スピンネットワーク

物理学において、スピンネットワークは量子力学における粒子と場の状態や相互作用を表すために使用できる図の一種です。数学的な観点から見ると、この図は多重線形関数や行列群の表現間の関数を表す簡潔な方法です。そのため、図式表記により計算を大幅に簡素化できます。

ロジャー・ペンローズは1971年にスピンネットワークについて説明しました。 ^{[1]それ以来、スピンネットワークは}カルロ・ロヴェッリ、リー・スモーリン、ホルヘ・プーリン、ロドルフォ・ガンビーニらによって量子重力理論に応用されてきました。

スピンネットワークは、局所ゲージ変換に対して不変な接続空間上の特定の関数を構築するためにも使用できます。

意味

ペンローズの定義

^{ペンローズ (1971) [1]}が説明したスピンネットワークは、各線分が「ユニット」(素粒子または複合粒子システム) の世界線を表す一種の図です。3 つの線分が各頂点で結合します。頂点は、1 つのユニットが 2 つに分裂するか、2 つのユニットが衝突して 1 つのユニットに結合するイベントとして解釈できます。すべての線分が頂点で結合されている図は、閉じたスピンネットワークと呼ばれます。時間は、図の下から上など、一方向に進むと見なすことができますが、閉じたスピンネットワークの場合、時間の方向は計算には関係ありません。

各線分には、スピン数と呼ばれる整数が付けられます。スピン数nの単位はn単位と呼ばれ、角運動量は nħ/2です。ここで、ħ は換算プランク定数です。光子やグルーオンなどのボソンの場合、nは偶数です。電子やクォークなどのフェルミオンの場合、nは奇数です。

任意の閉じたスピンネットワークが与えられれば、負でない整数を計算できます。これはスピンネットワークのノルムと呼ばれます。ノルムは、さまざまなスピン値の確率を計算するために使用できます。ノルムが 0 のネットワークは、発生確率が 0 です。ノルムと確率を計算するためのルールは、この記事の範囲外です。ただし、スピンネットワークが非ゼロのノルムを持つためには、各頂点で 2 つの要件を満たす必要があることが示唆されています。頂点がスピン番号a、b、cの 3 つのユニットを結合しているとします。この場合、これらの要件は次のように表されます。

三角不等式: a ≤ b + cかつb ≤ a + cかつc ≤ a + b。
フェルミオンの保存: a + b + cは偶数でなければなりません。

たとえば、a = 3、b = 4、c = 6 は 3 + 4 + 6 = 13 が奇数なので不可能であり、a = 3、b = 4、c = 9 は 9 > 3 + 4 なので不可能です。ただし、a = 3、b = 4、c = 5 は 3 + 4 + 5 = 12 が偶数なので可能であり、三角不等式が満たされます。一部の規則では、 a + b + c の合計が整数になるという条件で、半整数によるラベル付けを使用します。

定義への正式なアプローチ

正式には、スピンネットワークは、エッジがコンパクトリー群の既約表現に関連付けられ、頂点がそれに隣接するエッジ表現の絡み合いに関連付けられた(有向)グラフとして定義できます。

プロパティ

多様体に埋め込まれたスピンネットワークは、この多様体上の接続の空間上の関数を定義するために使用できます。グラフのすべてのリンク (閉じたパス) に沿って接続のホロノミーを計算し、すべてのリンクに対応する表現行列を決定し、すべての行列と絡み合いを乗算し、指定された方法でインデックスを縮小します。結果として得られる関数の注目すべき特徴は、ローカルゲージ変換に対して不変であることです。

物理学での使用

ループ量子重力の文脈では

ループ量子重力（LQG）では、スピンネットワークは3 次元超曲面上の重力場の「量子状態」を表します。すべての可能なスピンネットワーク（または、より正確には「S ノット」、つまり、微分同相写像の下でのスピンネットワークの同値類）の集合は可算であり、LQG ヒルベルト空間の基底を構成します。

ループ量子重力の重要な結果の1つは、面積の量子化である。2次元表面Σの面積Aの演算子は離散スペクトルを持つはずである。すべてのスピンネットワークは、そのような演算子の固有状態であり、面積の固有値は

A_{\Sigma }=8\pi \ell _{\text{PL}}^{2}\gamma \sum _{i}{\sqrt {j_{i}(j_{i}+1)}}

ここで、合計はΣとスピンネットワークの交点iすべてにわたって行われます。この式では、

ℓ _{PL は}プランク長さであり、
$\gamma$ はImmirziパラメータであり、
j _i = 0、1/2、1、3/2、... は、スピンネットワークのリンクiに関連付けられたスピンです。したがって、2 次元領域は、スピンネットワークとの交差点に「集中」しています。

この式によれば、面積演算子の可能な限り低い非ゼロの固有値は、スピン 1/2 表現を運ぶリンクに対応します。Immirzi パラメータが1のオーダーであると仮定すると、これにより、測定可能な最小面積が約 10 ⁻⁶⁶ cm ²になります。

異常拡散モデルのように、表面が頂点を通過することが許される場合、面積固有値の式は多少複雑になります。また、面積演算子Aの固有値はラダー対称性によって制約されます。

同様の量子化は、ボリューム演算子にも適用されます。スピンネットワークの一部を含む 3D サブマニフォールドのボリュームは、その内部の各ノードからの寄与の合計によって決まります。スピンネットワーク内のすべてのノードは基本的な「ボリュームの量子」であり、すべてのリンクはこのボリュームを囲む「領域の量子」であると考えることができます。

より一般的なゲージ理論

同様の構成は、コンパクトリー群 G と接続形式を持つ一般ゲージ理論に対しても行うことができます。これは実際には格子上の正確な双対性です。しかし多様体上では、双対性を正確にするためには微分同相不変性などの仮定が必要です (ウィルソンループを塗りつぶすのは困難です)。後に、ロバートエックルによって、タナカ-クラインの双対性を使用する 2 次元および 3 次元の量子群の表現に一般化されました。

Michael A. Levin とXiao-Gang Wenも、スピンネットワークに非常によく似たオブジェクトであるテンソルカテゴリを使用してストリングネットを定義しました。ただし、スピンネットワークとの正確な関係はまだ明らかではありません。ストリングネットの凝縮により、凝縮物質に位相的に整列した状態が生成されます。

数学での使用

数学では、スピンネットワークは、接続空間に対応するかせモジュールと特性多様体を研究するために使用されてきました。

参照

参考文献

^ ab R. Penrose (1971a)、「角運動量: 組み合わせ時空へのアプローチ」、T. Bastin (編)、『量子理論とその先』、ケンブリッジ大学出版局 (この論文は、John C. Baezの Web サイトでオンラインで参照できます)。および R. Penrose (1971b)、「負の次元テンソルの応用」、DJA Welsh (編)、『組み合わせ数学とその応用』 ( Proc. Conf.、オックスフォード、1969)、アカデミックプレス、pp. 221–244、特に p. 10。 241（後者の論文は1969年に発表されたが、ロジャー・ペンローズの「ツイスター理論の起源について」（2021年6月23日アーカイブ）によると、1971年に出版された：重力と幾何学、 I.ロビンソンを称える巻、ビブリポリス、ナポリ1987年）。

さらに読む

初期の論文

IB レビンソン、「ウィグナー係数の合計とそのグラフ表示」、Proceed. Phys-Tech Inst. Acad Sci. Lithuanian SSR 2、17-30 (1956)
コグット、ジョン; サスキンド、レナード (1975)。「ウィルソンの格子ゲージ理論のハミルトン定式化」。Physical Review D . 11 ( 2): 395–408。Bibcode :1975PhRvD..11..395K。doi :10.1103/PhysRevD.11.395。
Kogut, John B. (1983). 「量子色力学への格子ゲージ理論アプローチ」.現代物理学レビュー. 55 (3): 775–836. Bibcode :1983RvMP...55..775K. doi :10.1103/RevModPhys.55.775.（ユークリッド高温（強結合）のセクションを参照）
Savit, Robert (1980). 「場の理論と統計システムにおける双対性」.現代物理学レビュー. 52 (2): 453–487. Bibcode :1980RvMP...52..453S. doi :10.1103/RevModPhys.52.453.（アーベルゲージ理論のセクションを参照）

現代の論文

Rovelli, Carlo; Smolin, Lee (1995). 「スピンネットワークと量子重力」. Phys. Rev. D . 52 (10): 5743–5759. arXiv : gr-qc/9505006 . Bibcode :1995PhRvD..52.5743R. doi :10.1103/PhysRevD.52.5743. PMID 10019107. S2CID 16116269.
Pfeiffer, Hendryk; Oeckl, Robert (2002). 「非アーベル格子ゲージ理論の双対」.核物理学 B - Proceedings Supplements . 106–107: 1010–1012. arXiv : hep-lat/0110034 . Bibcode :2002NuPhS.106.1010P. doi :10.1016/S0920-5632(01)01913-2. S2CID 14925121.
Pfeiffer, Hendryk (2003). 「シグマモデルとゲージ理論の正確な双対変換」. Journal of Mathematical Physics . 44 (7): 2891–2938. arXiv : hep-lat/0205013 . Bibcode :2003JMP....44.2891P. doi :10.1063/1.1580071. S2CID 15580641.
Oeckl, Robert (2003). 「一般化格子ゲージ理論、スピンフォーム、状態和不変量」. Journal of Geometry and Physics . 46 (3–4): 308–354. arXiv : hep-th/0110259 . Bibcode :2003JGP....46..308O. doi :10.1016/S0393-0440(02)00148-1. S2CID 13226932.
Baez, John C. (1996). 「ゲージ理論におけるスピンネットワーク」.数学の進歩. 117 (2): 253–272. arXiv : gr-qc/9411007 . doi : 10.1006/aima.1996.0012 . S2CID 17050932.
シャオガン・ウェン、「多体系の量子場理論 - 音の起源から光とフェルミオンの起源まで」[1]。（ここではストリングネットと呼んでいます。）
メジャー、セス A. (1999)。「スピンネットワーク入門」。アメリカ物理学ジャーナル。67 ( 11 ) : 972–980。arXiv : gr - qc /9905020。Bibcode :1999AmJPh..67..972M。doi : 10.1119/1.19175。S2CID 9188101。

書籍

GE ステッドマン、「群論におけるダイアグラム技法」、ケンブリッジ大学出版局、1990 年。
Predrag Cvitanović、「群論：バードトラック、リー、例外群」、プリンストン大学出版、2008年。

[Penrose71-1] R. Penrose (1971a)、「角運動量: 組み合わせ時空へのアプローチ」、T. Bastin (編)、『量子理論とその先』、ケンブリッジ大学出版局 (この論文は、John C. Baezの Web サイトでオンラインで参照できます)。および R. Penrose (1971b)、「負の次元テンソルの応用」、DJA Welsh (編)、『組み合わせ数学とその応用』 ( Proc. Conf.、オックスフォード、1969)、アカデミックプレス、pp. 221–244、特に p. 10。 241（後者の論文は1969年に発表されたが、ロジャー・ペンローズの「ツイスター理論の起源について」（2021年6月23日アーカイブ）によると、1971年に出版された：重力と幾何学、 I.ロビンソンを称える巻、ビブリポリス、ナポリ1987年）。

意味