シリアル関係

集合論において、直列関係とは、シーケンスの要素と次の要素とのつながりを表現する同次関係です。ペアノが自然数を定義するために使用した後続関数は、直列関係のプロトタイプです。

バートランド・ラッセルは、順序理論の基礎とその応用を探求する中で、数学原理^[1] （1903）の中で直列関係を使用した。直列関係という用語は、 BAバーンスタインが、順序理論における特定の共通公理である連結性、非反射性、推移性がほぼ両立しないことを示す論文でも使用された。^[2]

直列関係R は、集合U上の自己内関係です。ラッセルが述べたように、全称量化子と存在量化子はUを指します。現代の関係の言語では、この特性は全関係を定義します。しかし、全関係は異質である可能性があります。直列関係は歴史的に興味深いものです。 ${\displaystyle \forall x\exists y\ xRy,}$

関係Rについて、 { y : xRy } はxの「後続近傍」を表します。直列関係は、すべての要素に空でない後続近傍がある関係として同等に特徴付けることができます。同様に、逆直列関係は、すべての要素に空でない「先行近傍」がある関係です。^[3]

通常様相論理では、基本公理集合Kを直列性質で拡張すると公理集合Dが得られる。^[4]

関係は『数学の原理』で級数を展開するのに使用される。プロトタイプは、自然数上の一対一関係としてのペアノの後継関数である。ラッセルの級数は有限であるか、循環順序を与える関係によって生成される。その場合、点対分離関係が記述に使用される。数列を定義するために、彼は生成関係が連結関係であることを要求した。すると、数列から順序数が導かれ、有限なものは有限順序数となる。^{[1] : 第 28 章: 数列と順序数}開いた級数と閉じた級数の区別^{[1] : 234}合計 4 つの順序、すなわち有限、片端、端がなく開いた、端がなく閉じたが生成される。^{[1] : 202}

他の著者とは対照的に、ラッセルは負の順序数を認めています。その根拠として、科学的記数法を使用した測定のスケールを考えてみましょう。ここでは、10 の累乗は10 年の測定を表します。非公式には、このパラメータは物理単位を定量化するのに使用される桁数に対応します。パラメータは、正の値だけでなく負の値も取ります。

ラッセルは、距離理論に貢献したマイノングから「ストレッチ」という用語を採用した。 ^[5]ストレッチとは、一連の2点間の中間項を指し、「項の数は、全体の距離と割り切れる度合いを測定する」。^{[1] : 181}マイノングを説明するために、ラッセルは、対数を使用して距離を決定する非調和比のストレッチ座標を使用するケイリー・クライン計量に言及している。 ^{[1] : 255  [6]}

• Jing Tao Yao、Davide Ciucci、Yan Zhang (2015)。「一般化ラフ集合」。Janusz Kacprzyk および Witold Pedrycz (編)。計算知能ハンドブック。Springer。pp. 413–424。ISBN 9783662435052。ここ: 416 ページ。
• Yao, YY; Wong, SKM (1995). 「属性値間の関係を使用したラフ集合の一般化」(PDF)。情報科学に関する第 2 回年次合同会議の議事録: 30–33。。