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命題計算において、命題関数または述語は、 trueまたはfalseの値を想定する方法で表現された文ですが、文内に定義も指定もされていない変数( x )があり(したがって自由変数)、ステートメントは未確定のままになります。文には、そのような変数が複数含まれる場合があります (たとえば、 n 個の変数の場合、関数はn 個の引数を取ります)。
概要
数学関数A ( x )またはA ( x 1 , x 2 , ..., x n )として、命題関数は述語または命題形式から抽象化されます。例として、「 x は熱い」という述語スキームを考えてみましょう。x を任意のエンティティに置き換えると、真または偽として記述できる特定の命題が生成されますが、「xは熱い」自体は真または偽のステートメントとしての値を持ちません。ただし、xに溶岩などの値が割り当てられると、関数の値はtrue になります。一方、 xに氷などの値を割り当てると、関数の値はfalseになります。
命題関数は集合論において集合を形成するのに役立ちます。例えば、1903 年にバートランド ラッセルは『数学原理』（106 ページ） で次のように書いています。
- 「...命題機能を原始的な概念としてとらえることが必要になった。
その後ラッセルは命題関数が述語的であるかどうかという問題を検討し、この疑問を解決するためにジグザグ理論と分岐型理論という2つの理論を提唱した。[1]
変数xにおける命題関数、または述語は、 xが取り得る値の集合から x に明確な値を与えると命題になる、x を含む開いた式 p ( x )です。
クラレンス・ルイスによると、「命題とは真か偽かのいずれかである表現である。命題関数とは、1つ以上の変数を含む表現であり、各変数が個体の談話領域からの値のいずれかに置き換えられたときに命題となる。」[2]ルイスは命題関数の概念を使用して関係を導入した。たとえば、n個の変数を持つ命題関数は、アリティ nの関係である。n = 2の場合は2項関係に対応し、同次関係（両方の変数が同じセットからのもの）と異次関係がある。
参照
参考文献
- ^ タイルズ、メアリー（2004）。集合論の哲学：カンターの楽園への歴史的入門（ドーバー編）。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。159ページ。ISBN 978-0-486-43520-6. 2013年2月1日閲覧。
- ^ クラレンス・ルイス(1918) 『記号論理学概論』、232 ページ、カリフォルニア大学出版局、第 2 版 1932 年、ドーバー版 1960 年