ゲージ理論と量子重力におけるループ表現

ウィルソンループやホロノミーなどの拡張されたオブジェクトの観点からゲージ理論を記述する試みがなされてきた。ループ表現は、ループの観点からゲージ理論の量子ハミルトニアン表現である。ヤン–ミルズ理論のコンテキストでのループ表現の目的は、ガウスゲージ対称性によって導入される冗長性を回避し、物理状態（ガウスゲージ不変状態）の空間で直接作業できるようにすることである。このアイデアは、格子ヤン–ミルズ理論のコンテキストではよく知られている（格子ゲージ理論を参照）。ガンビーニとトリアスは、標準的なヤン–ミルズ理論に対して連続ループ表現を探求する試みを行ったが、これらは特異なオブジェクトを表現するため困難があった。後で説明するように、ループ形式主義は単純なゲージ不変記述をはるかに超えており、実際、基本的な物理的励起の観点からゲージ理論と量子重力を扱うための自然な幾何学的枠組みとなっている。

アシュテカーによる新しい変数セット (アシュテカー変数) の導入により、一般相対性理論がゲージ理論と同じ言語で表現され、ループ技法をアインシュタインの理論の自然な非摂動的な記述として適用できるようになりました。正準量子重力では、連続ループ表現の使用に関する困難さは、一般相対性理論の空間微分同相不変性によって解決されます。ループ表現は、空間微分同相制約の自然な解も提供し、正準量子重力と結び目理論を結び付けます。驚いたことに、アシュテカーの元の (定義が不十分な)ホイーラー–デウィット方程式に正確な (形式的なものにすぎないとしても) 解を提供するループ状態のクラスがありました。したがって、この表現では、正準量子一般重力のすべての方程式に対して、正確な (形式的なものにすぎないとしても) 解の無限セットが特定されたことになります。これにより、このアプローチに大きな関心が寄せられ、最終的にループ量子重力(LQG) につながりました。

ループ表現は数学に応用されている。位相的量子場理論をループで定式化すると、結果として得られる量は結び目不変量と呼ばれるものになるはずである。位相的場理論は有限個の自由度のみを含むため、正確に解くことができる。その結果、結び目の不変量である具体的な計算可能な表現を提供する。これはまさにエドワード・ウィッテン^{[1]の洞察であり、彼は}チャーン・サイモンズ理論やその他の3次元位相的量子場理論におけるループ依存量を計算すれば、結び目不変量の明示的かつ解析的な表現が得られることに気づいた。この業績により、彼は1990年にフィールズ賞を受賞した。彼は数学界最高の栄誉とされるフィールズ賞を受賞した最初の、そして今のところ唯一の物理学者である。

ゲージ対称性の考え方はマクスウェルの理論で導入された。マクスウェル方程式は

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\rho \over \epsilon _{0}}\qquad \nabla \times {\vec {B}}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\partial {\vec {E}} \over \partial t}=\mu _{0}{\vec {J}}\qquad \nabla \times {\vec {E}}+{\partial {\vec {B}} \over \partial t}=0\qquad \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$

ここで、は電荷密度、 は電流密度です。最後の 2 つの方程式は、場をスカラー ポテンシャルとベクトル ポテンシャルで表すことで解くことができます。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\vec {J}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \phi -{\partial {\vec {A}} \over \partial t}\qquad {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$。

ポテンシャルはフィールドを一意に決定しますが、フィールドはポテンシャルを一意に決定しません。変更を加えることができます。

${\displaystyle \phi '=\phi +{\partial \Lambda \over \partial t}\qquad {\vec {A}}'={\vec {A}}-\nabla \Lambda }$

は時空の任意の関数 である。これらはゲージ変換と呼ばれる。相対論的な簡潔な表記法がある。ゲージ場は${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}},t)}$

${\displaystyle A^{\mu }=(\phi ,{\vec {A}})}$

そして上記のゲージ変換は、

${\displaystyle {A^{\mu }}'=A^{\mu }+\partial ^{\mu }\Lambda }$。

いわゆる場の強度テンソルが導入され、

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

これはゲージ変換に対して不変であることが簡単に示される。成分では、

${\displaystyle F^{0i}=E^{i},\qquad \epsilon ^{ijk}F^{jk}=B^{i}}$。

マクスウェルのソースフリーアクションは次のように与えられます。

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}}$。

物理的性質を変えずに、空間と時間の異なるポイントでゲージポテンシャルを変える能力（ を変えることによって）は、局所不変性と呼ばれます。電磁気理論は、 と呼ばれる最も単純な種類の局所ゲージ対称性を持っています（ユニタリ群 を参照）。局所ゲージ不変性を示す理論は、ゲージ理論と呼ばれます。他のゲージ理論を定式化するために、上記の推論をひっくり返します。これが次のセクションの主題です。 ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}},t)}$${\displaystyle U(1)}$

量子力学によれば、電子場を記述する 波動関数を次のように置き換えると、${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi '(x)=\exp(i\theta )\psi (x)}$

物理的な予測は変わらない。電子場の位相に局所不変性を課すことを考える。

${\displaystyle \psi '(x)=\Omega \psi (x)=\exp(i\theta (x))\psi (x)}$

問題は、 の導関数がこの変換に対して共変ではないことです。 ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \partial _{\mu }(\exp(i\theta (x))\psi (x))=\Omega \partial _{\mu }\psi (x)+\partial _{\mu }\Omega \psi (x)}$。

2 番目の不要な項を打ち消すために、共変な新しい微分演算子を導入します。 を構築するには、新しいフィールド、接続 を導入します。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$${\displaystyle A_{\mu }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x)}$。

それから

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\partial _{\mu }\psi '+igA_{\mu }'\psi '=\Omega \partial _{\mu }\psi +(\partial \Omega )\psi +igA_{\mu }'\Omega \psi }$

この項は、接続場が次のように変換されることを要求することによって正確に打ち消される。 ${\displaystyle \partial _{\mu }\Omega }$

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{i \over g}[\partial _{\mu }\Omega (x)]\Omega ^{-1}(x)\quad Eq1.}$。

そうすると

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\Omega {\mathcal {D}}_{\mu }\psi }$。

は以下と同等である ことに注意してください${\displaystyle Eq1}$

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{1 \over g}\partial _{\mu }\theta (x)}$

これは、マクスウェル理論のゲージポテンシャルのゲージ変換と同じように見えます。接続フィールド自体に不変作用を構築することができます。2つの導関数のみを持つ作用が必要です（高次の導関数を持つ作用はユニタリではないため）。量を定義します。

${\displaystyle F_{\mu \nu }={-i \over g}[{\mathcal {D}}_{\mu },{\mathcal {D}}_{\mu }]={-i \over g}[\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x),\partial _{\nu }+igA_{\nu }(x)]}$

${\displaystyle ={-i \over g}{\Big (}[\partial _{\mu },\partial _{\nu }]+ig(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })-g^{2}[A_{\mu },A_{\nu }]{\Big )}}$

${\displaystyle =\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\nu }}$。

2 つの導関数のみを持つ一意のアクションは次のように与えられます。

${\displaystyle S=-{\frac {1}{2}}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}}$。

したがって、対称性のみに基づいた議論から電磁気学理論を導き出すことができます。

ここで、上記の推論を一般ゲージ群に一般化します。まず、リー代数の生成元から始めます。

${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=if^{ijk}T^{k}}$

次のように変換するフェルミオン場があるとする。

${\displaystyle \mathbf {\Psi } '\mapsto {\hat {\Omega }}(x)\mathbf {\Psi } (x)=\exp(i\theta ^{i}(x)T^{i})\mathbf {\Psi } (x)}$

再び、の微分はこの変換の下では共変ではない。共変微分を導入する。 ${\displaystyle \mathbf {\Psi } (x)}$

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }=\mathbf {I} \partial _{\mu }+ig\mathbf {A} _{\mu }(x)}$

接続フィールドは次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)T^{i}}$

を次のように変換する必要があります。 ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }'(x)={\hat {\Omega }}\mathbf {A} _{\mu }(x){\hat {\Omega }}^{-1}+{i \over g}{\hat {\Omega }}(\partial _{\mu }{\hat {\Omega }}^{-1})}$。

場の強さの演算子を定義する

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }=-{i \over g}[\mathbf {\mathcal {D}} _{\mu },\mathbf {\mathcal {D}} _{\nu }]=\partial _{\mu }\mathbf {A} _{\nu }-\partial _{\nu }\mathbf {A} _{\mu }+ig[\mathbf {A} _{\mu },\mathbf {A} _{\nu }]=(\partial _{\mu }A_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{i}+gf^{ijk}A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k})T^{i}}$。

は共変なので、テンソルも共変であることを意味します。 ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }}$${\displaystyle F_{\mu \nu }^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }\mapsto \mathbf {F} _{\mu \nu }'={\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}}$

がゲージ変換に対して不変なのは、 がスカラーの場合、つまり電磁気学の場合のみで あることに注意してください。${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }}$${\displaystyle {\hat {\Omega }}}$

これで、このテンソルから不変作用を構築できます。ここでも、導関数が 2 つだけの作用が必要です。最も単純な選択は、交換子のトレースです。

${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}{\hat {\Omega }}\mathbf {F} ^{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1})=\operatorname {Tr} (\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })}$

2 つの導関数のみを持つ一意のアクションは次のように与えられます。

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}xTr(\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })=-{1 \over 2}\int d^{4}x\operatorname {Tr} {\Big (}F_{\mu \nu }^{i}T^{j}F_{j}^{\mu \nu }T^{j}{\Big )}}$

これはヤン＝ミルズ理論の作用である。

量子マクスウェルゲージ理論における表現の変更について考える。そのアイデアは、ループでラベル付けされた状態の基底を導入し、その接続状態との内積が次のように与えられるというもので ある。${\displaystyle \mid \gamma \rangle }$

${\displaystyle \langle A\mid \gamma \rangle =W(\gamma )=\exp \left[ie\int _{\gamma }dy^{\alpha }A_{\alpha }(y)\right]}$

ループ関数はアーベルの場合のウィルソン ループです。 ${\displaystyle W(\gamma )}$${\displaystyle U(1)}$

ここでは簡単のため（そして後でこれがLQGの関連ゲージ群であることを知るため）、4次元のヤン・ミルズ理論を考える。連続理論の場の変数は接続（またはゲージポテンシャル）であり、ここで はのリー代数のインデックスである。この場について次のように書くことができる。 ${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle A_{\mu }^{i}(x)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle SU(2)}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)\tau _{i}}$

ここで、は生成元、つまりパウリ行列に を掛けたものです。マクスウェルの理論とは異なり、接続は行列値であり、可換ではないことに注意してください。つまり、非アーベルゲージ理論です。ヤン-ミルズ理論 のホロノミーの対応するバージョンを定義するときは、これを考慮する必要があります。${\displaystyle \tau _{i}}$${\displaystyle su(2)}$${\displaystyle i/2}$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$${\displaystyle SU(2)}$

まず、接続変数の観点から量子理論を説明します。

接続表現では、配置変数は であり、その共役運動量は（密度化された）トライアド です。波動関数 を考えるのが最も自然です。これは接続表現として知られています。標準変数は量子演算子に昇格されます。 ${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi [A]=A_{a}^{i}\Psi [A]}$

（位置表現に類似）そしてトライアドは関数微分であり、 ${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{a}^{i}\Psi [A]=-i{\delta \Psi [A] \over \delta A_{a}^{i}}}$

（ に類似） ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i{d\psi (q) \over dq}}$

古典的なヤン＝ミルズ理論に戻りましょう。理論のゲージ不変情報を「ループのような」変数でエンコードすることが可能です。

ホロノミーの概念が必要です。ホロノミーとは、閉ループの周りを平行移動した後のスピノルまたはベクトルの初期値と最終値がどれだけ異なるかを測定するもの  です。 ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$

ホロノミーの知識は、ゲージ同値性を除き、接続の知識と同等である。ホロノミーはエッジと関連付けることもできる。ガウスの法則のもとでは、これらは次のように変換される。

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$

閉ループの場合、これをトレースすると、つまり、足し合わせて合計すると、次のようになります。 ${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

または

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$

したがって、閉ループの周りのホロノミーの軌跡はゲージ不変である。これは次のように表記される。

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

これはウィルソンループと呼ばれる。ホロノミーの明示的な形式は

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp {\Big \{}-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}\,ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}{\Big \}}}$

ここで、はホロノミーが評価される曲線であり、は曲線に沿ったパラメータであり、小さい値の因子が左側に現れることを意味するパス順序付けを表し、代数を 満たす行列である。${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}.\,}$

パウリ行列は上記の関係を満たします。これらの関係を満たす行列の集合の例は、さらに無限に多く存在します。各集合は の行列で構成され、これらのいずれも 2 つ以上の低次元の例に「分解」できるとは考えられません。これらは代数の異なる既約表現と呼ばれます。最も基本的な表現はパウリ行列です。ホロノミーは、使用される既約表現に応じて 半整数でラベル付けされます。${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$${\displaystyle su(2)}$${\displaystyle N/2}$

ヤン＝ミルズゲージ理論に関する重要な定理はジャイルズの定理であり、これによれば、多様体上のすべての可能なループに対する接続のホロノミーのトレースを与えると、原理的には接続のすべてのゲージ不変情報を再構築できる。^[2]つまり、ウィルソンループは接続のゲージ不変関数の基底を構成する。この重要な結果は、ゲージ理論と重力のループ表現の基礎となっている。

ウィルソンループの使用はガウスゲージ制約を明示的に解決します。ウィルソンループは基底を形成するため、任意のガウスゲージ不変関数を次のように形式的に展開できます。

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A]}$。

これはループ変換と呼ばれる。量子力学の運動量表現と類似していることがわかる。運動量表現では、数値でラベル付けされた状態の基底があり、それを展開する。 ${\displaystyle \exp(ikx)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$

展開の係数を扱います。 ${\displaystyle \psi (k)}$

逆ループ変換は次のように定義される。

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$

これはループ表現を定義します。接続表現の演算子が与えられると、 ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A],\qquad {\text{Eq 1}}}$

ループ表現において対応する演算子を次のように 定義する。${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ],\qquad {\text{Eq 2}}}$

ここで、通常の逆ループ変換によって定義される。 ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A].\qquad {\text{Eq 3}}}$

上の演算子の作用を上の演算子の作用で表した変換式は、の右辺をの右辺と等しくし、を に代入することによって得られる。すなわち、 ${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$${\displaystyle Eq\;2}$${\displaystyle Eq\;3}$${\displaystyle Eq\;1}$${\displaystyle Eq\;3}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$

または

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$

ここで、 とは逆の因数順序を持つ演算子を意味します（共役の下で演算子の積が逆になる単純な量子力学を思い出してください）。ウィルソン ループに対するこの演算子の作用を接続表現での計算として評価し、その結果を純粋にループに関する操作として並べ替えます（ウィルソン ループに対する作用を検討するときは、変換したい演算子を、波動関数に対する作用に選択したものと逆の因数順序で選択する必要があることに注意してください）。 ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$

アシュテカー変数の導入により、一般相対論はゲージ理論と同じ言語で表現されるようになった。特に、ガウスの法則と空間微分同相制約の解の空間を適切に制御できないことが、ロヴェッリとスモーリンが新しい表現、つまりループ表現を検討するきっかけとなった。^[3]

空間微分同相写像制約を扱うには、ループ表現に移る必要があります。上記の推論により、演算子 の物理的な意味が与えられます。たとえば、 が空間微分同相写像に対応する場合、これは の接続フィールドを の場所に保持しながら、代わりに に対して空間微分同相写像を実行するものと考えることができます。したがって、 の意味は上の空間微分同相写像、つまり の引数です。 ${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

ループ表現では、ループの空間微分同相写像の下で不変なループの関数を考慮することによって、空間微分同相写像制約を解くことができます。つまり、数学者が結び目不変量と呼ぶものを構築します。これにより、結び目理論と量子重力 の間に予期せぬつながりが生まれました。${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$${\displaystyle \gamma }$

最も簡単な幾何学的量は面積です。表面が で特徴付けられるような座標を選択しましょう。表面の小さな平行四辺形の面積は、各辺の長さと辺の間の角度の積です。1 つの辺がベクトルで与えられ、もう 1 つの辺がベクトルで与えられるとします。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle x^{3}=0}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}\\[6pt]&={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}\end{aligned}}}$

これから、表面積は次のように表される。 ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {\det \;q^{(2)}}}}$

ここで、 および は に誘導される計量の行列式である。これは次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle \det q^{(2)}=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \det \;q^{(2)}={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$

逆行列の標準的な式は

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}}$

これと の式との類似性に注目してください。しかし、アシュテカー変数では となります。したがって、 ${\displaystyle \det q^{(2)}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$

正準量子化の規則によれば、三つ組を量子演算子に昇格させる必要がある。 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$

2つの関数導関数の積を扱っているにもかかわらず、さらに悪いことに平方根も扱わなければならないにもかかわらず、面積は明確に定義された量子演算子に昇格できることがわかります。 ^{[4] を}J番目の表現に置くと、 になります。 であることに注意してください。この量は、面積スペクトルの最終的な式で重要です。結果を以下に簡単に述べます。 ${\displaystyle A_{\Sigma }}$${\displaystyle N=2J}$${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{Planck}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

ここで、合計は表面を貫通するウィルソンループのすべての辺にわたります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle \Sigma }$

領域の体積の公式は次のように与えられる。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int _{R}dx^{3}{\sqrt {\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

体積の量子化は、面積の場合と同じように行われます。導関数をとり、そのたびに接線ベクトル を下げると、体積演算子が交差しないウィルソン ループに作用すると、結果は消えます。したがって、体積がゼロでない量子状態には交差がなければなりません。反対称和が体積の式に引き継がれることを考えると、少なくとも 3 つの非共面線との交差が必要になります。実際には、体積演算子が消えないためには、少なくとも 4 つの価頂点が必要であることがわかります。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$

ここで、交差を持つウィルソンループについて考えます。ゲージ群が である実数表現を仮定します。ウィルソンループは、異なるウィルソンループを関連付ける恒等式が存在するため、過剰完備基底です。これは、ウィルソンループが行列 (ホロノミー) に基づいており、これらの行列が恒等式、いわゆるマンデルシュタム恒等式を満たすという事実から生じます。任意の 2 つの行列とが与えられた場合、次のことは簡単に確認できます。 ${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$

これは、交差する2つのループとが与えられた場合、 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

ここで、はループを反対方向に通過することを意味し、 はループを一周してから に沿って進むことによって得られるループを意味します。下の図を参照してください。これは、第 2 種のマンデルシュタム恒等式と呼ばれます。第 1 種のマンデルシュタム恒等式があります。スピン ネットワークは、マンデルシュタム恒等式によってもたらされる過剰完全性に対処するために設計された、交差するウィルソン ループの特定の線形結合です。 ${\displaystyle \eta ^{-1}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \gamma \circ \eta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle W(\gamma _{1}\circ \gamma _{2})=W(\gamma _{2}\circ \gamma _{1})}$

実際、スピン ネットワークは、ループ基底の過剰完全性の度合いを最小化するすべてのゲージ不変関数の基底を構成し、三価交差ではそれを完全に排除します。

上で述べたように、ホロノミーはテストスピン半粒子を伝播する方法を示します。スピンネットワーク状態は、空間内のパスをトレースし、融合および分割するスピン半粒子のセットに振幅を割り当てます。これらはスピンネットワークによって記述されます。エッジはスピンによってラベル付けされ、頂点の「インタートワイナー」は、スピンが再ルーティングされるさまざまな方法を合計する方法を規定します。再ルーティングの合計は、インタートワイナーの形状がガウスゲージ変換に対して不変になるように選択されます。 ${\displaystyle \gamma }$

アシュテカーらによって定義されたループ表現（すなわち、正しいループ代数を再現するヒルベルト空間と関連演算子の特定の具体的な実現、つまり誰もが使用していた実現）の一意性を確立する定理は、2つのグループ（レワンドフスキ、オコロウ、サールマン、ティーマン）^[5]と（クリスチャン・フライシュハック）^[6]によって与えられている。この結果が確立される前は、同じループ代数を呼び出す演算子を持つヒルベルト空間の他の例、これまで使用されてきたものと同等ではない他の実現が存在するかどうかはわかっていなかった。

結び目 (またはリンク、複数の要素が互いに絡み合った結び目) を記述する一般的な方法は、結び目図と呼ばれる平面への投影像を考えることです。任意の結び目 (またはリンク) は、結び目図を使用してさまざまな方法で描画できます。したがって、結び目理論の基本的な問題は、2 つの記述が同じ結び目を表している場合を決定することです。結び目図が与えられたら、それに結び目の不変量 (場合によっては多項式、結び目多項式と呼ばれます) を割り当てる方法を見つけようとします。同じ手順で生成された異なる多項式を持つ 2 つの結び目図は、必然的に異なる結び目に対応します。ただし、多項式が同じだからといって、同じ結び目に対応するとは限りません。多項式が結び目を区別する能力が高いほど、強力になります。

1984年、ジョーンズ^[7]は新しいリンク不変量の発見を発表し、すぐに一般化が驚くほど多く行われるようになりました。彼は新しい結び目多項式、ジョーンズ多項式を発見しました。具体的には、これは有向結び目またはリンクの不変量であり、各有向結び目またはリンクに整数係数の多項式を割り当てます。

1980 年代後半、ウィッテンは、観測可能な量の期待値が微分同相写像の下で不変である特定のタイプの物理理論を表すために、位相量子場理論という用語を作り出した。

ウィッテン^[8]は、チャーン・サイモンズ理論からジョーンズ多項式とその一般化の発見的導出を与えた。基本的な考え方は、チャーン・サイモンズ理論のウィルソンループの真空期待値は、理論の微分同相不変性によりリンク不変であるという単純なものである。しかし、これらの期待値を計算するために、ウィッテンはチャーン・サイモンズ理論とウェス・ズーミノ・ウィッテンモデル（またはWZWモデル）として知られる共形場理論との関係を使用する必要があった。