解釈可能性ロジック

ILMの言語は、単項様相演算子を追加することで、古典的な命題論理の言語を拡張したものである。${\displaystyle \Box }$二項モーダル演算子${\displaystyle \triangleright }$（いつものように、${\displaystyle \Diamond p}$は次のように定義される。${\displaystyle \neg \Box \neg p}$) の算術的解釈${\displaystyle \Box p}$は "${\displaystyle p}$「ペアノ算術（PA）で証明可能」であり、${\displaystyle p\triangleright q}$「${\displaystyle PA+q}$解釈可能${\displaystyle PA+p}$」

公理図式：

1. すべての古典的なトートロジー
2. ${\displaystyle \Box (p\rightarrow q)\rightarrow (\Box p\rightarrow \Box q)}$
3. ${\displaystyle \Box (\Box p\rightarrow p)\rightarrow \Box p}$
4. ${\displaystyle \Box (p\rightarrow q)\rightarrow (p\triangleright q)}$
5. ${\displaystyle (p\triangleright q)\rightarrow (\Diamond p\rightarrow \Diamond q)}$
6. ${\displaystyle (p\triangleright q)\wedge (q\triangleright r)\rightarrow (p\triangleright r)}$
7. ${\displaystyle (p\triangleright r)\wedge (q\triangleright r)\rightarrow ((p\vee q)\triangleright r)}$
8. ${\displaystyle \Diamond p\triangleright p}$
9. ${\displaystyle (p\triangleright q)\rightarrow ((p\wedge \Box r)\triangleright (q\wedge \Box r))}$

推論規則：

1. "から${\displaystyle p}$そして${\displaystyle p\rightarrow q}$結論する${\displaystyle q}$」
2. "から${\displaystyle p}$結論する${\displaystyle \Box p}$」

ILMの算術的解釈に関する完全性は、アレッサンドロ・ベラルドゥッチとウラジミール・シャヴルコフによってそれぞれ独立に証明された。

TOLの言語は、様相演算子を追加することで、古典的な命題論理の言語を拡張したものである。${\displaystyle \Diamond }$これは、空でない任意の引数列を取ることができます。${\displaystyle \Diamond (p_{1},\ldots ,p_{n})}$は "${\displaystyle (PA+p_{1},\ldots ,PA+p_{n})}$「それは寛容な一連の理論である」

公理（${\displaystyle p,q}$あらゆる数式を表す、 ${\displaystyle {\vec {r}}、{\vec {s}}}$任意の数式のシーケンスに対して、${\displaystyle \Diamond ()}$⊤で識別されます):

1. すべての古典的なトートロジー
2. ${\displaystyle \Diamond ({\vec {r}},p,{\vec {s}})\rightarrow \Diamond ({\vec {r}},p\wedge \neg q,{\vec {s}})\vee \Diamond ({\vec {r}},q,{\vec {s}})}$
3. ${\displaystyle \Diamond (p)\rightarrow \Diamond (p\wedge \neg \Diamond (p))}$
4. ${\displaystyle \Diamond ({\vec {r}},p,{\vec {s}})\rightarrow \Diamond ({\vec {r}},{\vec {s}})}$
5. ${\displaystyle \Diamond ({\vec {r}},p,{\vec {s}})\rightarrow \Diamond ({\vec {r}},p,p,{\vec {s}})}$
6. ${\displaystyle \Diamond (p,\Diamond ({\vec {r}}))\rightarrow \Diamond (p\wedge \Diamond ({\vec {r}}))}$
7. ${\displaystyle \Diamond ({\vec {r}},\Diamond ({\vec {s}}))\rightarrow \Diamond ({\vec {r}},{\vec {s}})}$

推論規則：

1. "から${\displaystyle p}$そして${\displaystyle p\rightarrow q}$結論する${\displaystyle q}$」
2. "から${\displaystyle \neg p}$結論する${\displaystyle \neg \Diamond (p)}$」

TOLの算術的解釈に関する完全性は、ギオルギ・ジャパリゼによって証明された。