ポアソン括弧

数学と古典力学において、ポアソン括弧はハミルトン力学における重要な二項演算であり、ハミルトン力学系の時間発展を支配するハミルトンの運動方程式において中心的な役割を果たしている。また、ポアソン括弧は、正準変換と呼ばれる座標変換の特定のクラスを区別し、正準座標系を正準座標系にマッピングする。「正準座標系」は、正準ポアソン括弧関係を満たす正準位置変数と運動量変数（以下、それぞれおよびで表記）で構成される。可能な正準変換の集合は常に非常に豊富である。たとえば、ハミルトニアン自体を新しい正準運動量座標の 1 つとして選択できる場合が多い。 ${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle H=H(q,p,t)}$

より一般的な意味では、ポアソン括弧はポアソン代数を定義するために使用され、ポアソン多様体上の関数の代数はその特殊なケースです。他の一般的な例もあります。これはリー代数の理論で発生し、リー代数のテンソル代数はポアソン代数を形成します。これが発生する詳細な構成については、普遍包絡代数の記事で説明しています。普遍包絡代数の量子変形は、量子群の概念につながります。

これらのオブジェクトはすべてシメオン・ドニ・ポアソンにちなんで命名されています。彼は1809年の力学に関する論文でポアソン括弧を導入しました。^{[1] [2]}

位相空間と時間に依存する2 つの関数fとgを考えると、それらのポアソン括弧は位相空間と時間に依存する別の関数です。位相空間と時間の任意の 3 つの関数に対して、次の規則が当てはまります。 ${\displaystyle \{f,g\}}$${\displaystyle f,\,g,\,h}$

反可換性

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$

双線形性

${\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }$

ライプニッツの法則

${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}$

ヤコビ恒等式

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$

また、関数が位相空間上で一定である場合（ただし時間に依存する場合がある）、任意の に対して となります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \{f,\,k\}=0}$${\displaystyle f}$

位相空間上の標準座標（ダルブー座標とも呼ばれる）において、2つの関数とが与えられると、^[注1]ポアソン括弧は次の形を取る 。${\displaystyle (q_{i},\,p_{i})}$${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)}$${\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)}$$${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$

標準座標のポアソン括弧は、 クロネッカーのデルタ です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{k},q_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot 0-0\cdot \delta _{li}\right)=0,\\\{p_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(0\cdot \delta _{li}-\delta _{ki}\cdot 0\right)=0,\\\{q_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot \delta _{li}-0\cdot 0\right)=\delta _{kl},\end{aligned}}}$$${\displaystyle \delta _{ij}}$

ハミルトンの運動方程式は、ポアソン括弧で表すと同等の表現となる。これは、明示的な座標系で最も直接的に証明できる。が解の軌道多様体上の関数であるとする。すると、多変数連鎖律から、 ${\displaystyle f(p,q,t)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$$

さらに、 と をハミルトン方程式の解とみなすこともできる。つまり、 ${\displaystyle p=p(t)}$${\displaystyle q=q(t)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq}{dt}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\},\\{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{aligned}}}$$

それから $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

したがって、シンプレクティック多様体上の関数の時間発展は、時間をパラメータとする、 1パラメータのシンプレクティック同相写像（すなわち、正準変換、面積保存微分同相写像）の族として与えることができます。ハミルトン運動は、ハミルトニアンによって生成される正準変換です。つまり、ポアソン括弧が保存されるため、ハミルトン方程式の解の 任意の時間が 括弧座標として機能します。ポアソン括弧は正準不変量です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle q(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})p(0),}$$

座標を落とすと、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\cdot \}\right)f.}$$

導関数の対流部分の演算子は、リウヴィル演算子と呼ばれることもあります（リウヴィルの定理（ハミルトニアン）を参照）。 ${\displaystyle i{\hat {L}}=-\{H,\cdot \}}$

ポアソン括弧の概念は、ポアソン行列を定義することによって行列の概念に拡張できます。

次の標準変換を考えてみましょう。を定義すると、ポアソン行列は と定義されます。ここで、 は座標セットを順序付けるのと同じ規則に従ったシンプレクティック行列です。 定義から次のようになります。$${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}$$${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$${\displaystyle J}$$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}}\right)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.}$$

ポアソン行列は次の既知の特性を満たします。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned}}}$$

ここで、 はラグランジュ行列と呼ばれ、その要素はラグランジュ括弧に対応します。最後の恒等式は次のようにも表すことができます。ここでの合計には、一般化座標と一般化運動量が含まれることに注意してください。 ${\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}$$

ポアソン括弧の不変性は次のように表すことができ 、これは直接的にシンプレクティック条件につながる。[ ^3]${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij}}$${\textstyle MJM^{T}=J}$

積分可能なシステムには、エネルギーに加えて運動定数があります。このような運動定数は、ポアソン括弧の下でハミルトニアンと交換されます。ある関数が運動定数であると仮定します。これは、がハミルトンの運動方程式 の軌跡または解である場合、 その軌跡に沿って となることを意味します。すると 、上記のように、中間ステップは運動方程式を適用することによって続き、 は時間に明示的に依存しないと仮定します。この方程式は、リウヴィル方程式として知られています。リウヴィルの定理の内容は、分布関数によって与えられた測度 の時間発展は、上記の方程式によって与えられるというものです。 ${\displaystyle f(p,q)}$${\displaystyle p(t),q(t)}$$${\displaystyle 0={\frac {df}{dt}}}$$$${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}f(p,q)=\{f,H\}}$$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

およびのポアソン括弧が消える場合 ( )、 および は反転にあると言われます。ハミルトン系が完全に積分可能であるためには、運動の独立した定数が相互反転にある必要があります。ここで は自由度の数です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \{f,g\}=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

さらに、ポアソンの定理によれば、2 つの量と が明示的に時間に依存しない ( ) 運動定数である場合、それらのポアソン括弧 も時間に依存しない運動定数です。ただし、運動定数の可能な数は限られているため (自由度を持つシステムの場合)、結果が自明 (定数、またはとの関数) になる可能性があるため、これは常に有用な結果をもたらすわけではありません。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A(p,q),B(p,q)}$${\displaystyle \{A,\,B\}}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

をシンプレクティック多様体、つまりシンプレクティック形式:閉じている(つまり外微分がゼロである) かつ非退化である2 次元形式を備えた多様体とします。たとえば、上記の処理では、を とし、 をとります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$$${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}.}$$

が によって定義される内積または縮約演算である場合、非退化は、すべての 1 形式に対して となる一意のベクトル場が存在すると言っているのと同等です。あるいは、となります。 が上の滑らかな関数である場合、ハミルトンベクトル場はと定義できます。 ${\displaystyle \iota _{v}\omega }$${\displaystyle (\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Omega _{\alpha }}$${\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha }$${\displaystyle \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{H}}$${\displaystyle \Omega _{dH}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}}$$

( M , ω )上のポアソン括弧は 、によって定義される微分可能関数上の双線型演算です。 M上の 2 つの関数のポアソン括弧は、それ自体がM上の関数です。ポアソン括弧が反対称であるのは次の理由からです。 ${\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \}}$${\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})}$$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.}$$

さらに、

ここで、X _g f は関数fに方向微分として適用されたベクトル場X _gを表し、関数fの（完全に同値な）リー微分を表します。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f}$

αがM上の任意の一形式である場合、ベクトル場Ω _{α は}（少なくとも局所的には）境界条件と一階微分方程式を 満たす流れを生成する。 ${\displaystyle \phi _{x}(t)}$${\displaystyle \phi _{x}(0)=x}$$${\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.}$$

は、任意のtに対してxの関数としてシンプレクティック同型写像（正準変換）となるのは、の場合に限ります。これが真であるとき、Ω _{α は}シンプレクティックベクトル場と呼ばれます。カルタンの恒等式とd ω = 0を思い出すと、 となります。したがって、Ω _{α が}シンプレクティックベクトル場となるのは、 α が閉じた形式である場合に限ります。であるため、任意のハミルトンベクトル場X _fはシンプレクティックベクトル場であり、ハミルトンフローは正準変換で構成されることがわかります。上記(1)から、ハミルトンフローX _Hの下では、 ${\displaystyle \phi _{x}(t)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha }$${\displaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}.}$$

これはハミルトン力学の基本的な結果であり、位相空間で定義された関数の時間発展を支配します。 上で述べたように、{ f , H } = 0のとき、f はシステムの運動定数です。 さらに、標準座標（および）では、システムの時間発展に関するハミルトン方程式がこの式から直ちに得られます。 ${\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0}$${\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}}$

また、 (1)からポアソン括弧は導出であることも分かります。つまり、それはライプニッツの積分則の非可換バージョンを満たします。

ポアソン括弧はハミルトンベクトル場のリー括弧と密接に関係している。リー微分は微分なので、 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}u}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,u]}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega .}$$

したがって、vとu がシンプレクティックである場合、、カルタン恒等式、およびが閉じた形式であるという事実を用いて、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega =0={\mathcal {L}}_{u}\omega }$${\displaystyle \iota _{u}\omega }$$${\displaystyle \iota _{[v,u]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{u}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )=d(\omega (u,v)).}$$

となるので、 ${\displaystyle [v,u]=X_{\omega (u,v)}}$

したがって、関数上のポアソン括弧は、関連するハミルトンベクトル場のリー括弧に対応します。また、2つのシンプレクティックベクトル場のリー括弧はハミルトンベクトル場であり、したがってシンプレクティックでもあることが示されました。抽象代数の言語では、シンプレクティックベクトル場はM上の滑らかなベクトル場のリー代数の部分代数を形成し、ハミルトンベクトル場はこの部分代数のイデアルを形成します。シンプレクティックベクトル場は、 Mのシンプレクト同相写像の（無限次元）リー群のリー代数です。

ポアソン括弧の ヤコビ恒等式は ベクトル場のリー括弧の対応する恒等式から導かれると広く主張されているが、これは局所定数関数までしか当てはまらない。しかし、ポアソン括弧のヤコビ恒等式を証明するには、次を示せば 十分である。ここで、 M上の滑らかな関数の 演算子はで定義され、右側の括弧は演算子の交換子、 である。(1)により、演算子は演算子X _gに等しい。ヤコビ恒等式の証明は(3)から導かれる。なぜなら、-1 の係数まで、ベクトル場のリー括弧は微分演算子としての交換子にすぎないからである。 $${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$$$${\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]}$$${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}}$${\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} }$${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$

M 上の滑らかな関数の代数は、ポアソン括弧とともにポアソン代数を形成します。これは、ポアソン括弧の下でのリー代数であり、さらにライプニッツの規則(2)を満たすためです。すべてのシンプレクティック多様体はポアソン多様体、つまり滑らかな関数がポアソン代数を形成するような滑らかな関数上の「中括弧」演算子を持つ多様体であることを示しました。ただし、すべてのポアソン多様体がこのように生じるわけではありません。ポアソン多様体では、シンプレクティックの場合は生じない退化が許容されるためです。

配置空間上の滑らかなベクトル場 が与えられ、その共役運動量とします。共役運動量写像は、リー括弧からポアソン括弧へ のリー代数反準同型です。${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{X}}$$${\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.}$$

この重要な結果は、簡単に証明する価値がある。配置空間の点におけるベクトル場を、局所座標系として書く。共役運動量は、 座標に 共役な運動量 関数として表される 。位相空間の点について、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle (q,p)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}}$$

上記はすべての に当てはまり、望ましい結果が得られます。 ${\displaystyle (q,p)}$

ポアソン括弧は量子化によってモヤル括弧に変形します。つまり、異なるリー代数、モヤル代数、またはヒルベルト空間では同等の量子交換子に一般化されます。これらのウィグナー-イノニュ群の縮約(古典的な極限、ħ → 0 ) により、上記のリー代数が得られます。

これをより明確かつ正確に述べると、ハイゼンベルク代数の普遍包絡代数はワイル代数（中心が単位であるという関係を法として）です。したがって、モヤル積は、記号代数上のスター積の特殊なケースです。記号代数とスター積の明示的な定義は、普遍包絡代数に関する記事で与えられます。

• アーノルド、ウラジミール I. (1989)。古典力学の数学的手法(第 2 版)。ニューヨーク: シュプリンガー。ISBN 978-0-387-96890-2。
• Landau, Lev D. ; Lifshitz, Evegeny M. (1982).力学.理論物理学講座. 第 1 巻 (第 3 版). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9。
• Karasëv, Mikhail V.; Maslov, Victor P. (1993).非線形ポアソン括弧、幾何学と量子化。数学モノグラフの翻訳。第 119 巻。Sossinsky, Alexey、Shishkova, MA による翻訳。プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会。ISBN 978-0821887967. MR  1214142。
• モレッティ、ヴァルター（2023）。解析力学、古典力学、ラグランジアン力学とハミルトン力学、安定性理論、特殊相対論。UNITEXT。第150巻。シュプリンガー。ISBN 978-3-031-27612-5。
• ポワソン、シメオン＝ドニ（1809年）。 「Mémoire sur lavariation des constantes arbitraires dans les question de Mécanique」(PDF)。Journal de l'École Polytechnique、15e cahier。8 : 266-344。
• Marle, Charles-Michel (2009). 「シンプレクティック幾何学の始まり: 1808-1810 年のラグランジュとポアソンの業績」.数理物理学の手紙. 90 (1–3): 3-21. arXiv : 0902.0685 . Bibcode :2009LMaPh..90....3M. doi :10.1007/s11005-009-0347-y.

• 「ポアソン括弧」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Eric W. Weisstein . 「ポアソン括弧」。MathWorld。