハの予想は（認識論的に）真であると同時に証明不可能である可能性もある。

認識論的可能性は、形而上学的可能性とは異なり、現実世界にも影響を与えます。形而上学的可能性は、世界がどのような状態であったかという可能性に関係しますが、認識論的可能性は、世界がどのような状態にあるか（我々の知る限り）という可能性に関係します。例えば、出かける前に傘を持っていくべきかどうかを知りたいとしましょう。「外は雨が降っている可能性がある」と認識論的可能性の意味で言われた場合、それは私が傘を持っていくかどうかに影響します。しかし、「外は雨が降る可能性がある」と形而上学的可能性の意味で言われただけでは、この様相的啓蒙によって私が得をするメリットは何もありません。

認識様相論理のいくつかの特徴については議論の余地がある。例えば、xがpを知っている場合、xはpを知っていることを知っているのだろうか？つまり、□ P → □□ Pはこれらのシステムにおける公理であるべきだろうか？この質問に対する答えは不明確だが、^{[ 13 ]}少なくとも1つの公理が認識様相論理に一般的に含まれている。なぜなら、それはすべての通常の様相論理において最低限真だからである（公理系に関するセクションを参照）。

K、分布公理： $\Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)$ 。

認識的様相と真理的様相を区別すべきかどうかは疑問視されてきた。批判によれば、「世界における真理」（真理的）と「個人の心の中にある真理」（認識的）の間には実際的な違いはないという。^{[ 14 ]}調査の結果、真理的様相と認識的様相が文法的な法則によって形式的に区別されている言語は一つも見つかっていない。^{[ 15 ]}

時間論理

時間論理は、時制を持つ表現、つまり「いつ」という条件を持つ表現の意味論へのアプローチです。「2 + 2 = 4」のような表現は常に真ですが、「ジョンは幸せだ」のような時制を持つ表現は、時によってのみ真となります。

時間論理では、時制構造は様相の観点から扱われ、時間に関する議論を形式化する標準的な方法は、過去と未来を表す2組の演算子を使用することです（Pは単に「現在Pである」という意味になります）。例えば：

F P : P の場合、

G P : P は常に

P P : P の場合、

H P : P は常にそうでした

すると、少なくとも３つの様相論理を展開できる。例えば、次のように規定できる。

\Diamond P=P

ある時点では

\Box P=P

常にtの場合に当てはまります

あるいは、これらの演算子を交換して、未来（または過去）のみを扱うこともできます。たとえば、

\Diamond _{1}P={\mathsf {F}}P

\Box _{1}P={\mathsf {G}}P

または、

\Diamond _{2}P=P{\text{ and}}{/}{\text{or }}{\mathsf {F}}P

\Box _{2}P=P{\text{ and }}{\mathsf {G}}P

演算子FとG は最初は馴染みのないものに思えるかもしれませんが、これらは通常の様相体系を構成します。F Pは ¬ G ¬ Pと同じです。上記の演算子を組み合わせて複雑な命題を形成できます。例えば、P P → □ P Pは、（実質的に）「過去で真であるものはすべて必然である」という意味になります。

明日雨が降るかもしれないし、降らないかもしれないと言うのは妥当に思える。一方で、過去を変えることはできないので、昨日雨が降ったことが真実であれば、昨日雨が降らなかったかもしれないということはあり得ない。過去はある意味で「固定」されている、あるいは必然的であるのに対し、未来はそうではないように思われる。これは時として「偶然的必然性」と呼ばれる。しかし、過去が「固定」されており、未来にあるすべてのことがいずれは過去になるのだとすれば、未来の出来事もまた必然的であると言うのはもっともらしいように思える。

同様に、未来の偶発事象の問題は、未来に関する主張の意味論を考察する。すなわち、「明日海戦が起こる」という命題と、「明日海戦は起こらない」という命題のどちらが現在真であるか、という問題である。このテーゼを考察した結果、アリストテレスは未来に関する主張の二値性の原理を否定するに至った。

追加の二項演算子も時間論理に関連しています（線形時間論理を参照）。

コンピュータサイエンスでは、コンピュータ操作をモデル化し、それに関する定理を証明するために、時間論理の様々なバージョンが用いられます。あるバージョンでは、◇ Pは「計算の将来のある時点で、コンピュータの状態がPが真となる可能性がある」ことを意味し、□ Pは「計算の将来のすべての時点で P が真となる」ことを意味します。別のバージョンでは、◇ Pは「計算の次の状態では、P が真となる可能性がある」ことを意味し、□ Pは「計算の次の状態では、Pが真となる」ことを意味します。これらは、アクセス可能性関係の選択が異なります。（P は常に「現在のコンピュータの状態においてPが真である」ことを意味します。）これら 2 つの例は、非決定論的または完全には理解されていない計算を扱っています。プログラム解析のさまざまなタイプに特化した他の多くの様相論理が存在します。それぞれが、当然ながらわずかに異なる公理につながります。

義務論理

同様に、道徳、あるいは義務や規範全般についての議論も、様相構造を持っているように思われる。「あなたはこれをしなければならない」と「あなたはこれをしてもよい」の違いは、「これは必要である」と「これは可能である」の違いとよく似ている。このような論理は、ギリシャ語で「義務」を意味する言葉に由来して、義務論と呼ばれる。

義務論理では、クリプキ意味論におけるアクセス可能性関係の反射性に意味的に対応する公理Tが一般的に欠落している。記号では、 $\Box \phi \to \phi$ □を「～することが義務である」と解釈すると、Tは非公式に、すべての義務が真であると述べていることになる。例えば、他人を殺さないことが義務である（つまり、殺人は道徳的に禁じられている）場合、Tは人々が実際に他人を殺さないことを示唆する。結論は明らかに偽である。

代わりに、クリプキ意味論を用いると、我々自身の世界はすべての義務を実現していないが、我々の世界からアクセス可能な世界は実現している（つまり、これらの世界ではTが成り立つ）と言う。これらの世界は理想化された世界と呼ばれる。我々の世界からアクセス可能な理想化された世界すべてにおいてPが成り立つならば、 Pは我々自身の世界に関して義務的である。これは形式意味論の最初の解釈の1つであったが、最近批判を受けている。^[¹⁶^]

義務論的原則として（少なくとも伝統的に）しばしば受け入れられるもう 1 つの原則はDである。 $\Box \phi \to \Diamond \phi$ これは、アクセス可能性関係の連続性（あるいは拡張性、あるいは無限性）に対応する。これは、「～すべきであるならば～できる」というカントの思想を具現化したものである。（もちろん、「～できる」は、例えば道徳的あるいは真理的な意味など、様々な意味で解釈できる。）

義務論理における直感的な問題点

倫理を標準的な様相論理で形式化しようとすると、いくつかの問題に遭遇します。命題K : あなたはいくらかのお金を盗んだ、そして別の命題Q : あなたは少額のお金を盗んだ、としましょう。ここで、「もしあなたがいくらかのお金を盗んだのなら、それは少額のお金であるべきだ」という考えを表現したいとします。考えられる候補は 2 つあります。

（１）

(K\to \Box Q)

（２）

\Box (K\to Q)

しかし、（1）とKを合わせると□ Qが導かれ、これはあなたが少額のお金を盗んだはずだということを意味します。これは明らかに正しくありません。なぜなら、あなたは何も盗んではいけないからです。また、（2）も機能しません。「あなたがいくらかのお金を盗んだ場合、それは少額であるはずだ」の正しい表現が（2）であるならば、（3）「あなたがいくらかのお金を盗んだ場合、それは多額であるはずだ」の正しい表現は $\Box (K\to (K\land \lnot Q))$ では、（妥当と思われるように）何も盗んではいけない、あるいは $\Box \lnot K$ しかし、そこから推論できる $\Box (K\to (K\land \lnot Q))$ 経由 $\Box (\lnot K)\to \Box (K\to K\land \lnot K)$ そして $\Box (K\land \lnot K\to (K\land \lnot Q))$ （ $Q\to K$ ）したがって、（３）の文は我々の仮説から導かれる（もちろん、同じ論理で（２）の文も示される）。しかし、それは正しくなく、自然言語を使用する場合には正しくない。誰かに盗んではいけないと言うことは、盗みを働く場合に多額のお金を盗むべきだという意味ではないことは確かである。^{[ 17 ]}

信念論理

信念論理とは、（ある行為者の）信念の論理に関するものです。「信念」という用語は、古代ギリシャ語の「doxa」 （信念）に由来します。一般的に、信念論理では□（しばしば「B」と表記される）を用いて「～と信じられている」という意味を表します。特定の行為者sに相対化すると、「sによって～と信じられている」という意味になります。

拡張機能

様相論理は、ファジィクリプキモデルのクラスの計算体系を用いてファジィ形式に拡張することができる。 ^{[ 18 ]}

様相論理は、古典的な命題論理体系の基底拡張意味論によっても拡張され得る。この場合、論理式の妥当性は、原子規則の「基底」における証明可能性によって生成される帰納的定義によって示すことができる。^{[ 19 ]}

直観主義様相論理はさまざまな応用分野で使用されており、さまざまな源泉から生まれたことが多い。これらの分野には、数学、コンピュータ科学、哲学の基礎が含まれる。これらのアプローチでは、直観主義論理に様相を追加して新しい直観主義結合子を作成し、直観主義一階述語論理の単項要素をシミュレートすることが多い。^{[ 20 ]}

形而上学的な問い

様相論理の最も一般的な解釈では、「論理的に可能な世界」が考慮される。ある命題がすべての可能な世界で真である場合、それは必然的真理である。ある命題がたまたま我々の世界で真であるが、すべての可能な世界で真ではない場合、それは偶然的真理である。ある可能な世界（必ずしも我々の世界とは限らない）で真である命題は、可能な真理と呼ばれる。

この「可能世界」の慣用句の下では、ビッグフットの存在は可能だが実際ではないと主張するために、「ビッグフットが存在する可能性のある世界があるが、現実の世界ではビッグフットは存在しない」と言う。しかし、この主張が私たちに何を約束させるのかは不明である。私たちは本当に、現実の世界と同じくらい現実的だが実際ではない可能性のある世界の存在を主張しているのだろうか？ソール・クリプキは、「可能世界」という言葉はやや誤称であり、「可能世界」という用語は可能性の概念を視覚化するのに便利な方法にすぎないと考えている。^{[ 21 ]}彼にとって、「6ではなく4を出すこともできた」という文と「4を出した可能性のある世界があるが、現実の世界では6を出した」という文は、それほど大きな違いはなく、どちらも私たちに可能世界の存在を約束させるものではない。^{[ 22 ]} 一方、デイヴィッド・ルイスは、あらゆる単なる可能世界は我々の世界と同じくらい現実的であり、我々の世界を現実のものとして区別するのは、それがまさに我々の世界、つまりこの世界であるという点に尽きると主張して、自らを悪名高い存在にした。^{[ 23 ]}この立場は「様相実在論」の主要な信条である。一部の哲学者は、様相実在論を存在論的に過剰であるとして、いかなるバージョンも支持することを拒否し、これらの存在論的コミットメントを言い換えるさまざまな方法を探すことを好む。ロバート・アダムズは、「可能世界」は「世界物語」、つまり一貫した命題の集合として考える方が適切だと考えている。したがって、そのような事態が首尾一貫して記述できるのであれば、あなたが4を振った可能性もある。^{[ 24 ]}

コンピュータ科学者は一般的に、分析対象となる特定の種類の計算に特化した、非常に具体的な様相演算子の解釈を選択します。「すべての世界」の代わりに、「コンピュータのすべての可能な次の状態」または「コンピュータのすべての可能な将来の状態」といった表現が用いられることがあります。

さらなる応用

様相論理は、文学、詩、芸術、歴史などの人文科学の分野で使用され始めています。^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}宗教哲学では、様相論理は神の存在の議論でよく使用されます。^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}

歴史

様相論理の基本概念は古代に遡ります。アリストテレスは『分析論前書』第1巻（第8章～第22章）で様相三段論法を展開し、テオフラストスがそれを改良しようと試みました。^{[ 29 ]}また、アリストテレスの著作には、『解釈論』第9節の有名な海戦論証のように、様相論理と可能性および時間との関連を予見していたと現在考えられている箇所もあります。ヘレニズム時代には、論理学者のディオドロス・クロノス、弁証法学者のフィロン、ストア派のクリュシッポスがそれぞれ、可能性と必然性の相互定義性を説明し、公理T（§公理系を参照）を受け入れ、様相論理と時間論理の要素を組み合わせて、悪名高いマスター論証を解決しようと試みた様相体系を開発しました。^[³⁰^]様相論理の最も初期の形式体系はアヴィセンナによって開発され、彼は最終的に「時間的に様相的な」三段論法の理論を発展させた。^[³¹^]自己認識主体としての様相論理は、スコラ哲学者の著作、特にウィリアム・オブ・オッカムとジョン・ドゥンス・スコトゥスの著作に大きく負っており、彼らは主に本質と偶有性に関する命題を分析するために、様相的な方法で非形式的に推論した。

19 世紀、ヒュー・マッコールは様相論理に革新的な貢献をしたが、あまり認められなかった。^{[ 32 ]} C.I. ルイスは、 1912 年の「含意と論理の代数」から始まる一連の学術論文で現代様相論理を創始した。^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}ルイスは、古典論理が、偽が任意の命題を含意するという原理のような実質含意のパラドックスを認めるという理由で、様相論理、特に厳密含意を発明するに至った。^[³⁵^]この研究は、1932 年の著書『記号論理学』（C.H. ラングフォードとの共著）^[³⁶^]で頂点に達し、 S1からS5までの5 つのシステムを紹介した。

ルイス以降、様相論理は数十年間ほとんど注目されなかった。ニコラス・レッシャーは、これはバートランド・ラッセルがそれを否定したためだと主張している。^{[ 37 ]}しかし、ヤン・デジノスカはこの見解に反論し、ラッセルの著作にはデジノスカが「MDL」と呼ぶ様相体系が記述されていると述べている。ただし、ラッセル自身は『物質の分析』の中で、様相の概念は「命題と命題関数を混同することから生じる」と考えていたと書いている。^[³⁸^]

ルース・C・バーカン（後にルース・バーカン・マーカス）は、ルイスのS2、S4、S5の1階および2階拡張である、量化様相論理の最初の公理系を開発した。^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}アーサー・ノーマン・プライアーは、様相論理に対する偏見があるため、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインとの量化様相論理に関する議論に十分備えるよう彼女に警告した。^{[ 42 ]}

様相意味論の現代は、1959年にソール・クリプキ（当時ハーバード大学の学部生で18歳）が、現在では標準となっている様相論理のクリプキ意味論を導入したことから始まった。これらは一般に「可能世界」意味論と呼ばれている。クリプキとANプライアーは以前からかなり長い間、書簡を交わしていた。クリプキ意味論は基本的に単純だが、 EWベスが説明しているように、意味論的表や解析的表を用いることで証明が容易になる。

A.N. Prior は、様相論理と密接に関連する現代の時相論理を 1957 年に作成し、「最終的に」と「以前に」を意味する様相演算子 [F] と [P] を追加しました。Vaughan Pratt は1976 年に動的論理を導入しました。1977 年に、Amir Pnueli は、継続的に動作する並行プログラムの動作を形式化するために時相論理を使用することを提案しました。時相論理のバリエーションには、命題動的論理(PDL)、(命題)線形時相論理(LTL)、計算木論理(CTL)、Hennessy–Milner 論理、およびT があります。

様相論理の数学的構造、すなわち単項演算で拡張されたブール代数（しばしば様相代数と呼ばれる）は、 JCC McKinseyが 1941 年にS2とS4が決定可能であることを証明したことから始まり^[⁴³^] 、 Alfred Tarskiと彼の学生Bjarni Jónssonの研究で完全に開花しました(Jónsson and Tarski 1951–52 )。この研究により、S4とS5は内部代数のモデルであることが明らかになりました。内部代数は、もともと位相の内部演算子と閉包演算子の性質を捉えるために設計されたブール代数の適切な拡張です。様相論理に関するテキストでは、通常、ブール代数と位相の研究との関連性について言及する程度です。形式様相論理の歴史と関連する数学の徹底的な概説については、Robert Goldblatt (2006 ) を参照してください。^[⁴⁴^]

注記

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参考文献

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さらに読む

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D.M. Gabbay、A. Kurucz、F. Wolter、M. Zakharyaschev、「多次元様相論理：理論と応用」、Elsevier、Studies in Logic and the Foundations of Mathematics、第148巻、2003年、ISBN 0-444-50826-0[時間的、認識的、動的、記述的、空間的など、さまざまな様相論理を統一的な視点から扱い、決定可能性や複雑性などのコンピュータサイエンスの側面を重視しています。]
アンドレア・ボルギーニ著『様相の形而上学への批判的入門』、ニューヨーク：ブルームズベリー、2016年。

外部リンク

インターネット哲学百科事典：
- 「様相論理学：現代的視点」 –ヨハン・ファン・ベンテム著
- 「ルドルフ・カルナップの様相論理学」 – MJ クレスウェル著
スタンフォード哲学百科事典：
- 「様相論理」 –ジェームズ・ガーソン著
- 「様相論理の現代的起源」―ロベルタ・バラリン著。
- 「Provability Logic」 – Rineke Verbrugge著。
エドワード・N・ザルタ、1995年、「様相論理の基本概念」
ジョン・マッカーシー、1996年、「様相論理」
Molleは、様相論理を実験するためのJavaプロバーです。
スーバー、ピーター、2002年、「様相論理の文献目録」
論理システム一覧ジョン・ハレックによる、ソースコード付きの多数の様相論理の一覧。
様相論理の進歩。様相論理に関する隔年開催の国際会議および書籍シリーズ。
S4prover： S4ロジック用のタブロー証明器
「論理と位相に関するいくつかの考察」 – リチャード・ムート著。様相論理S4の位相意味論を解説している。
LoTREC： IRIT/トゥールーズ大学が開発した、様相論理のための最も汎用的な証明器

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