フリードリヒス拡張

関数解析において、フリードリヒス拡大は、非負の稠密に定義された対称演算子の標準的な 自己随伴拡大である。数学者クルト・フリードリヒスにちなんで名付けられた。この拡大は、演算子が本質的に自己随伴ではない可能性がある場合や、演算子の本質的な自己随伴性を示すのが難しい場合に特に有用である。

演算子Tが非負であるのは、

${\displaystyle \langle \xi \mid T\xi \rangle \geq 0\quad \xi \in \operatorname {dom} \ T}$

例: L ²空間上の非負関数による乗算は、非負の自己随伴演算子です。

例: U をR ⁿの開集合とする。L 2 ( U ) 上で、次の形式^の微分 作用素を考える。

${\displaystyle [T\phi ](x)=-\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}\{a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}\phi (x)\}\quad x\in U,\phi \in \operatorname {C} _{c}^{\infty }(U),}$

ここで関数a _{i j は}U上の無限微分可能な実数値関数である。コンパクト台を持つ無限微分可能な複素数値関数の稠密部分空間に作用する Tを記号

${\displaystyle \operatorname {C} _{c}^{\infty }(U)\subseteq L^{2}(U).}$

各 x∈Uに対してn × n行列​​

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}}$

が非負半定値である場合、Tは非負演算子である。これは、(a)行列がエルミート行列であり、

${\displaystyle \sum _{i,j}a_{ij}(x)c_{i}{\overline {c_{j}}}\geq 0}$

複素数c ₁ , ..., c _{nの任意の選択に対して、これは}部分積分を使用して証明されます。

これらの演算子は楕円型ですが、一般に楕円型演算子は非負ではない可能性があります。ただし、下から制限されます。

フリードリヒス拡大の定義はヒルベルト空間上の閉じた正値形式の理論に基づいている。Tが非負であれば、

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle \xi \mid T\eta \rangle +\langle \xi \mid \eta \rangle }$

は、dom T上のセクスティリニア形式であり、

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\xi )=\langle \xi \mid T\xi \rangle +\langle \xi \mid \xi \rangle \geq \|\xi \|^{2} 。}$

したがって、 Q は dom T上の内積を定義します。H _{1 を}Q に関するdom Tの完備化とします。 H _{1 は}抽象的に定義された空間です。たとえば、その要素はdom Tの要素のCauchy 列の同値類として表すことができます。 H _{1のすべての要素が}Hの要素と同一視できるかどうかは明らかではありません。ただし、次のことは証明できます。

正典に含まれる

${\displaystyle \operatorname {dom} T\rightarrow H}$

は、連続写像H ₁ → Hに拡張されます。H _{1 を}Hの部分空間と見なします。

演算子Aを次のように 定義する。

${\displaystyle \operatorname {dom} \ A=\{\xi \in H_{1}:\phi _{\xi }:\eta \mapsto \operatorname {Q} (\xi ,\eta ){\mbox{ は有界線形です。}}\}}$

上記の式において、有界はHから継承されたH ₁上の位相に対して相対的である。Hに拡張された 線型関数 φ ξ に適用されるリース_表現定理により、次の式を 満たす唯一のA ξ ∈ Hが存在する。

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle A\xi \mid \eta \rangle \quad \eta \in H_{1}}$

定理。Aは非負の自己随伴演算子であり、T ₁ = A - IがTを拡張する。

T _{1 は}Tのフリードリヒス拡大です。

この拡張を得る別の方法は次のとおりです。 を有界包含演算子とします。包含は、稠密な像を持つ有界単射です。したがって、は稠密な像を持つ有界単射演算子であり、 は抽象ヒルベルト空間間の演算子としての の随伴です 。したがって、演算子は、その定義域が の像である非負の自己随伴演算子です。次に、 はT を拡張します。 ${\displaystyle L:H_{1}\rightarrow H}$${\displaystyle LL^{*}:H\rightarrow H}$${\displaystyle L^{*}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle A:=(LL^{*})^{-1}}$${\displaystyle LL^{*}}$${\displaystyle AI}$

MG Krein は、非負対称演算子Tのすべての非負自己随伴拡張のエレガントな特徴付けを与えました。

T、S が非負の自己随伴作用素である 場合、次のように書く。

${\displaystyle T\leq S}$

もし、そしてその場合に限り、

• ${\displaystyle \operatorname {dom} (S^{1/2})\subseteq \operatorname {dom} (T^{1/2})}$
• ${\displaystyle \langle T^{1/2}\xi \mid T^{1/2}\xi \rangle \leq \langle S^{1/2}\xi \mid S^{1/2}\xi \rangle \quad \forall \xi \in \operatorname {dom} (S^{1/2})}$

定理。任意の非負対称演算子Tには、次のよう な一意の自己随伴拡張T _minとT _{maxが存在する。}

${\displaystyle T_{\mathrm {min} }\leq T_{\mathrm {max} },}$

そして、 Tの任意の非負自己随伴拡張Sは T _minとT _maxの間にある、すなわち

${\displaystyle T_{\mathrm {min} }\leq S\leq T_{\mathrm {max} }.}$

• 精力的な拡張
• 対称演算子の拡張

• NI Akhiezerと IM Glazman、「ヒルベルト空間における線形作用素の理論」、Pitman、1981 年。