ドクサスティック論理

ドクサスティック論理は、信念についての推論に関係する論理の一種です。

ドクサスティックという用語は、古代ギリシャ語の δόξα ( doxa、「意見、信念」)に由来しており、英語の用語doxa (「一般的な意見または信念」) もこの語から借用されています。通常、ドクサスティック論理では、 という表記法を使用して「そうであると信じられている」という意味になり、 というセットは信念のセットを表します。ドクサスティック論理では、信念は様相演算子として扱われます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {B} :\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}}$

命題を信じる人と命題を導き出す形式システムの間には完全な類似性がある。ドクサスティック論理を用いると、メタロジックのゲーデルの不完全性定理の認識論的対応物や、レーブの定理、その他のメタロジックの結果を信念の観点から表現することができる。^[1]

信念セットの特性を示すために、レイモンド・スマリヤンは次のタイプの推論者を定義しています。

• 正確な推論者：^{[1] [2] [3] [4]}正確な推論者は決して誤った命題を信じない。（様相公理T）

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to p}$

• 不正確な推論者：^{[1] [2] [3] [4]}不正確な推論者は少なくとも１つの誤った命題を信じています。

${\displaystyle \exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}p}$

• 一貫した推論者：^{[1] [2] [3] [4]}一貫した推論者は決して命題とその否定を同時に信じることはない。（様相公理D）

${\displaystyle \neg \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}\neg p\quad {\text{または}}\quad \forall p:{\mathcal {B}}p\to \neg {\mathcal {B}}\neg p}$

• 通常の推論者: ^{[1] [2] [3] [4]}通常の推論者とは、信じていると同時にpも信じている人である(様相公理4 )。${\displaystyle p,}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {BB}}p}$

これのバリエーションとしては、信じていないが、 p を信じていないとも信じている人がいる(様相公理5 )。 ${\displaystyle p,}$

${\displaystyle \forall p:\neg {\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}(\neg {\mathcal {B}}p)}$

• 特異な推論者: ^{[1] [4]}特異な推論者は命題pを信じながらも、信じていないとも信じている。特異な推論者は奇妙な心理現象のように思えるかもしれないが（ムーアのパラドックスを参照）、特異な推論者は必然的に不正確ではあるが、必ずしも矛盾しているわけではない。${\displaystyle p.}$

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p}$

• 通常の推論者: ^{[1] [2] [3] [4]}通常の推論者とは、を信じると同時に、 も信じる人です 。${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• 再帰的推論者: ^{[1] [4]}再帰的推論者とは、あらゆる命題にはその推論者が信じる何らかの命題が存在する者のことである。${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)}$

${\displaystyle \forall p\exists q:{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))}$

タイプ 4 の反射的推論者 [下記参照] が を信じる場合、p も信じることになります。これは推論者に対するLöb の定理の類似点です。${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$

• 自惚れ屋の推論者：^{[1] [4]}自惚れ屋の推論者は、自分の信念が決して不正確ではないと信じています。

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}p)]\quad {\text{or}}\quad {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to p)]}$

de re形式で書き直すと、これは論理的に次の式と同等になります。

${\displaystyle \forall p[{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)]}$

これは次のことを意味します:

${\displaystyle \forall p({\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p)}$

これは、自惚れた推論者は常に安定した推論者であることを示しています (以下を参照)。

• 不安定な推論者：^{[1] [4]}不安定な推論者とは、ある命題を信じていると思い込んでいるが、実際には信じていない人のことである。これは特異性と同じくらい奇妙な心理現象であるが、不安定な推論者は必ずしも矛盾しているわけではない。

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\wedge \neg {\mathcal {B}}p}$

• 安定した推論者: ^{[1] [4]}安定した推論者は不安定ではありません。つまり、すべての に対して、もし信じるならば、信じるということです。安定性は正規性の逆であることに注意してください。推論者は、すべての命題に対して信じるならば、安定していると信じていると言えます(「私が信じていることをいつか信じるならば、私は本当に信じるだろう」と信じている)。これは、クリプキ意味論における密なアクセス可能性関係を持つことに対応し、正確な推論者は常に安定しています。${\displaystyle p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}p}$

• 穏健な推論者: ^{[1] [4]}穏健な推論者とは、信じられる命題すべてについて、信じる場合にのみ信じる人のことである。穏健な推論者は信じない限り決して信じない。タイプ4の反射的推論者は穏健である。(レーブの定理)${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p}$

• 奇妙な推論者: ^[4]奇妙な推論者はタイプGに属し、矛盾していると信じていますが、この信念は間違っています。
• 臆病な推論者：^[4]臆病な推論者は、あることを信じることが矛盾した信念につながると信じている場合、それを信じない[信じることを「恐れる」 ]。${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}\bot )\to \neg {\mathcal {B}}p}$

• タイプ1推論者: ^{[1] [2] [3] [4] [5]}タイプ1推論者は命題論理に関する完全な知識を持っています。つまり、遅かれ早かれすべてのトートロジー/定理（真理値表によって証明可能なあらゆる命題）を信じます。

${\displaystyle \vdash _{PC}p\Rightarrow \ \vdash {\mathcal {B}}p}$

記号は、命題計算で証明可能なトートロジー/定理を意味します。また、彼らの信念セット（過去、現在、未来）は、モーダスポネンスの下で論理的に閉じています。彼らが信じるなら、彼らは（遅かれ早かれ）信じるでしょう： ${\displaystyle \vdash _{PC}p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\to q}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

このルールは、信念が含意に分配されるということを述べているとも考えられ、論理的には

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$。

実際には、タイプ 1 推論システムの仮定でさえ、場合によっては強すぎる可能性があることに注意してください ( 「宝くじのパラドックス」を参照)。

• タイプ 1* 推論システム: ^{[1] [2] [3] [4]}タイプ 1* 推論システムはすべてのトートロジーを信じます。彼らの信念セット (過去、現在、未来) は、モーダスポネンスの下で論理的に閉じており、任意の命題に対して、そして、彼らが信じるならば、彼らはそれを信じるでしょう、彼らが信じるならば、彼らは信じるでしょう。タイプ 1* 推論システムは、タイプ 1 推論システムよりも「少しだけ」自己認識を持っています。${\displaystyle p}$${\displaystyle q,}$${\displaystyle p\to q,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• タイプ 2 の推論者: ^{[1] [2] [3] [4]}タイプ 1 の推論者であり、すべての および に対して(正しく)「もし私がと の両方を信じることになったら、 を信じるだろう」と信じているなら、その推論者はタイプ 2 です。タイプ 1 であるため、論理的に同等の命題も信じています。タイプ 2 の推論者は、自分の信念が modus ponens の下で閉じていることを知っている。${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\to q,}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q).}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

• タイプ3推論システム: ^{[1] [2] [3] [4]}推論システムがタイプ2の通常の推論システムである場合、その推論システムはタイプ3です。

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p}$

• タイプ4の推論者: ^{[1] [2] [3] [4] [5]}タイプ3に属し、かつ自分は正常であると考えている推論者はタイプ4に属します。

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p)]}$

• タイプGの推論者: ^{[1] [4]}自分は謙虚だと信じているタイプ4の推論者。

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p)]}$

システムの場合、反射性は、任意の（システムの言語で）に対して、システム内で証明可能なものが存在することを意味すると定義されます。レーブの定理（一般的な形式）は、タイプ4の任意の反射システムに対して、がシステム内で証明可能であれば、^{[1] [4]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\equiv {\mathcal {B}}q\to p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$${\displaystyle p.}$

タイプ 4 の一貫した反射的推論者が、自分たちは安定していると信じている場合、不安定になります。言い換えると、タイプ 4 の安定した反射的推論者が、自分たちは安定していると信じている場合、彼らは矛盾します。なぜでしょうか。タイプ 4 の安定した反射的推論者が、自分たちは安定していると信じているとします。彼らが (遅かれ早かれ) すべての命題を信じる(したがって矛盾する) ことを示します。任意の命題を取ります。推論者は、したがって、レーブの定理により、彼らは信じる(彼らは命題 がどこにあるかを信じており、したがって、彼らは命題 がどれであるかを信じる) と信じます。安定しているため、彼らは^{[1] [4]}を信じることになります。${\displaystyle p}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}r\to r,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p,}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle p.}$

• 認識論的様相論理
• 信念の修正
• 常識（論理）
• ジョージ・ブーロス
• ヤッコ・ヒンティッカ
• 様相論理
• レイモンド・スマリヤン

• Lindström, St.; Rabinowicz, Wl. (1999). 「DDL Unlimited. 内省的エージェントのための動的ドクサスティックロジック」. Erkenntnis . 51 (2–3): 353–385. doi :10.1023/A:1005577906029. S2CID  116984078.
• リンスキ、L . ( 1968)。「ドクサスティック論理の解釈について」。哲学ジャーナル。65 (17): 500–502。doi :10.2307/2024352。JSTOR  2024352。
• Segerberg, Kr. (1999). 「デフォルトロジックとしての動的ドクサスティックロジック」. Erkenntnis . 50 (2–3): 333–352. doi :10.1023/A:1005546526502. S2CID  118747031.
• Wansing, H. (2000). 「ドクサスティック論理からアクション論理への還元」Erkenntnis . 53 (1–2): 267–283. doi :10.1023/A:1005666218871. S2CID  58939606.