スピンフォーム

物理学において、スピンフォームまたはスピンフォーム^[1]の位相構造は、量子重力のファインマンの経路積分記述を得るために関数積分によって必要とされる構成を表す2次元面から構成される。これらの構造は、ループ量子重力において量子フォームの一種として利用される。

ループ量子重力の共変定式化は、一般相対性理論の微分同相写像の下での不変性が適用される量子場理論である量子重力理論のダイナミクスの最良の定式化を提供します。結果として得られる経路積分は、スピンフォームの可能なすべての構成の合計を表します。^{[どのように? ]}

スピン ネットワークは、空間ジオメトリの側面をエンコードする頂点とエッジのラベルが付いた 2 次元グラフです。

スピン ネットワークは、ファインマン図のような図として定義され、微分可能多様体の要素間の接続、それらの要素上に定義されたヒルベルト空間、および多様体の2 つの異なる超曲面間の振幅の計算の基礎となります。スピン ネットワークの任意の進化により、対応するスピン ネットワークの次元よりも 1 次元高い多様体上​​のスピン フォームが提供されます。^{[説明が必要]スピン フォームは}量子履歴に類似しています。^{[なぜ? ]}

スピン ネットワークは、空間の量子幾何学を記述するための言語を提供します。スピン フォームは時空に対して同じことを行います。

時空はスピンフォームの重ね合わせとして定義できます。スピンフォームは、グラフの代わりに高次元の複合体が使用される一般化されたファインマン図です。位相幾何学では、この種の空間は 2複合体と呼ばれます。スピンフォームは、頂点、辺、面のラベルが付いた特別なタイプの 2複合体です。スピンフォームの境界はスピンネットワークであり、多様体理論では n 多様体の境界は (n-1) 多様体です。

ループ量子重力において、現在のスピンフォーム理論はポンツァーノ・レッゲモデルの研究に触発されています。このアイデアは1997年にライゼンバーガーとロヴェッリによって導入され、^[2]後にバレット・クレインモデルに発展しました。今日使用されている定式化は、一連の独創的な論文の著者の名前にちなんでEPRLと呼ばれていますが、^{[3]この理論には、}ローラン・フライデル（FKモデル）やイェジ・レワンドフスキ（KKLモデル）など、他の多くの人々の研究からも基本的な貢献を受けています。

スピンフォームモデルの要約パーティション関数は

${\displaystyle Z:=\sum _{\Gamma }w(\Gamma )\left[\sum _{j_{f},i_{e}}\prod _{f}A_{f}(j_{f})\prod _{e}A_{e}(j_{f},i_{e})\prod _{v}A_{v}(j_{f},i_{e})\right]}$

と：

• 面、辺、頂点からなる2次元複体の集合。各2次元複体には重みが関連付けられている。${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle f}$${\displaystyle e}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle w(\Gamma )}$
• 面をラベル付けする既約表現のセットと、エッジをラベル付けする絡み合い要素。${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$
• 頂点振幅と辺振幅${\displaystyle A_{v}(j_{f},i_{e})}$${\displaystyle A_{e}(j_{f},i_{e})}$
• 顔の振幅は、ほとんどの場合${\displaystyle A_{f}(j_{f})}$${\displaystyle A_{f}(j_{f})=\dim(j_{f})}$

• 群場理論
• ループ量子重力
• ループ量子重力におけるローレンツ不変性
• ストリングネット液体

• Baez, John C. (1998). 「スピンフォームモデル」.古典重力と量子重力. 15 (7): 1827–1858. arXiv : gr-qc/9709052 . Bibcode :1998CQGra..15.1827B. doi :10.1088/0264-9381/15/7/004. S2CID  6449360.
• Perez, Alejandro (2003). 「量子重力のためのスピンフォームモデル」.古典重力と量子重力. 20 (6): R43–R104. arXiv : gr-qc/0301113 . doi :10.1088/0264-9381/20/6/202. S2CID  13891330.
• ロヴェッリ、カルロ (2011)。 「ザコパネがループ重力について講義」。arXiv : 1102.3660 [gr-qc]。