厳密な条件

論理学では、厳密な条件（記号：${\displaystyle \Box }$、または ⥽) は様相演算子によって支配される条件文であり、様相論理の論理結合子です。これは、古典論理の実質条件文と様相論理の必然性演算子を組み合わせたものと論理的に同等です。任意の 2 つの命題pとqに対して、式p → qは、p が実質的にqを意味する一方で、${\displaystyle \Box (p\rightarrow q)}$pはq を厳密に含意すると 述べています。^{[ 1 ]} 厳密条件文は、クラレンス・アーヴィング・ルイスが自然言語の直説法条件文を適切に表現できる論理の条件文を見つけようとした試みの結果です。^{[ 2 ] [ 3 ]}また、モリニズム神学の研究にも使用されています。^{[ 4 ]}

厳密な条件文は、実質含意のパラドックスを回避できる可能性がある。例えば、次の文は実質含意によって正しく形式化されていない。

もしビル・ゲイツが医学部を卒業していたら、エルヴィスは死ななかっただろう。

この条件は明らかに偽であるはずだ。ビル・ゲイツの地位はエルヴィスがまだ生きているかどうかとは何の関係もない。しかし、この式を古典論理で実質含意を用いて直接符号化すると、次のようになる。

ビル・ゲイツは医学部を卒業した → エルヴィスは死んでいない。

この式は、前件Aが偽の場合、式A → Bが真となるため、真である。したがって、この式は元の文の適切な翻訳ではない。厳密な条件文を用いた符号化は次のようになる。

${\displaystyle \Box }$（ビル・ゲイツは医学部を卒業した → エルヴィスは死んでいない）

様相論理では、この式は（おおよそ）ビル・ゲイツが医学部を卒業したあらゆる可能な世界において、エルヴィスは死ななかったことを意味する。ビル・ゲイツが医学部を卒業し、エルヴィスが死んでいる世界は容易に想像できるため、この式は偽である。したがって、この式は元の文の正しい翻訳であるように思われる。

厳密条件文は、実質条件文よりも自然言語の条件文を表現できる可能性がはるかに高いものの、必然的に真となる帰結（2 + 2 = 4 など）や必然的に偽となる前件に関して独自の問題を抱えている。^{[ 5 ]}例えば、次の文は厳密条件文では正しく形式化されていない。

ビル・ゲイツが医学部を卒業していたとしたら、2 + 2 = 4 となる。

厳密な条件文を用いると、この文は次のように表現されます。

${\displaystyle \Box }$（ビル・ゲイツは医学部を卒業した → 2 + 2 = 4）

様相論理では、この式は、ビル・ゲイツが医学部を卒業したあらゆる可能世界において、2 + 2 = 4 が成り立つことを意味します。2 + 2 はあらゆる可能世界で 4 に等しいので、この式は真ですが、元の文が真であるべきではないように思われます。同様の状況は、必然的に偽である 2 + 2 = 5 でも発生します。

2 + 2 = 5 ならば、ビル・ゲイツは医学部を卒業したことになる。

一部の論理学者は、この状況は厳密条件文が依然として不十分であることを示していると見ています。また、厳密条件文は反事実条件文を適切に表現できないこと^{[ 6 ]}、および特定の論理的性質を満たさないことを指摘している学者もいます^{[ 7 ]} 。特に、厳密条件文は推移的ですが、反事実条件文は推移的ではありません^{[ 8 ]。}

ポール・グライスなどの論理学者の中には、会話的含意を用いて、一見困難に見えるものの、実質条件文は自然言語の「もし…ならば…」の翻訳として十分であると主張する者もいる。また、証明可能な条件文の前件と後件を結びつけるために、関連性論理を用いる者もいる。

建設的な環境では、⥽と${\displaystyle \Box }$は壊れており、2 つの結合子は独立して研究できます。構成的厳密含意は、ヘイティング算術の解釈可能性を調査したり、コンピュータサイエンスにおける矢印とガード付き再帰をモデル化するために使用できます。^{[ 9 ]}

• 対応する条件
• 反事実条件文
• 動的意味論
• 輸出入
• 直説法条件文
• 論理的帰結
• 材料条件付き

• エッジントン、ドロシー、2001、「条件文」、ゴブル、ルー編、『ブラックウェル哲学論理学ガイド』 、ブラックウェル。
• 条件文のより良い翻訳を模索する試みとしての非古典論理の入門については、以下を参照のこと。
  • プリースト、グラハム、2001年。『非古典論理入門』ケンブリッジ大学出版局。
• この記事で言及されている問題に関するより詳細な哲学的議論については、以下を参照してください。
  • マーク・セインズベリー、2001年。『論理形式』。ブラックウェル出版。
• ジョナサン・ベネット、2003年。『条件文の哲学的手引き』オックスフォード大学出版局。