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抽象代数学において、内部代数とは、集合の位相的内部の概念を符号化するある種の代数構造である。内部代数は、位相幾何学と様相論理S4にとって、ブール代数が集合論と通常の命題論理にとっての存在と同じである。内部代数は、様々な様相代数を形成する。
どこ
はブール代数であり、後置記法I は、次の恒等式を満たす単項演算子、内部演算子を表します。
x Iはxの内部と呼ばれます。
内部演算子の双対は、x C = (( x ′) I )′ で定義される閉包演算子 C である。x Cはxの閉包と呼ばれる。双対性の原理により、閉包演算子は次の恒等式を満たす。
閉包演算子を原始演算子とすると、内部演算子はx I = (( x ′) C )′ と定義できます。したがって、内部代数の理論は、内部演算子の代わりに閉包演算子を使用して定式化できます。この場合、 ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, C ⟩の形の閉包代数を考えます。ここで、⟨ S , ·, +, ′, 0, 1⟩ は再びブール代数であり、C は閉包演算子について上記の恒等式を満たします。閉包代数と内部代数は双対のペアを形成し、「演算子を持つブール代数」の典型的な例です。この主題に関する初期の文献 (主にポーランド位相幾何学) では閉包演算子が用いられていましたが、 Wim Blokの研究により、内部演算子の定式化が最終的に標準となりました。
条件x I = xを満たす内部代数の要素は、開集合と呼ばれます。開集合の補集合は閉集合と呼ばれ、条件x C = xによって特徴付けられます。要素の内部は常に開集合であり、要素の閉包は常に閉集合です。閉集合の内部は正則開集合と呼ばれ、開集合の閉包は正則閉集合と呼ばれます。開集合かつ閉集合である要素は、開集合と呼ばれます。0 と 1 は開集合です。
内部代数は、そのすべての要素が開集合（したがって閉集合）である場合にブール代数と呼ばれます。内部代数の内部演算子と閉包演算子は意味のある追加構造を提供しないため、ブール内部代数は通常のブール代数と同一視できます。特殊なケースとして、自明な内部代数のクラスがあり、これは単位元 0 = 1 で特徴付けられる単一要素の内部代数です。
内部代数は、代数構造であるがゆえに、準同型写像を持つ。2つの内部代数AとBが与えられたとき、写像f : A → Bが内部代数準同型写像 であるのは、fがAとBの基礎となるブール代数間の準同型写像であり、かつ内部と閉包を保存する場合に限る。したがって、次のようになる。
トポロジーは、内部代数間の射のもう一つの重要かつより一般的なクラスです。写像f : A → Bは、 f がAとB の基礎となるブール代数間の準同型であり、かつAの開元と閉元を保存する場合に限り、トポロジーです。したがって、次のようになります。
（このような射は安定準同型写像や閉包代数半準同型写像とも呼ばれる。）すべての内部代数準同型写像はトポロジー準同型写像であるが、すべてのトポロジー準同型写像が内部代数準同型写像であるとは限らない。
初期の研究では、内部代数間の写像で、基となるブール代数の準同型写像であるが、内部演算子や閉包演算子を必ずしも保存しない写像がよく検討された。このような写像はブール準同型写像と呼ばれた。（閉包準同型写像や位相準同型写像という用語は、これらが保存される場合に使用されたが、普遍代数における準同型写像の標準的な定義ではすべての演算を保存することが要求されるため、この用語は現在では冗長である。）可算完備の内部代数（可算個の交点と結合が常に存在する、σ-完全とも呼ばれる）を含むアプリケーションでは、通常、可算完備のブール準同型写像（ブールσ-準同型写像とも呼ばれる）が使用された。これらは可算個の交点と結合を保存する。
連続性を内部代数に一般化した最も初期のものは、連続写像の逆像写像に基づくシコルスキーによるものでした。これはブール準同型であり、数列の和集合を保存し、逆像の閉包を閉包の逆像に含みます。シコルスキーは、連続準同型を、 2 つのσ完全内部代数間のブールσ準同型fであって、 f ( x ) C ≤ f ( x C ) であるものとして定義しました。この定義にはいくつかの困難がありました。構成は反変的に作用し、一般化ではなく連続写像の双対を生成します。一方では、σ完全性は逆像写像を特徴付けるには弱すぎ（完全性が必要）、他方では、一般化には制限が厳しすぎます。 （シコルスキはσ完全でない準同型写像の使用について言及したが、閉包代数の公理にはσ完全性を含めた。）後にJ.シュミットは、内部代数に対する連続準同型写像または連続射を、 f ( xC ) ≤f ( x ) Cを満たす2つの内部代数間のブール準同型写像fとして定義した。これは連続写像の順方向像写像を一般化したもので、閉包の像は像の閉包に含まれる。この構成は共変であるが、全単射の場合にのみ連続写像から連続射を構成できるため、圏論的応用には適さない。（C.ナチュルマンは、 σ完全性を削除して上記のようにトポロジー同型写像を生成することで、シコルスキのアプローチに戻った。この用語では、シコルスキの元の「連続準同型写像」はσ完全内部代数間のσ完全トポロジー同型写像である。）
位相空間X = ⟨ X , T ⟩が与えられたとき、 Xの冪集合ブール代数を構成できる。
そしてそれを内部代数に拡張する
ここで、Iは通常の位相的内部演算子である。すべてのS ⊆ Xに対して、それは次のように定義される。
すべてのS ⊆ Xに対して、対応する閉包演算子は次のように与えられる。
S IはSの最大の開部分集合であり、S CはXにおけるSの最小の閉上位集合です。内部代数A ( X )の開、閉、正則開、正則閉、およびクロープ開の要素は、通常の位相的意味でのXの開、閉、正則開、正則閉、およびクロープ開の部分集合にそれぞれ相当します。
完全原子内部代数は、ある位相空間 X に対して A ( X ) の形の内部代数と同型である。さらに、すべての内部代数は、そのような内部代数に埋め込むことができ、内部代数を集合の位相体として表現することができる。構造A ( X ) の性質は、内部代数の定義のまさに動機となっている。位相との密接な関係から、内部代数はトポロジーブール代数または位相ブール代数とも呼ばれる。
2つの位相空間間の連続写像が与えられた場合
完全位相同相を定義することができる
による
Yのすべての部分集合Sに対して。2 つの完全な原子内部代数間のすべての完全な位相同型は、このようにして導出できます。Topが位相空間と連続写像のカテゴリであり、Citが完全な原子内部代数と完全な位相同型であるならば、 TopとCit は双対的に同型であり、A : Top → Citはカテゴリの双対同型である反変関手です。A ( f ) が準同型であるのは、 f が連続開写像である場合のみです。
この圏の双対同型性の下では、多くの自然な位相的性質が代数的性質に対応し、特に連結性の性質は既約性の性質に対応する。
開部分集合の位相の観点から位相空間を現代的に定式化すると、内部代数の別の定式化が促される。一般化された位相空間は、次の形式の代数構造である。
ここで、⟨ B , ·, +, ′, 0, 1⟩ は通常どおりブール代数であり、TはB ( Bの部分集合)上の単項関係であり、次の条件を満たす。
Tはブール代数における一般化された位相であると言われている。
内部代数が与えられた場合、その開元は一般化された位相を形成する。逆に、一般化された位相空間が与えられた場合、
B上の内部作用素をb I = Σ{ a ∈ T | a ≤ b }と定義することで、開元が正確にTである内部代数を生成することができる。したがって、一般化された位相空間は内部代数と等価である。
内部代数を一般化された位相空間とみなすと、位相同型写像は、関係式が追加されたブール代数の標準的な準同型写像となり、普遍代数からの標準的な結果が適用される。
近傍の位相概念は、内部代数に一般化できます。内部代数の要素yは、 x ≤ y Iの場合、要素xの近傍であると言われます。xの近傍の集合はN ( x )で表され、フィルターを形成します。これにより、内部代数の別の定式化が得られます。
ブール代数上の近傍関数とは、その基底集合Bからフィルタ集合への写像Nであり、以下の条件を満たす。
内部代数の要素をその近傍フィルタに写像する写像Nは、内部代数の基礎となるブール代数上の近傍関数である。さらに、基礎となる集合Bを持つブール代数上の近傍関数Nが与えられた場合、 x I = max{y ∈ B | x ∈ N ( y )}によって内部演算子を定義することができ、それによって内部代数が得られる。は、この内部代数におけるxの近傍のフィルターと正確に一致する。したがって、内部代数は、近傍関数が指定されたブール代数と等価である。
近傍関数の観点から言えば、開要素とは、x ∈ N ( x )となる要素xのことです。開要素の観点から言えば、x ∈ N ( y )は、 y ≤ z ≤ xとなる開要素zが存在する場合に限ります。
近傍関数は、より一般的には（交わり）半束上で定義され、近傍（半）束と呼ばれる構造を生成する。したがって、内部代数は、まさにブール近傍束、すなわち基礎となる半束がブール代数を形成する近傍束と見なすことができる。
様相論理S4における理論（形式文の集合）Mが与えられた場合、そのリンデンバウム・タルスキー代数を構成できる。
ここで、~ はM内の文に関する同値関係であり、 p ~ qは、 pとq がM内で論理的に同値である場合に限り成り立ち、M / ~ はこの関係に基づく同値類の集合である。このとき、L ( M ) は内部代数である。この場合、内部演算子は様相演算子□ (必然的に) に対応し、閉包演算子は ◊ (可能性あり) に対応する。この構成は、様相代数と様相論理に関するより一般的な結果の特殊な場合である。
L ( M )の開いた要素は、必然的に真である場合にのみ真となる文に対応し、閉じた要素は、必然的に偽である場合にのみ偽となる文に対応する。
S4との関係から、内部代数は、S4 代数または、様相論理S4とS5を最初に提唱した論理学者C. I. Lewisにちなんで、Lewis 代数と呼ばれることがあります。
内部代数は演算子を持つ（通常の）ブール代数であるため、適切な関係構造上の集合のフィールドで表現できます。特に、内部代数は様相代数であるため、単一の二項関係を持つ集合上の集合のフィールドとして表現でき、これをクリプキフレームと呼びます。内部代数に対応するクリプキフレームは、まさに前順序集合です。前順序集合（S4フレームとも呼ばれる）は様相論理S4のクリプキ意味論を提供し、内部代数と前順序の関係は様相論理との関係と深く結びついています。
順序付けられた集合X = ⟨ X , «⟩が与えられた場合、内部代数を構築することができる。
Xの冪集合ブール代数から、内部演算子Iは次のように与えられる。
対応する閉包演算子は次のように与えられる。
S IはSの外の世界からアクセスできないすべての世界の集合であり、S CはS内のいずれかの世界からアクセス可能なすべての世界の集合です。すべての内部代数は、ある順序付き集合Xに対してB ( X )の形の内部代数に埋め込むことができ、上記の表現を集合の体(順序体) として与えます。
この構成と表現の定理は、様相代数とクリプキフレームに関するより一般的な結果の特殊な場合である。この点において、内部代数は位相との関連性から特に興味深い。この構成により、順序付き集合Xに位相、すなわちアレクサンドロフ位相が与えられ、開集合が次のようになる位相空間T ( X ) が生成される。
対応する閉集合は以下のとおりです。
言い換えれば、開集合とは、外部からアクセスできない世界（アップセット）を持つ集合であり、閉集合とは、すべての外部世界が内部からアクセスできない集合（ダウンセット）を持つ集合である。さらに、B ( X ) = A ( T ( X ))である。
任意の単項ブール代数は、内部演算子が全称量化子、閉包演算子が存在量化子である内部代数とみなすことができる。したがって、単項ブール代数は、恒等式x IC = x Iを満たす内部代数の多様体である。言い換えれば、それらは、すべての開元が閉元である、あるいは同等に、すべての閉元が開元である内部代数である。さらに、そのような内部代数は、まさに半単純内部代数である。また、それらは様相論理S5に対応する内部代数であり、 S5 代数とも呼ばれる。
順序付き集合と内部代数の関係において、これらは順序が同値関係である場合に対応し、このような順序付き集合がS5のクリプキ意味論を提供するという事実を反映している。これはまた、単項量化論理(単項ブール代数が代数的記述を提供する) とS5の関係を反映しており、様相演算子 □ (必然的に) と ◊ (おそらく) は、それぞれ単項普遍量化と存在量化を用いて、到達可能性関係を参照することなくクリプキ意味論で解釈できる。
内部代数の開元はハイティング代数を形成し、閉元は双対ハイティング代数を形成する。正則開元と正則閉元は、それぞれこれらの代数の擬似補元と双対擬似補元に対応し、ブール代数を形成する。閉開元は補元に対応し、これらのブール代数と内部代数自体の共通部分代数を形成する。すべてのハイティング代数は内部代数の開元として表現でき、内部代数はその開元によって生成される内部代数として選択できる。このような内部代数は、ハイティング代数と（同型を除いて）1対1に対応し、後者の自由ブール拡張となる。
ハイティング代数は、直観主義論理において、様相論理S4における内部代数や命題論理におけるブール代数と同じ役割を果たします。ハイティング代数と内部代数の関係は、直観主義論理とS4の関係を反映しており、直観主義論理の理論を必然性に関して閉じたS4理論として解釈することができます。ハイティング代数と、それらの開元によって生成される内部代数との間の 1 対 1 の対応は、直観主義論理の拡張と様相論理S4の通常の拡張との間の対応を反映しています。
内部代数Aが与えられたとき、閉包演算子は微分演算子Dの公理を満たします。したがって、閉包演算子を微分演算子として使用することにより、 Aと同じ基礎となるブール代数を持つ微分代数D ( A ) を構成できます。
したがって、内部代数は導関数代数である。この観点からすると、それらはまさに恒等式x D ≥ xを満たす導関数代数の多様体である。導関数代数は様相論理wK4に適切な代数的意味論を提供する。したがって、導関数代数は位相的導出集合とwK4に対応し、内部代数／閉包代数は位相的内部／閉包とS4に対応する。
微分代数Vと微分演算子Dが与えられたとき、内部代数I ( V )をVと同じ基礎となるブール代数で構成することができ、内部演算子と閉包演算子はそれぞれx I = x · x ′ D ′およびx C = x + x Dで定義されます。したがって、すべての微分代数は内部代数とみなすことができます。さらに、内部代数Aが与えられたとき、 I ( D ( A )) = Aが成り立ちます。ただし、D ( I ( V )) = V はすべての微分代数Vに対して必ずしも成り立つとは限りません。
ストーン双対性は、ブール代数とブール空間と呼ばれる位相空間のクラスとの間に圏論的な双対性を提供する。関係意味論の初期のアイデア（後にクリプキによって形式化された）とRSピアースの結果に基づいて、ヨンソン、タルスキ、 G.ハンソウルは、べき集合構成を介して演算子に対応する関係をブール空間に与えることにより、ストーン双対性を演算子付きブール代数に拡張した。内部代数の場合、内部（または閉包）演算子はブール空間上の前順序に対応する。内部代数間の準同型は、擬全射準同型または略してp-準同型として知られるブール空間間の連続写像のクラスに対応する。 Jónsson–Tarski表現に基づくStone双対性を内部代数に一般化したものは、Leo Esakiaによって研究され、S4代数（内部代数）のEsakia双対性としても知られており、Heyting代数のEsakia双対性と密接に関連している。
ストーン双対性のヨンソン・タルスキ一般化は、一般的に演算子を持つブール代数に適用されるが、内部代数と位相の関係により、内部代数に特有のストーン双対性の一般化方法がもう 1 つ可能になる。ストーン双対性の発展の中間段階は、ブール代数を集合の体として表すストーンの表現定理である。対応するブール空間のストーン位相は、集合の体を位相的基底として使用して生成される。マッキンゼーとタルスキは、ルイスの様相論理のために唐曹陳が導入した位相意味論に基づいて、開元に対応する複体のみを基底として使用することと同等の位相を生成することにより、内部代数の表現が位相的集合体として得られることを示した。位相的集合体とは、内部または閉包を取ることに関して閉じている位相空間上の集合体である。 C. Naturmanは、集合の位相フィールドにフィールドマップと呼ばれる適切な射を与えることで、このアプローチが圏論的なストーン双対性として形式化できることを示しました。このストーン双対性では、通常のブール代数のストーン双対性が、冗長な内部演算子を持つ内部代数（ブール内部代数）の場合に対応します。
Jónsson–Tarski アプローチで得られる前順序は、S4 理論の Kripke 意味論における到達可能性関係に対応し、中間集合体は、理論の文が成り立つ Kripke 意味論における可能世界の集合を用いた、その理論の Lindenbaum–Tarski 代数の表現に対応します。集合体からブール空間へ移行すると、この関係はやや不明瞭になります。前順序上の集合体をそれ自体の圏として扱うことで、この深い関係は、位相を用いずに Stone 表現を一般化する圏論的双対性として定式化できます。R. Goldblatt は、適切な準同型に制限を設けることで、任意の様相代数と Kripke フレームに対してこのような双対性を定式化できることを示しました。Naturman は、内部代数の場合、この双対性はより一般的な位相同型に適用され、位相的集合体との双対性を通して圏論的関手によって因数分解できることを示しました。後者は、位相意味論における S4 理論の文を満たす点の集合を用いて、リンデンバウム–タルスキー代数を表現する。前順序は、マッキンゼー–タルスキー位相の特殊化前順序として得られる。エサキア双対性は、集合の体をそれが生成するブール空間に置き換えるファンクターを介して復元できる。代わりに前順序を対応するアレクサンドロフ位相に置き換えるファンクターを介して、内部代数を集合の体として別の形で表現する。この場合、位相はマッキンゼー–タルスキー位相のアレクサンドロフ双対反射である。内部代数の位相双対性を定式化するために、ヨンソン–タルスキーアプローチのストーン位相と前順序のアレクサンドロフ位相の両方を使用して双位相空間を形成するアプローチは、G. ベジャニシュヴィリ、R. マインズ、および PJ モランディによって研究されている。内部代数のマッキンゼー・タルスキー位相は、前述の2つの位相の共通部分である。
グレゴルチクは、閉包代数の1階理論が決定不能であることを証明した。[ 1 ] [ 2 ]ナチュルマンは、この理論が遺伝的に決定不能であること（そのすべての部分理論が決定不能であること）を示し、遺伝的に決定不能な理論を持つ内部代数の基本的なクラスの無限連鎖を示した。
