フェルミオンの倍増

格子場理論では、格子上にフェルミオン場を単純に置いたときにフェルミオンの倍増が起こり、予想よりも多くのフェルミオン状態が生じる。ユークリッド次元で単純に離散化されたディラックフェルミオンの場合、各フェルミオン場は同一のフェルミオン種をもたらし、フェルミオンの異なるテイストと呼ばれる。フェルミオンの倍増問題は、ニールセン-二宮定理によってカイラル不変性と手に負えないほど結びついている。この問題を解決するために使用されるほとんどの戦略では、連続体極限でのみディラックフェルミオンに還元される修正フェルミオンを使用する必要があります。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2^{d}}$

簡単のため、自由フェルミオンの4次元理論を考えるが、フェルミオンの倍加問題は任意の次元でも、また相互作用を含めても残る。格子場理論は通常、ミンコフスキー時空からウィック回転を経て到達したユークリッド時空で実行され、連続ディラック 作用は次の形をとる。

${\displaystyle S_{F}[\psi ,{\bar {\psi }}]=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(x)(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\psi (x).}$

これは、格子間隔と整数ベクトル でインデックス付けされた点を持つ格子を導入することによって離散化されます。積分はすべての格子点にわたる合計になり、フェルミオン場は、および で示される各格子サイトで4成分グラスマン変数に置き換えられます。使用される微分離散化は対称微分離散化であり、ベクトルは方向の単位ベクトルです。これらの手順により、素朴な自由フェルミオン作用^[1]が得られます。${\displaystyle a}$${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})}$${\displaystyle \psi_{n}}$${\displaystyle {\bar {\psi }}_{n}}$${\displaystyle {\hat {\mu}}}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle S_{F}^{L}[\psi ,{\bar {\psi }}]=a^{4}\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\gamma _{\mu }{\frac {\psi _{n+{\hat {\mu }}}-\psi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\psi _{n}{\bigg )}.}$

この作用は連続体極限では連続体ディラック作用に還元されるため、単一のフェルミオンの理論であると予想される。しかし、それは代わりに 16 個の同一のフェルミオンを記述し、各フェルミオンは異なる味を持つと言われている。これは、素粒子物理学で粒子が異なる味を持つのと類似している。15 個の追加のフェルミオンは、しばしばダブラーと呼ばれる。この拡張された粒子の内容は、格子理論の 対称性または相関関数を分析することによって見ることができる。

素朴なフェルミオン作用は、フェルミオン場に作用する連続体理論には見られない新しい味覚交換対称性を持っている^[2]

${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow e^{-in\cdot \pi _{A}}S_{A}\psi _{n},\ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}_{n}\rightarrow {\bar {\psi }}_{n}S_{A}^{\dagger }e^{in\cdot \pi _{A}},}$

ここで、ベクトルはによって指定されるの非ゼロ要素を持つ 16 個のベクトルです。たとえば、、、、です。対称性のディラック構造は、 のインデックスによって同様に定義されます (ここで、 および)。たとえば の場合です。 ${\displaystyle \pi_{A}}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \pi _{0}=(0,0,0,0)}$${\displaystyle \pi _{2}=(0,\pi ,0,0)}$${\displaystyle \pi _{14}=(\pi ,0,0,\pi )}$${\displaystyle \pi _{1234}=(\pi ,\pi ,\pi ,\pi )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S_{A}=S_{\nu _{1}}S_{\nu _{2}}S_{\nu _{3}}S_{\nu _{4}}}$${\displaystyle S_{0}=I}$${\displaystyle S_{\nu }=i\gamma _{5}\gamma _{\nu }}$${\displaystyle S_{14}=(i\gamma _{5}\gamma _{1})(i\gamma _{5}\gamma _{4})}$

これら 16 個の対称変換が存在するということは、1 つのフェルミオン状態だけではなく 16 個の同一のフェルミオン状態が存在することを意味します。フェルミオン場 から始めて、対称性によりこれを別の場 にマッピングします。これをフーリエ変換すると、その運動量が としてシフトしていることがわかります。したがって、ブリルアンゾーンの中心近くの運動量を持つフェルミオンは、そのコーナーの 1 つにマッピングされ、コーナーのフェルミオンの 1 つが中心のフェルミオンと置き換わるために入ります。これは、変換がフェルミオンのテイストを交換するように作用することを示しています。これは作用の対称性であるため、異なるテイストは物理的に互いに区別できないはずです。ここで、小さい に対するブリルアン運動量は、粒子の物理的運動量ではなく、 です。むしろ、フェルミオンのテイストを指定する 追加の量子数として機能します。${\displaystyle \psi _{n}}$${\displaystyle \psi '_{n}=e^{-in\cdot \pi _{A}}S_{A}\psi _{n}}$${\displaystyle p^{\mu }\rightarrow p^{\mu }+\pi _{A}^{\mu }}$${\displaystyle k^{\mu }=p^{\mu }+\pi _{A}^{\mu }}$${\displaystyle p^{\mu }}$${\displaystyle p^{\mu }}$${\displaystyle \pi _{A}^{\mu }}$

項は、ダブラーの -行列の表現をに変更する役割を果たし、行列の符号を のように変更する効果があります。このような符号変更はいずれもディラック代数 を満たす行列の集合をもたらすため、結果として得られる行列は有効な表現を形成します。また、これはおよびで与えられるダブラーの波動関数に入る項でもあります。ここで、 およびは、運動量 を持つ通常のディラック方程式の解です。^[3]${\displaystyle S_{A}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma _{\mu }^{(A)}=S_{A}^{\dagger }\gamma _{\mu }S_{A}}$${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\gamma _{4})\rightarrow (\pm \gamma _{1},\pm \gamma _{2},\pm \gamma _{3},\pm \gamma _{4})}$${\displaystyle S_{A}^{\dagger }u({\boldsymbol {p}})}$${\displaystyle S_{A}^{\dagger }v({\boldsymbol {p}})}$${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})}$${\displaystyle v({\boldsymbol {p}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$

連続体理論では、ディラック伝播関数は単一の極を持ち、理論は単一の粒子のみを記述する。しかし、単純な作用から伝播関数を計算すると、次のようになる。

${\displaystyle S(p)={\frac {m-ia^{-1}\sum _{\mu }\gamma _{\mu }\sin(p^{\mu }a)}{m^{2}+a^{-2}\sum _{\mu }\sin(p^{\mu }a)^{2}}},}$

運動量 のフェルミオンの場合です。^[4]低運動量の場合、これは で予想される極を持ちますが、 の場合には 15 個の追加の極があります。これらはそれぞれ、関数が範囲 にわたって 2 つの極を持つため、倍増が生じる新しいフェルミオン種です。これは、異なるスピンの粒子が離散化された場合に発生することとは対照的です。たとえば、スカラーは、を除いて同様の形を取るプロパゲーターを取得します。 は、運動量範囲にわたって 1 つの極しか持たないため、理論は倍増の問題に悩まされません。^[5]${\displaystyle p^{\mu }}$${\displaystyle \sin(p^{\mu }a)\approx p^{\mu }a}$${\displaystyle ap^{\mu }=(am,0,0,0)}$${\displaystyle ap^{\mu }=(am,0,0,0)+\pi _{A}^{\mu }}$${\displaystyle \sin(p^{\mu }a)}$${\displaystyle p^{\mu }\in [-\pi /a,\pi /a]}$${\displaystyle \sin(p^{\mu }a/2)}$

フェルミオンの倍加の必要性は、質量のないフェルミオンのプロパゲーターが原点の周りで奇数であるという事実から演繹できる。^[6]つまり、連続体極限では に比例し、これは小運動量極限の格子上でも当てはまるはずである。しかし、構築できる局所格子理論はどれも連続かつ周期的な のプロパゲーターを持たなければならないため、少なくとももう一度はゼロ軸を横切らなければならない。これはまさに、ナイーブなフェルミオンのプロパゲーターの場合、 となるブリルアンゾーンの角で起こることである。これは、原点の周りで2次であるボゾンのプロパゲーターとは対照的であり、そのためこのような問題はない。不連続なプロパゲーターを使用すれば倍加は避けられるが、その結果は非局所理論となる。 ${\displaystyle \gamma _{\mu }p^{\mu }}$${\displaystyle ap_{\mu }=\pi _{A}^{\mu }}$

ダブラーの存在はフェルミオンの分散関係にも反映されている。これはフェルミオンのエネルギー と運動量の関係であるため、逆ウィック変換を実行する必要があり、分散関係は伝播関数の極から生じる^[7]${\displaystyle \omega }$${\displaystyle p_{4}=\pm i\omega }$

${\displaystyle \sinh \omega ({\boldsymbol {p}})={\sqrt {m^{2}+\sum _{j=1}^{3}\sin ^{2}p_{j}}}.}$

この分散関係のゼロは局所エネルギー最小値であり、その周りで励起が異なる粒子種に対応する。上記には、3 つの空間方向での倍増により生じる 8 つの異なる種がある。残りの 8 つの倍増は、ユークリッド時間方向での別の倍増により発生するが、これは失われているように見える。しかし、これは逆ウィック変換の単純な適用によるものである。理論には、 の単純な置き換えを許可しない障害があり、代わりに完全な輪郭積分 を実行する必要がある。位置空間プロパゲータに対してこれを行うと、2 つの別々の項が生成され、それぞれが 8 つのフェルミオン種の同じ分散関係を持ち、合計 16 個になる。^[8]ミンコフスキー理論とユークリッドの単純なフェルミオン格子理論の間の障害は、ミンコフスキー時間方向では倍増が発生しないため、2 つの理論の粒子内容が異なるために発生する。 ${\displaystyle p_{4}=\pm i\omega }$

フェルミオンの倍加は、ニールセン・二宮定理として知られる格子場の理論における禁制定理の結果である。これは、任意の偶数次元の局所的、エルミート、並進不変、双線型フェルミオン理論は常に同数の左手系と右手系のワイルフェルミオンを持ち、フェルミオンが不足すると追加のフェルミオンを生成することを述べている。^[9]この定理では、何個の倍加が生じるかについては述べられていないが、定理の仮定を破ることなく、常に少なくとも 1 つの倍加が存在し、単純な離散化では 15 個となる。この定理の結果として、カイラル異常はカイラル不変理論ではシミュレートできず、自明に消滅する。

格子場理論をフェルミオンの倍加でシミュレートすると、倍加子のために誤った結果が生じるため、この問題を克服するための多くの戦略が開発されてきた。異なるテイストが分離している自由理論では倍加子を無視できるが、相互作用が異なるテイストを混合する相互作用理論では、運動量が法 までしか保存されないため、倍加子を無視することはできない。たとえば、2 つのテイスト フェルミオンは、非常に仮想的なゲージ ボソンの交換によって散乱し、運動量保存則に違反することなく2 つのテイスト フェルミオンを生成することができる。したがって、フェルミオンの倍加問題を克服するには、ニールセン-二宮定理の 1 つ以上の仮定に違反する必要があり、多数の解決策が提案されている。 ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi _{0}}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$

• ドメインウォールフェルミオン：カイラル対称性を明確に破り、空間次元を増加させる。^{[10] [11]}
• ギンスパーグ・ウィルソンフェルミオン：カイラル対称性を明確に破る。^[12]
• オーバーラップフェルミオン：カイラル対称性を明確に破る（ギンスパーグ・ウィルソンフェルミオンの一種）。^{[13] [14]}
• 完全格子フェルミオン：非局所的定式化。^[15]
• SLACフェルミオン：非局所的定式化。^[16]
• ステイシーフェルミオン：非局所定式化。^[17]
• スタガードフェルミオン（コグート・サスキンフェルミオン）：並進不変性を明示的に破り、ダブラーの数を減らす。^[18]
• 対称質量生成：このアプローチはフェルミオン双線形モデルを超え、非摂動的な相互作用効果を導入する。^{[19] [20]}アイヒテン・プレスキルモデルに基づく1つの実現法^[21]は、ベクトル対称フェルミオンモデルから始まり、カイラルフェルミオンとミラーフェルミオンが2つのドメインウォール上に実現される。対称質量生成を使用してミラーフェルミオンをギャップすると、フェルミオンの倍増なしで低エネルギーのカイラルフェルミオンが得られる。^{[22] [23]}
• ねじれ質量フェルミオン：カイラル対称性を明確に破る（ウィルソンフェルミオンの一種）。^[24]
• ウィルソンフェルミオン：カイラル対称性を明確に破る。^[25]

これらのフェルミオン定式化にはそれぞれ長所と短所がある。^[26]これらは、シミュレーションの速度、実装の容易さ、例外構成の有無が異なっている。いくつかは、軸異常をシミュレートできる残留カイラル対称性を持っている。また、除去するダブラーの数も異なり、ダブラーの中には、ダブレットまたはカルテットのフェルミオンで構成されるものもある。このため、異なるフェルミオン定式化が、異なる問題に対して使用される。

2倍化問題に対するもう一つの可能​​な解決法は、対称差とは異なる微分離散化を採用することであるが、これは非現実的である。

${\displaystyle \partial _{\mu }f(x)\rightarrow \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {f(x+a{\hat {\mu }})-f(x-a{\hat {\mu }})}{2a}},}$

単純なフェルミオン作用で使用される。代わりに、前進差分を使用することもできる。

${\displaystyle \partial _{\mu }f(x)\rightarrow \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {f(x+a{\hat {\mu }})-f(x)}{a}},}$

または後方差分離散化。微分離散化が倍加に与える影響は、の固有解を求める1次元のおもちゃの問題を考えることでわかる。^[27]連続体では、この微分方程式は1つの解を持つ。しかし、対称差分微分を実装すると、2つの異なる固有解が存在するようになるのに対し、前方または後方差分微分では1つの固有解しか存在しない。この効果はフェルミオンの作用にまで及び、前方または後方離散化ではフェルミオンの倍加は発生しない。 ${\displaystyle -i\partial _{x}f(x)=\lambda f(x)}$

この粒子内容の不一致の理由は、対称差分微分が連続体演算子のエルミート性特性を維持するのに対し、前方および後方離散化は維持しないからです。これらの後者の離散化は非エルミート作用をもたらし、ニールセン-二宮定理の仮定を破り、フェルミオンの倍増問題を回避します。非エルミート微分離散化を伴う相互作用理論を開発すると、フェルミオンの自己エネルギーと頂点関数に非共変寄与を持つ理論につながり、理論は繰り込み不可能になり、扱いにくくなります。^[28]このため、フェルミオンの倍増問題に対するこのような解決策は一般には実装されません。 ${\displaystyle i\partial _{\mu }}$

• 音響フォノンと光学フォノン：固体結晶における類似の現象