多値論理

多値論理（多値論理または多重値論理とも呼ばれる）は、 2 つ以上の真理値がある命題計算である。伝統的に、アリストテレスの論理計算では、任意の命題に対して 2 つの値（つまり、「真」と「偽」）しかあり得なかった。古典的な2 値論理は、 nが 2 より大きい場合のn値論理に拡張できる。文献で最もよく知られているのは、3 値論理（例えば、ŁukasiewiczやKleene の論理で、これらは「真」、「偽」、「不明」という値を受け入れる）、4 値論理、9 値論理、3 つ以上の値を持つ有限値論理（有限多値）、およびファジー論理や確率論理などの無限値論理（無限多値）である。

排中律を完全に受け入れなかった最初の古典論理学者がアリストテレスであるというのは間違いである（皮肉なことに、彼はまた、一般的に最初の古典論理学者であり、「[二値]論理の父」 ^[1]と考えられている）。実際、アリストテレスは排中律の普遍性ではなく、二価原理の普遍性に異議を唱えた。彼は、この原理が将来の出来事にすべて当てはまるわけではないことを認めたが（『解釈論』第9章）^[2] 、この孤立した発言を説明する多値論理の体系を創り出したわけではない。20世紀に入るまで、後の論理学者は、排中律を含むかそれを前提とするアリストテレス論理に従った。

20 世紀には、多値論理の考え方が復活しました。ポーランドの論理学者で哲学者のヤン・ルカシェヴィチは、1920 年に多値論理のシステムを作成し始め、アリストテレスの海戦のパラドックスに対処するために「可能」という 3 番目の値を使用しました。一方、アメリカの数学者エミール・L・ポスト(1921) も、n  ≥ 2 の追加の真理度の定式化を導入しました。ここで、 nは真理値です。後に、ヤン・ルカシェヴィチとアルフレッド・タルスキは、n ≥ 2 のn真理値の論理を共同で定式化しました 。1932 年、ハンス・ライヘンバッハは、 n →∞の多真理値の論理を定式化しました。1932 年、クルト・ゲーデルは、直観主義論理は有限多値論理ではないことを示し、古典論理と直観主義論理の中間のゲーデル論理システムを定義しました。このような論理は中間論理として知られています。

クリーネの「（強い）不確定性の論理」K ₃（時には）とプリーストの「パラドックスの論理」は、3番目の「未定義」または「不確定」な真理値Iを追加します。否定（¬）、 連言（∧）、 選言（∨）、 含意（${\displaystyle K_{3}^{S}}$→け）、および 双条件（↔け）は次のように与えられる：^[3]

2 つの論理の違いは、トートロジーの定義方法にあります_{。K 3}ではTのみが真理値として指定されていますが、P ₃ではTとI の両方が真理値として指定されています (論理式は、指定された真理値に評価される場合、トートロジーと見なされます)。Kleene の論理では、Iは「不確定」、つまり真でも偽でもないと解釈できますが、Priest の論理では、I は「過剰確定」、つまり真でも偽でもあると解釈できます。K ₃にはトートロジーはありませんが、P ₃には古典的な 2 値論理と同じトートロジーがあります。^[4]

もう一つの論理はドミトリー・ボフヴァルの「内部」三値論理であり、クリーネの弱い三値論理とも呼ばれる。否定と双条件を除いて、その真理値表はすべて上記と異なる。^[5]${\displaystyle B_{3}^{I}}$

ボクバールの「内部」論理における中間真理値は、他の変数の値に関係なく式内で伝播するため、「伝染性」があると言えます。^[5]

ベルナップの論理B _{4 は}K ₃とP ₃を組み合わせたものです。ここでは、過剰決定された真理値はB、不十分決定された真理値はNと表記されます。

1932年にゲーデルは、有限個の真理値を持つ多値論理の族を定義しました^[6] 。例えば、は真理値を持ち、 は真理値を持ちます。同様に、彼は無限個の真理値を持つ論理 を定義しました。この論理では、真理値は区間 内のすべての実数です。これらの論理で指定された真理値は1です。 ${\displaystyle G_{k}}$${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{k-1}},{\tfrac {2}{k-1}},\ldots ,{\tfrac {k-2}{k-1}},1}$${\displaystyle G_{3}}$${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{2}},1}$${\displaystyle G_{4}}$${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1}$${\displaystyle G_{\infty}}$${\displaystyle [0,1]}$

論理積と論理和は、それぞれオペランドの 最小値と最大値として定義されます。${\displaystyle \wedge}$${\displaystyle \vee}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\wedge v&:=\min\{u,v\}\\u\vee v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}}$

否定と含意は次のように定義されます。 ${\displaystyle \neg_{G}}$${\displaystyle {\xrightarrow[{G}]{}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\0,&{\text{if }}u>0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

ゲーデル論理は完全に公理化可能であり、つまり、すべてのトートロジーが証明可能な論理計算を定義することが可能です。上記の含意は、最大値と最小値の演算が無限分配法則を持つ完全な格子を形成し、それが格子上に 唯一の完全な Heyting 代数構造を定義するという事実によって定義される唯一の Heyting 含意です。

含意と否定は、Jan Łukasiewiczによって次の機能を通じて定義されました。 ${\displaystyle {\xrightarrow[{L}]{}}}$${\displaystyle {\underset {L}{\neg }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {L}{\neg }}u&:=1-u\\u\mathrel {\xrightarrow[{L}]{}} v&:=\min\{1 ,1-u+v\}\end{整列}}}$

Łukasiewiczは1920年にこれらの定義を真理値を持つ3値論理に初めて使用しました。1922年に彼は無限の数の値を持つ論理を開発しました。この論理では真理値は区間内の実数に及びます。どちらの場合も指定された真理値は1でした。^[7]${\displaystyle L_{3}}$${\displaystyle 0,{\frac {1}{2}},1}$${\displaystyle L_{\infty}}$${\displaystyle [0,1]}$

ゲーデル論理の場合と同じように定義された真理値を採用することで、有限値の論理族、つまり前述の論理と、区間 内の有理数によって真理値が与えられる論理を作成できます。とのトートロジーの集合は同一です。 ${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{v-1}},{\tfrac {2}{v-1}},\ldots ,{\tfrac {v-2}{v-1}},1 }$${\displaystyle L_{v}}$${\displaystyle L_{\infty}}$${\displaystyle L_{\aleph _{0}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle L_{\infty}}$${\displaystyle L_{\aleph _{0}}}$

積論理では、区間、連言、含意に真理値があり、次のように定義されます^[8]${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \odot}$${\displaystyle {\xrightarrow[{\Pi }]{}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\odot v&:=uv\\u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} v&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\{\frac {v}{u}},&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

さらに、偽の概念を表す負の指定値があります。この値を通じて、次のように否定と追加の接続詞を定義することができます。 ${\displaystyle {\overline {0}}}$${\displaystyle {\underset {\Pi }{\neg }}}$${\displaystyle {\underset {\Pi }{\wedge }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\Pi }{\neg }}u&:=u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} {\overline {0}}\\u\mathbin {\underset {\Pi }{\wedge }} v&:=u\odot \left(u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} v\right)\end{aligned}}}$

その後。 ${\displaystyle u\mathbin {\underset {\Pi }{\wedge }} v=\min\{u,v\}}$

1921 年にポストは(およびのように)真理値 を持つ論理の族を定義しました。否定と論理積および論理和は 次のように定義されます。 ${\displaystyle P_{m}}$${\displaystyle L_{v}}$${\displaystyle G_{k}}$${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{m-1}},{\tfrac {2}{m-1}},\ldots ,{\tfrac {m-2}{m-1}},1}$${\displaystyle {\underset {P}{\neg }}}$${\displaystyle {\underset {P}{\wedge }}}$${\displaystyle {\underset {P}{\vee }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {P}{\neg }}u&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\u-{\frac {1}{m-1}},&{\text{if }}u\not =0\end{cases}}\\[6pt]u\mathbin {\underset {P}{\wedge }} v&:=\min\{u,v\}\\[6pt]u\mathbin {\underset {P}{\vee }} v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}}$

1951年、アラン・ローズは真理値が束を形成するシステムのための別の論理族を定義した。^[9]

論理は通常、命題の意味的特性を変換を通じて保存するための規則を体系化することを目的としたシステムです。古典論理では、この特性は「真理」です。有効な議論では、前提が共に真である場合、有効な手順を適用することで特性が保存されるため、導出された命題の真理は保証されます。ただし、その特性は「真理」である必要はなく、他の概念である場合もあります。

多値論理は、指定性（または指定される）の特性を保持することを目的としています。真理値は 2 つ以上あるため、推論規則は、（関連する意味で）真理に対応するものだけでなく、それ以上のものを保持するように意図されている場合があります。たとえば、3 値論理では、2 つの最大の真理値（たとえば正の整数として表される場合）が指定され、推論規則はこれらの値を保存します。正確には、有効な議論とは、前提をまとめて取った値が常に結論以下になるような議論です。

たとえば、保存される特性は、直観主義論理の基本概念である正当化である可能性があります。したがって、命題は真でも偽でもなく、正当化されているか欠陥があるかです。この場合、正当化と真実の主な違いは、排中律が成り立たないことです。欠陥のない命題は必ずしも正当化されるわけではなく、欠陥があることが証明されていないだけです。主な違いは、保存される特性の決定性です。P が正当化されることを証明することも、P に欠陥があることを証明することも、どちらも証明できないこともあります。有効な議論は変換をまたいで正当化を保存するため、正当化された命題から導かれた命題は依然として正当化されます。ただし、排中律に依存する証明が古典論理にあります。このスキームではその法則を使用できないため、その方法では証明できない命題があります。

機能的完全性とは、有限論理と有限代数の特別な性質を説明するために使用される用語です。論理の結合子の集合は、その結合子の集合を使用して、あらゆる可能な真理関数に対応する式を構築できる場合にのみ、機能的に完全または適切であると言われます。^[10]適切な代数とは、変数のあらゆる有限マッピングがその演算の何らかの組み合わせによって表現できる代数です。^[11]

古典論理: CL = ({0,1}, ¬ , →, ∨, ∧, ↔) は機能的に完全であるが、Łukasiewicz論理や無限値論理にはこの性質がない。^{[11] [12]}

有限多値論理はL _n ({1, 2, ..., n } ƒ ₁ , ..., ƒ _m )と定義できます。ここでn ≥ 2は与えられた自然数です。ポスト(1921)は、論理が任意のm^次モデルの関数を生成できると仮定すると、適切な論理L _nには、 m+1次 のモデルを生成できる対応する接続​​子の組み合わせがあることを証明しています。^[13]

多値論理の既知の応用は、大まかに2つのグループに分類できます。^[14]最初のグループでは、多値論理を使用して2進問題をより効率的に解決します。たとえば、多出力ブール関数を表現するためのよく知られたアプローチは、その出力部分を単一の多値変数として扱い、それを単一出力の特性関数（具体的には、指示関数）に変換することです。多値論理の他の応用には、入力デコーダを備えたプログラマブルロジックアレイ（PLA）の設計、有限ステートマシンの最適化、テスト、検証などがあります。

2 番目のグループは、多値メモリ、算術回路、フィールド プログラマブル ゲート アレイ(FPGA) など、2 つ以上の離散信号レベルを使用する電子回路の設計を対象としています。多値回路には、標準的なバイナリ回路に比べて理論的な利点がいくつかあります。たとえば、回路内の信号が 2 レベルではなく 4 レベル以上であれば、チップ内外の相互接続を削減できます。メモリ設計では、メモリ セルあたり 1 ビットではなく 2 ビットの情報を格納すると、同じダイサイズでメモリの密度が 2 倍になります。算術回路を使用するアプリケーションでは、バイナリ数システムの代わりになるものを使用することでメリットが得られることがよくあります。たとえば、剰余数システムと冗長数システム^{[15]を使用すると、通常のバイナリ加算または減算に伴う}リップルスルー キャリーを削減または排除できるため、高速算術演算が可能になります。これらの数システムは、多値回路を使用して自然に実装できます。ただし、これらの潜在的な利点の実用性は、現在の標準技術と互換性があるか競合できる回路の実現可能性に大きく依存します。電子回路の設計を支援することに加えて、多値ロジックは回路の故障や欠陥をテストするために広く使用されています。基本的に、デジタル回路テストに使用される既知の自動テストパターン生成（ATG）アルゴリズムはすべて、5値ロジック（0、1、x、D、D'）を解決できるシミュレータが必要です。^[16]追加の値（x、D、およびD'）は、（1）未知/初期化されていない、（2）1ではなく0、および（3）0ではなく1を表します。

IEEE国際多値論理シンポジウム（ISMVL）は1970年以来毎年開催されており、主にデジタル設計と検証のアプリケーションを対象としています。[ ^17]また、多値論理とソフトコンピューティングジャーナルもあります。^[18]

数学的論理

• 真実の度合い
• ファジー論理
• ゲーデル論理
• ジャイナ教の七値論理
• クリーネ論理
• クリーネ代数（反転あり）
• ルカシェヴィチ論理
• MV代数
• 投稿ロジック
• 二価性の原理
• AN プライア
• 関連性ロジック

哲学的論理

• 偽りのジレンマ
• ムー

デジタルロジック

• MVCML、多値電流モードロジック
• IEEE 1164 はVHDLの 9 つの値を持つ標準です
• IEEE 1364 はVerilogの 4 値標準です
• 3状態ロジック
• ノイズベースのロジック

一般的な

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特定の

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• 多値ロジック W3 サーバー (アーカイブ)
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