LQG のハミルトン制約

一般相対性理論のADM定式化では、時空を空間スライスと時間に分割し、基本変数は空間スライス上の誘導計量、 （時空計量によって空間スライスに誘導される距離関数）と、外在曲率に関連するその共役運動量変数、 （これは空間スライスが時空に対してどのように曲がるかを示し、誘導計量が時間とともにどのように発展するかの尺度である）とされる。^[1]これらは計量標準座標である。 ${\displaystyle q_{ab}(x)}$${\displaystyle K^{ab}(x)}$

場の時間発展などのダイナミクスはハミルトン制約によって制御されます。

ハミルトン制約の正体は量子重力における主要な未解決問題であり、そのような特定の制約から 物理的観測可能なものを抽出することも未解決問題である。

1986年にアバハイ・アシュテカーは、 SU(2)ゲージ場とその相補変数を用いて3次元空間スライス上の計量正準変数を書き換える珍しい方法を表現するために、新しい正準変数セット、アシュテカー変数を導入した。 ^[2]この再定式化によりハミルトニアンは大幅に簡素化された。これにより量子一般相対論のループ表現^[3]が生まれ、さらにループ量子重力理論が生まれた。

ループ量子重力表現の中で、トーマス・ティーマンはそのような制約として数学的に厳密な演算子を提案することができた。 ^{[4]この演算子は完全で一貫性のある量子理論を定義するが、古典的な}一般相対性理論との矛盾（量子制約代数は閉じているが、一般相対性理論の古典的な制約代数とは同型ではない。これは矛盾の状況証拠と見なされるが、矛盾の証明とは絶対に見なされない）のためにこの理論の物理的現実性に疑問が生じており、そのため変種が提案されている。

そのアイデアは、正準変数とを量子化し、3次元計量の空間上の波動関数に作用する演算子にしてから、ハミルトニアン（およびその他の制約）を量子化するというものでした。しかし、このプログラムはすぐにさまざまな理由から非常に難しいと見なされるようになりました。その理由の1つは、ハミルトニアン制約の非多項式性です。 ${\displaystyle q_{ab}}$${\displaystyle \pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})}$

${\displaystyle H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab}-(K_{a}^{a})^{2}-\;^{3}R)}$

ここで、 は3 つの計量のスカラー曲率です。 正準変数とその導関数における非多項式表現であるため、量子演算子に昇格することは非常に困難です。 ${\displaystyle \;^{3}R}$${\displaystyle q_{ab}(x)}$

アシュテカー変数の配置変数はゲージ場または接続のように振る舞う。その正準共役運動量は、密度化された「電場」またはトライアド（ として密度化される）である。重力との関連は、密度化されたトライアドを使用して空間計量を再構築できることである。 ${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}}$。

稠密化された三つ組は一意ではなく、実際、内部インデックスに関して空間内で局所的な回転を実行することができます。これが実際にゲージ不変性の起源です。接続を使用して、外在曲率を再構築できます。関係は次のように与えられます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle SU(2)}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

ここで、 は、 および によってスピン接続、と関連しています。 ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle \Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

アシュテカー変数に関して、制約の古典的な表現は次のように与えられる。

${\displaystyle H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$。

ここで、ゲージ場の場の強度テンソルである。因子のため、これはアシュテカー変数では非多項式である。条件を課すので、 ${\displaystyle F_{ab}^{k}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle H=0}$、

代わりに密度化されたハミルトニアンを考えることもできる。 ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H=\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0}$。

このハミルトニアンは、アシュテカー変数の多項式になりました。この発展は、標準的な量子重力プログラムに新たな希望をもたらしました。^[5]アシュテカー変数はハミルトニアンを単純化する利点がありますが、変数が複素数になるという問題があります。理論を量子化する場合、複素一般相対性理論ではなく実一般相対性理論を確実に回復することは困難な作業です。また、密度化されたハミルトニアンを量子演算子に昇格させることにも深刻な困難があります。

現実条件の問題に対処する方法は、シグネチャを、つまりローレンツ型ではなくユークリッド型とすると、実変数を除いて のハミルトニアンの単純な形を保持できることに注目することでした。次に、ローレンツ理論を回復するために、一般化ウィック回転と呼ばれるものを定義できます。 ^[6]これは位相空間におけるウィック変換であり、時間パラメータ の解析接続とは何の関係もありません。 ${\displaystyle (+,+,+,+)}$${\displaystyle t}$

トーマス・ティーマンは、上記の両方の問題に対処することができました。^[4]彼は、実際の接続を使用して

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$

実アシュテカー変数では、完全なハミルトニアンは

${\displaystyle H=-\zeta {\frac {\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}}{\sqrt {\det(q)}}}+2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{\frac {({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b})}{\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'}$。

ここで定数はバルベロ・イミルジパラメータです。^[7]定数はローレンツシグネチャの場合は -1、ユークリッドシグネチャの場合は +1 です。 は非シチズントライアドと複雑な関係があり、量子化時に深刻な問題を引き起こします。アシュテカー変数は、2 番目のより複雑な項を に選択して消えるようにしたものと見ることができます(ユークリッド理論では、この項は の実際の選択に対して残るため、最初の項は と表示されます)。 また、因子の問題も残っています 。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle \beta =i}$${\displaystyle H_{E}}$${\displaystyle \beta =\pm 1}$${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

ティーマンはそれを実際に機能させることができた。まず、彼は等式を使って 面倒なことを単純化することができた。${\displaystyle \beta }$${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle \{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$

ボリュームは どこにありますか、${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int d^{3}x{\sqrt {|{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc}|}}}$。

ハミルトン制約の最初の項は

${\displaystyle H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{\tilde {\epsilon }}^{abc}}$

ティエマンの恒等式を用いると、このポアソン括弧は量子化によって交換子に置き換えられる。同様のトリックが第2項の処理にも使用できることが分かる。なぜ は密度化された3つ組によって与えられるのか？これは適合条件から生じる。 ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle D_{a}E_{b}^{i}=0}$。

これを解くには、レヴィ・チヴィタ接続を方程式 から計算するのとほぼ同じ方法、つまり、さまざまなインデックスを回転させて、それらを加算および減算します (導出の詳細については、スピン接続の記事を参照してください。ただし、そこでは若干異なる表記法を使用しています)。次に、 を使って、これを密度化されたトライアドで書き直します。結果は複雑で非線形ですが、次数がゼロのの同次関数です。 ${\displaystyle \nabla _{c}g_{ab}=0}$${\displaystyle \det({\tilde {E}})=|\det(E)|^{2}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}={1 \over 2}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}[{\tilde {E}}_{a,b}^{j}-{\tilde {E}}_{b,a}^{j}+{\tilde {E}}_{j}^{c}{\tilde {E}}_{a}^{l}{\tilde {E}}_{c,b}^{l}]+{1 \over 4}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}{\Big [}2{\tilde {E}}_{a}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,b} \over \det({\tilde {E}})}-{\tilde {E}}_{b}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,a} \over \det({\tilde {E}})}{\Big ]}}$。

この複雑な関係によって生じる問題を回避するために、ティーマンはまずガウスゲージ不変量を定義する。

${\displaystyle K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}}$

ここで、 ${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}}$。

（これは、が定数再スケーリングの標準変換の生成元であり、がゼロ次の同次関数であるという 事実から生じるためである）。すると、次のように書くことができる。${\displaystyle \{\Gamma _{a}^{i},K\}=0}$${\displaystyle \beta K}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}\mapsto {\tilde {E}}_{i}^{a}/\beta }$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}}$

そして、配置変数とハミルトニアンの第2項に関する 式を求める。${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk}\{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}}$。

なぜ量子化が簡単なのでしょうか? これは、量子化の方法がすでにわかっている量で書き直すことができるからです。具体的には、次のように書き直すことができます 。${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=-\{V,\int d^{3}xH_{E}\}}$

ここでは、外在曲率の積分された密度化されたトレースが「体積の時間微分」であることを使用しました。

曲がった時空における スカラー場のラグランジアン

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -V(\varphi ))}$。

ここで は時空インデックスです。通常の でスカラー場の共役運動量を定義すると、ハミルトニアンは次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \mu ,\nu }$${\displaystyle {\tilde {\pi }}=\delta L/\delta {\dot {\varphi }}}$

${\displaystyle H=\int d^{3}xN\left({{\tilde {\pi }}^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}}+{\sqrt {\det(q)}}(q^{ab}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +V(\varphi ))\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$、

ここで、 と はそれぞれ経過とシフトである。アシュテカー変数では、これは次のように表される。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{a}}$

${\displaystyle H=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

いつものように、（スミア）空間微分同相制約はシフト関数と関連し、（スミア）ハミルトニアンはラプス関数と関連しています。したがって、空間微分同相制約とハミルトニアンの制約を単純に読み取れば、 ${\displaystyle N^{a}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle C({\vec {N}})_{\varphi }=\int d^{3}xN^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

${\displaystyle H(N)_{\varphi }=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)}$。

これらは、それぞれ重力場の空間微分同相写像とハミルトン制約に追加（ を乗算）される必要があります。これは、スカラー物質と重力の結合を表します。 ${\displaystyle 8\pi G\beta }$

重力とスピノル場を結合させるには問題がある。一般共変群の有限次元スピノル表現は存在しない。しかし、もちろんローレンツ群のスピノル表現は存在する。この事実は、時空のあらゆる点で平坦な接空間を記述するテトラッド場を用いることで利用される。ディラック行列は 、ビエビアンに縮約される。 ${\displaystyle \gamma ^{I}}$

${\displaystyle \gamma ^{I}e_{I}^{a}(x)=\gamma ^{a}(x)}$。

我々は一般に共変なディラック方程式を構築したい。平坦な接空間の下では、ローレンツ変換はスピノルを次のように変換する。

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\epsilon ^{IJ}(x)\sigma _{IJ}}\psi }$

平坦な接空間に局所ローレンツ変換を導入したので、 は時空の関数である。これは、スピノルの偏微分がもはや純粋なテンソルではないことを意味する。いつものように、ローレンツ群を測定できる接続場を導入する。スピン接続で定義される共変微分は、 ${\displaystyle \epsilon _{IJ}}$${\displaystyle \omega _{\mu }^{IJ}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\psi =(\partial _{a}-{i \over 4}\omega _{a}^{IJ}\sigma _{IJ})\psi }$、

は真のテンソルであり、ディラック方程式は次のように書き直される。

${\displaystyle (i\gamma ^{a}\nabla _{a}-m)\psi =0}$。

共変形式のディラック作用は

${\displaystyle S_{Dirac}={1 \over 2}\int _{\mathcal {M}}d^{4}x{\sqrt {-det(g)}}[{\overline {\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\nabla _{a}\Psi -{\overline {\nabla _{a}\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\Psi ]}$

ここで、はディラックの双スピノルであり、 はその共役です。共変微分は、テトラッド を消滅させるように定義されます。 ${\displaystyle \Psi =(\psi ,\eta )}$${\displaystyle {\overline {\Psi }}=(\Psi ^{*})^{T}\gamma ^{0}}$${\displaystyle \nabla _{a}}$${\displaystyle E_{a}^{I}}$

曲がった時空における電磁場の作用は

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }{\mathcal {F}}_{\alpha \beta })}$

どこ

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mu \nu }=\nabla ^{\mu }{\mathcal {A}}^{\nu }-\nabla ^{\nu }{\mathcal {A}}^{\mu }}$

は、成分の場の強度テンソルである

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0a}={\mathcal {E}}^{a}}$

そして${\displaystyle {\mathcal {F}}^{ab}=\epsilon ^{abc}B_{c}}$

ここで電場は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{a}=-\nabla _{a}{\mathcal {A}}_{0}-{\dot {\mathcal {A}}}_{a}}$

そして磁場は。

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}\nabla _{b}{\mathcal {A}}_{c}}$。

マクスウェル作用による古典的解析とそれに続く時間ゲージパラメータ化を使用した標準定式化の結果は次のようになります。

${\displaystyle H(N,N^{a},\Lambda )={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}xN{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{b}+B^{a}B^{b}]+N^{a}{\mathcal {F}}_{ab}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}+\Lambda \nabla _{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}B_{c}\qquad \qquad {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}=-{\sqrt {q}}N{\mathcal {F}}^{0a}}$

および は標準座標です。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$

曲がった時空における コンパクトゲージ群に対するヤン・ミルズ場の作用は${\displaystyle G}$

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }^{I}{\mathcal {F}}_{\alpha \beta }^{J}\delta _{IJ})}$

ここで、ある接続の曲率です。標準モデルの場合。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G-}$${\displaystyle U(1)\times SU(2)\times SU(3)}$

${\displaystyle H={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}x{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{b}+B_{I}^{a}B_{I}^{b}]}$

重力と物質の結合系のダイナミクスは、物質のダイナミクスを定義する項を重力ハミルトニアンに追加することで簡単に定義されます。完全なハミルトニアンは次のように記述されます。

${\displaystyle H=H_{Einstein}+H_{Maxwell}+H_{Yang-Mills}+H_{Dirac}+H_{Higgs}}$。

このセクションでは、物質が存在しない純粋な重力のハミルトニアンの量子化について説明します。物質が含まれるケースについては次のセクションで説明します。

原始的な形の制約はむしろ特異なので、適切なテスト関数によって「ぼかす」必要があります。ハミルトニアンは次のように記述されます。

${\displaystyle H(N)=\int d^{3}xN\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}\epsilon ^{abc}}$。

簡単にするために、ここではハミルトン制約の「ユークリッド」部分のみを検討します。完全な制約への拡張については文献を参照してください。関数には実際にはさまざまな選択肢があり、その結果、(ぼやけた) ハミルトン制約が生まれます。これらすべてを消滅させることは、元の説明と同じです。

ウィルソンループは次のように定義される。

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

ここで、は、の小さい値の因子が左側に現れるような経路順序を示し、が代数を満たす。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}}$。

このことから、

${\displaystyle Tr(T^{i}T^{j})-Tr(T^{j}T^{i})=2i\epsilon ^{ijk}Tr(T^{k})}$。

は、 を意味します。 ${\displaystyle Tr(T^{i})=0}$

ウィルソンループは互いに独立ではなく、実際、スピンネットワーク状態と呼ばれるそれらの特定の線形結合は正規直交基底を形成します。スピンネットワーク関数が基底を形成するため、任意のガウスゲージ不変関数を次のように正式に展開できます。

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]s_{\gamma }[A]}$。

これは逆ループ変換と呼ばれます。ループ変換は次のように表されます。

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]s_{\gamma }[A]}$

これは量子力学における運動量表現に着目したときに行うことと類似している。

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx)}$。

ループ変換はループ表現を定義します。接続表現の演算子が与えられると、 ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]}$、

ループ変換によって 定義します。${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]s_{\gamma }[A]}$。

これは、ループ表現における 対応する演算子を次のように定義する必要があることを意味します。${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]s_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A]}$、

または

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }s_{\gamma }[A])\Psi [A]}$、

ここで、 は逆の因数順序を持つ演算子を意味します。この演算子のスピン ネットワークへの作用を接続表現での計算として評価し、その結果を純粋にループの操作として並べ替えます (スピン ネットワークへの作用を考えるときは、波動関数 への作用に選択したものと逆の因数順序を持つ変換したい演算子を選択する必要があることに注意してください)。これにより、演算子 の物理的な意味が与えられます。たとえば、 が空間微分同相写像である場合、これは の接続フィールドを の場所に保持しながら、代わりに に対して空間微分同相写像を実行するものと考えることができます。したがって、 の意味は上の空間微分同相写像、つまり の引数です。 ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle s_{\gamma }[A]}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

ループ表現におけるホロノミー演算子は乗算演算子であり、

${\displaystyle {\hat {h}}_{\gamma }\Psi [\eta ]=h_{\gamma }\Psi [\eta ]}$

ループ表現において、ハミルトン制約を量子演算子に昇格します。格子正規化手順を導入します。空間が四面体に分割されていると仮定します。四面体のサイズが縮小する限界がハミルトン制約の式に近似するような式を構築します。 ${\displaystyle \Delta }$

各四面体について頂点を とします。で終わる3つの辺をとします。次にループを構築します。 ${\displaystyle v(\Delta )}$${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle v(\Delta )}$

${\displaystyle \alpha _{ij}=s_{i}(\Delta )\cdot s_{ij}(\Delta )\cdot s_{j}(\Delta )^{-1}}$

に沿って移動し、とでない点を結ぶ線に沿って移動し（ と表記）、 に沿って戻ることによって、ホロノミーが成立する。 ${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle v(\Delta )}$${\displaystyle s_{ij}}$${\displaystyle v(\Delta )}$${\displaystyle s_{j}}$

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}\approx I-(s_{k}^{a})A_{a}^{i}T_{i}}$

四面体が縮む限界線に沿って、接続を近似します。

${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow v(\Delta )}h_{s_{k}}=I-A_{c}s_{k}^{c}}$

ここで、は辺の方向のベクトルである。 ${\displaystyle s_{k}^{c}}$${\displaystyle s_{k}}$

${\displaystyle \lim _{\Delta v\rightarrow (\Delta )}h_{\alpha _{ij}}=I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b}}$。

（これは、場の強度テンソル、つまり曲率が「無限小ループ」の周りのホロノミーを測定するという事実を表しています）。

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}h_{\alpha _{ij}}h_{s_{k}}\{h_{s_{k}}^{-1},V\}{\big )}}$

ここで、合計は四面体全体にわたっています。ホロノミーを代入すると、 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}(I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b})(I-A_{c}s_{k}^{c})\{(I+A_{d}s_{k}^{d}),V\}{\big )}}$。

恒等項は体積を持つポアソン括弧が消えるため、寄与は接続からのみ生じます。ポアソン括弧はすでに に比例しているので、括弧の外側のホロノミーの恒等項のみが寄与します。最後に、 の周りのホロノミーが成り立ちます。恒等項は寄与しません。ポアソン括弧はパウリ行列に比例し (および定数行列はポアソン括弧の外側に取り出せるため)、トレースが取られるからです。 の残りの項はになります。 現れる 3 つの長さは、極限での合計と組み合わされて積分を生成します。 ${\displaystyle s_{k}^{c}}$${\displaystyle h_{s_{k}}}$${\displaystyle \alpha _{ij}}$${\displaystyle A_{c}=A_{c}^{i}T_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle h_{\alpha _{ij}}}$${\displaystyle F_{ab}}$${\displaystyle s}$

この式はループ表現内の演算子にすぐに昇格することができ、ホロノミーとボリュームの両方がそこで明確に定義された演算子に昇格されます。

三角形分割は、頂点と線を適切に選択することで、作用するスピン ネットワークの状態に適合するように選択されます。限界を取ると、三角形分割の線と頂点の多くが、スピン ネットワークの線と頂点に対応しなくなります。体積が存在するため、ハミルトン制約は、頂点の非共面線が少なくとも 3 つある場合にのみ適用されます。

ここでは、3価の頂点に対するハミルトン制約の作用のみを検討しました。より高い価数の頂点に対する作用の計算はより複雑です。Borissov、De Pietri、およびRovelliによる論文を参照してください。^[8]

ハミルトニアンは空間微分同相写像の下で不変ではないため、その作用は運動空間上でのみ定義できます。その作用を微分同相写像不変状態に移すことができます。後でわかるように、これは新しい線が正確にどこに追加されるかに影響します。スピン ネットワークとが互いに微分同相である状態を考えてみましょう。このような状態は運動空間ではなく、運動空間の稠密な部分空間のより大きな双対空間に属します。次に、の作用を次のように定義します。 ${\displaystyle \langle \Psi |}$${\displaystyle \langle \Psi ,s\rangle =\langle \Psi ,s'\rangle }$${\displaystyle s}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle {\hat {H}}(N)}$

${\displaystyle \langle {\hat {H}}(N)\Psi ,s\rangle =\lim _{\Delta \rightarrow v}\sum _{\Delta }\langle \Psi ,{\hat {H}}_{\Delta }(N)s\rangle }$。

追加された線の位置は無関係になります。投影する場合、線の位置は重要ではありません。なぜなら、微分同相不変状態の空間で作業しているため、結果を変えずに線を頂点から「近づける」か「遠ざける」ことができるからです。 ${\displaystyle \Psi }$

空間微分同相写像は構築において重要な役割を果たします。関数が微分同相写像不変でない場合、追加された線は頂点まで縮小され、発散が生じる可能性があります。

同じ構成は、スカラー場、ヤン・ミルズ場、フェルミオンなどの物質と結合した一般相対論のハミルトニアンにも適用できます。いずれの場合も、理論は有限で、異常がなく、明確に定義されています。重力は、物質の理論の「基本的な調節因子」として機能しているようです。

量子異常は、量子制約代数に古典的に対応する項がない追加の項がある場合に発生します。正しい半古典的理論を回復するには、これらの追加の項を消滅させる必要がありますが、これは追加の制約を意味し、理論の自由度の数を減らして非物理的にします。Theimann のハミルトン制約は異常がないことが示されています。^{[引用が必要]}

カーネルは、ハミルトン制約が消滅する状態の空間です。提案された演算子の完全かつ厳密なカーネルの明示的な構成を概説することができます。これらは、非ゼロの体積を持ち、非ゼロの宇宙定数を必要としない最初のものです。

すべての制約に対する空間微分同相写像の完全な解空間は、すでにかなり昔に見つかっている。^[9]そして にも、ガウス制約の解の運動学的ヒルベルト空間の自然な内積から誘導される自然な内積が備わっている。しかし、ハミルトン制約演算子は空間微分同相写像不変状態を保存しないため、上の (稠密に)に対応するハミルトン制約演算子を定義する機会はない。したがって、空間微分同相写像制約を単純に解いてからハミルトン制約を解くことはできず、そのため の内積構造を物理的な内積の構築に用いることはできない。この問題は、マスター制約 (下記参照) の使用によって回避することができ、先ほど述べた結果を適用して から物理的なヒルベルト空間を得ることができる。 ${\displaystyle C^{a}(x)=0}$${\displaystyle x\in \Sigma }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$

ここにさらに追加されます...

制約代数の回復。古典的には、

${\displaystyle \{H(N),H(M)\}=C({\vec {K}})}$

どこ

${\displaystyle K^{a}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}(N\partial _{b}M-M\partial _{b}N)/(\det(q))}$

ループ表現では、自己随伴演算子が空間微分同相写像を生成することが知られています。したがって、無限小の量子論で の関係を実装することは不可能であり、有限の空間微分同相写像でのみ可能です。 ${\displaystyle \{H(N),H(M)\}}$${\displaystyle {\vec {C}}}$

ハミルトニアンの超局所性: ハミルトニアンは頂点にのみ作用し、頂点を線で「装飾」することによって作用します。頂点を相互接続したり、線の価数を変更したりすることはありません (「装飾」以外)。ハミルトニアン制約演算子が特定の頂点で実行する変更は、グラフ全体に伝播せず、頂点の近傍に限定されます。実際、ハミルトニアンの繰り返し作用により、頂点に近づくにつれて、互いに交差しない新しいエッジがどんどん生成されます。特に、作成された新しい頂点には作用はありません。これは、たとえば、頂点を囲む表面 (微分同相不変に定義) の場合、そのような表面の面積がハミルトニアンと交換されることを意味し、これらの領域の「進化」がないことを意味します。これは、ハミルトニアンが「進化」を生成するためです。これは、理論が「伝播に失敗する」ことを示唆しています。しかし、Thiemann は、ハミルトニアンはどこにでも作用することを指摘しています。

はヒルベルト空間上で定義されるものの、明示的には知られていないというやや微妙な問題があります（空間微分同相写像までは知られており、選択公理によって存在します）。 ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$

これらの困難は、マスター制約プログラムという新しいアプローチによって解決できます。

は両方とも密度重み 1 であることに注意してください。通常どおり、量子化の前に、制約条件 (およびその他の観測可能量) をホロノミーとフラックスの観点から表現する必要があります。 ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a},B^{a}}$

共通因数は です。前と同様に、セル分解を導入し、次のことに留意します。 ${\displaystyle q_{ab}/{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle {q_{ab} \over {\sqrt {q}}}(x)\propto \delta _{ij}\{A_{a}^{i}(x),{\sqrt {V}}\}\{A_{b}^{j}(x),{\sqrt {V}}\}}$。

ゲージ場が非アーベル的性質を持つことを除けば、形式的には、表現はマクスウェルの場合と同じように進行します。

基本的な配置演算子は接続変数のホロノミー演算子に類似しており、乗算によって次のように作用する。

${\displaystyle {\hat {h}}(x,\lambda )\Psi =e^{i\lambda \varphi (x)}\Psi }$。

これらは点ホロノミーと呼ばれる。量子論において演算子に昇格される点ホロノミーの共役変数は、スミア場運動量とみなされる。

${\displaystyle P(f)=\int d^{3}x\pi _{\varphi }(x)f(x)}$

ここで は共役運動量場、 はテスト関数である。それらのポアソン括弧は次のように与えられる。 ${\displaystyle \pi _{\varphi }}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \{h(x,\lambda ),P(f)\}=i\lambda f(x)h(x,\lambda )}$。

量子論では、ポアソン括弧を基本演算子の交換子として表現することが求められる。

${\displaystyle [{\hat {h}}(x,\lambda ),{\hat {P}}(f)]=i\lambda f(x){\hat {h}}(x,\lambda )}$。

ティーマンは、通常の量子理論の紫外線発散が、量子幾何学の量子化された離散的な性質を無視した近似の結果として直接解釈できることを示しました。たとえば、ティーマンは、 を含むヤン・ミルズ・ハミルトニアンの演算子は、演算子として扱う限り明確に定義されますが、滑らかな背景場と置き換えるとすぐに無限大になることを示しています。 ${\displaystyle E_{a}^{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

ループ量子重力（LQG）のためのマスター制約プログラム^[10]は、無限個のハミルトン制約方程式を課す古典的に同等な方法として提案された。

${\displaystyle H(x)=0}$

単一のマスター制約の観点から、

${\displaystyle M=\int d^{3}x{[H(x)]^{2} \over {\sqrt {\det q(x)}}}}$。

これは、問題の制約の 2 乗を伴います。 は無限にあるのに対し、マスター制約は 1 つだけであることに注意してください。 が消えれば、無限にある も消えることは明らかです。逆に、 がすべて消えれば も消えるため、これらは同等です。 ${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle M}$

マスター制約は、すべての空間にわたって適切な平均化を伴うため、空間微分同相写像に対して不変です（スカラーとして変換される量のすべての空間「シフト」の合計であるため、空間「シフト」に対して不変です）。したがって、（スミアリングされた）空間微分同相写像制約を伴うそのポアソン括弧は単純です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle C({\vec {N}})}$

${\displaystyle \{M,C({\vec {N}})\}=0}$。

（不変でもある）。また、明らかにポアソン量はそれ自身と交換可能であり、マスター制約は単一の制約であるため、それは以下を満たす。 ${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle \{M,M\}=0}$。

空間微分同相写像間の通常の代数もあります。これはポアソン括弧構造の劇的な単純化を表しています。

古典的な表現を次のように書きます。

${\displaystyle M=\int d^{3}x{H(x)^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}(x)}=\int d^{3}x({H \over [\det(q)]^{1/4}})(x)\int d^{3}y\delta (x,y)({H \over [\det(q)]^{1/4}})(y)}$。

この式は、およびとなる1つのパラメータ関数によって規定されます。定義 ${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,y)}$${\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0}\chi _{\epsilon }(x,y)/\epsilon ^{3}=\delta (x,y)}$${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,x)=1}$

${\displaystyle V_{\epsilon ,x}=\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y){\sqrt {\det(q)}}(y)}$。

どちらの項もハミルトン制約の式と似ていますが、ここではではなく が関係しており、これは追加の因子 から来ています。つまり、 ${\displaystyle \{A,{\sqrt {V_{\epsilon }}}\}}$${\displaystyle \{A,V\}}$${\displaystyle [\det(q)]^{1/4}}$

${\displaystyle M=\int d^{3}x\epsilon ^{abc}\{A_{c}^{k},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{ab}^{k}(x)\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y)\epsilon ^{a'b'c'}\{A_{c'}^{k'},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{a'b'}^{k'}(y)}$。

したがって、ハミルトン制約とまったく同じように進め、四面体への分割を導入し、両方の積分を合計に分割します。

${\displaystyle M=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\sum _{\Delta ,\Delta '}\chi (v(\Delta ),v(\Delta ')){\overline {C_{\epsilon }(\Delta )}}C_{\epsilon }(\Delta ')}$。

ここで の意味は の意味に似ています。これは、体積演算子の累乗を単純に変更するだけで を正確に量子化できるため、非常に簡略化されています。ただし、マスター制約などのグラフ変更、空間微分同相不変演算子は、運動学的ヒルベルト空間 上では定義できないことが示されています。この問題を回避するには、ではなく 上で を定義します。 ${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$${\displaystyle H_{\Delta }}$${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$${\displaystyle H_{\Delta }}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$

まず最初に、想定される演算子 の行列要素、つまり二次形式 を計算します。行列要素が を再現する一意の正の自己随伴演算子が存在することを望みます。そのような演算子が存在し、フリードリヒ拡張によって与えられることが示されています。^{[11] [12]}${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle Q_{M}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle Q_{M}}$

上で述べたように、ハミルトン制約は空間微分同相写像不変な状態を非空間微分同相写像不変な状態に写すため、空間微分同相写像制約を単純に解いてからハミルトン制約を解いて、空間微分同相写像内積から物理的な内積を誘導することはできません。しかし、マスター制約は空間微分同相写像不変なので、 上で定義できます。したがって、から を得る際に、最終的に上記の結果のパワーを最大限に活用することができます。^[9]${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$

• カルロ・ロヴェッリによる概要
• 物理学レターズ誌に掲載されたティーマンの論文
• Rovelli, Carlo (1998). 「ループ量子重力」. Living Reviews in Relativity . 1 (1): 1. arXiv : gr-qc/9710008 . Bibcode :1998LRR.....1....1R. doi : 10.12942/lrr-1998-1 . PMC  5567241. PMID  28937180 .