アシュテカー変数

一般相対性理論のADM定式化では、時空は空間スライスと時間軸に分割されます。基本変数は、空間スライス上の誘導計量と、外在曲率に関連し、誘導計量が時間とともにどのように変化するかを示す尺度である計量の共役運動量です。^[1]これらは計量の正準座標です。 ${\displaystyle q_{ab}(x)}$${\displaystyle K^{ab}(x)}$

1986年にアバハイ・アシュテカーは、 SU(2)ゲージ場とその相補変数を用いて3次元空間スライス上の計量正準変数を書き換える珍しい方法を表現するために、新しい正準変数セット、アシュテカー（新しい）変数を導入した。^[2]

アシュテカー変数は、正準一般相対性理論の接続表現と呼ばれるものを提供し、それが量子一般相対性理論のループ表現^[3]につながり、さらにループ量子重力理論と量子ホロノミー理論^{[4]につながりました。}

直交する3つのベクトル場の集合を導入しましょう。 ${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ ,}$ ${\displaystyle \j=1,2,3\}$

${\displaystyle \delta _{jk}=q_{ab}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^{b}~.}$

これらはトライアドまたはdrei-bein（ドイツ語の直訳では「3本足」）と呼ばれます。現在、2つの異なるタイプのインデックスがあります。曲がった空間で通常のインデックスのように動作する「空間」インデックスと、平面空間のインデックスのように動作する「内部」インデックスです（内部インデックスを上げたり下げたりする対応する「メトリック」は単に です）。双対drei-beinを次のように 定義します。${\displaystyle \E_{i}^{a}\}$${\displaystyle \a,b,c\}$${\displaystyle \j,k,\ell\}$${\displaystyle \ \delta _{jk}\ }$ ${\displaystyle \E_{a}^{j}\}$

${\displaystyle \ E_{a}^{j}=q_{ab}\ E_{j}^{b}~.}$

すると、2つの直交関係が成立する。

${\displaystyle \ \delta ^{jk}=q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\ ,}$

ここで、は計量の逆行列です（これは、双対drei-beinの式をdrei-beinに関して に代入し、 drei-beinの直交性を使用することで得られます）。 ${\displaystyle q^{ab}}$${\displaystyle \q_{ab}\}$${\displaystyle \ q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\ }$

そして

${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ E_{b}^{k}\ =\delta _{b}^{a}\ }$

（これはと縮約し、の線形独立性を使用することで生じます）。次に、最初の直交関係から、次の式 を使って簡単に検証できます。${\displaystyle \ \delta _{jk}=q_{ab}\ E_{k}^{b}\ E_{j}^{a}\ }$${\displaystyle \E_{c}^{j}\}$${\displaystyle \E_{a}^{k}\}$${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ E_{b}^{j}=\delta _{b}^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ q^{ab}~=~\sum _{j,\ k=1}^{3}\;\delta _{jk}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^ {b}~=~\sum _{j=1}^{3}\;E_{j}^{a}\ E_{j}^{b}\ ,}$

我々は、3つの基底に関する逆計量の公式を得た。3つの基底は計量の「平方根」と考えることができる（これの物理的な意味は、基底に関して書かれた計量は局所的に平坦であるということ）。実際に考慮されるのは次のことである。 ${\displaystyle \q^{ab}\ ,}$${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ \left(\mathrm {det} (q)\right)\ q^{ab}~=~\sum _{j=1}^{3}\;{\チルダ {E}}_{ j}^{a}\ {\チルダ {E}}_{j}^{b}\ ,}$

は、代わりに「稠密化された」 drei-bein を含みます (として稠密化されます)。計量にその行列式によって与えられた因子を掛けると、回復します。 とは同じ情報を含み、単に並べ替えられていることは明らかです。 に対する選択は一意ではなく、実際、 (逆)計量を変更せずに、内部インデックスに関する空間内の局所回転を実行できます。 これがゲージ不変性の起源です。 内部インデックスを持つオブジェクトを操作する場合は、適切な導関数 (共変導関数)を導入する必要があります。たとえば、オブジェクトの共変導関数は次のようになります。 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\textstyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}={\sqrt {\det(q)\ }}\ E_{j}^{a}\ }$${\displaystyle \ {\チルダ {E}}_{j}^{a}\ }$${\displaystyle \ {\チルダ {E}}_{j}^{a}\ }$${\displaystyle \E_{j}^{a}\}$${\displaystyle \ {\チルダ {E}}_{j}^{a}\ }$${\displaystyle \j\}$${\displaystyle \ \mathrm {SU(2)} \ }$${\displaystyle \ V_{i}^{b}\ }$

${\displaystyle \ D_{a}\ V_{j}^{b}=\partial _{a}V_{j}^{b}-\Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ V_{k}^{b}+\Gamma _{ac}^{b}\ V_{j}^{c}\ }$

ここで は通常のレヴィ・チヴィタ接続であり、 はいわゆるスピン接続である。配置変数を次のようにとろう。 ${\displaystyle \\Gamma_{ac}^{b}\}$${\displaystyle \ \Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ }$

${\displaystyle \ A_{a}^{j}=\Gamma _{a}^{j}+\beta \ K_{a}^{j}\ }$

ここで、密度化された三次元運動量は、この三次元SU(2)ゲージ場（または接続）の共役運動量変数であり、ポアソン括弧の関係を満たす。 ${\displaystyle \Gamma _{a}^{j}=\Gamma _{ak\ell }\ \epsilon ^{k\ell j}}$${\textstyle K_{a}^{j}=K_{ab}\ {\チルダ {E}}^{bj}/{\sqrt {\det(q)\ }}~.}$${\displaystyle \ A_{b}^{k}\ ,}$

${\displaystyle \\{\{\tilde {E}}_{j}^{a}(x),\ A_{b}^{k}(y)\ \}=8\pi \ G_{\mathsf {Newton}}\ \beta \\delta _{b}^{a}\ \delta _{j}^{k}\ \delta ^{3}(xy)~.}$

定数はイミルジパラメータであり、ニュートン定数を正規化する係数です。密度化されたdrei-bein は、上で説明したように計量を再構築するために使用でき、接続は外在曲率を再構築するために使用できます。アシュテカー変数は選択（虚数の負、）に対応し、カイラルスピン接続と呼ばれます。 ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \ G_{\mathsf {ニュートン}}~.}$${\displaystyle \\beta =-i\}$${\displaystyle \ i\ }$${\displaystyle \ A_{a}^{j}\ }$

このスピン接続を選択した理由は、アシュテカーが正準一般相対論の最も厄介な方程式、すなわちLQGのハミルトン制約を大幅に簡略化できるためである。この選択により、その厄介な第2項が消え、残りの項は彼の新しい変数で多項式になった。この簡略化により、正準量子重力プログラムに新たな希望が生まれた。^[5]しかし、いくつかの困難も生じた。アシュテカー変数はハミルトンを簡略化する利点があったが、変数が複雑になるという問題があった。^{[6]理論を量子化する場合、}複素一般相対論ではなく実一般相対論を確実に回復することは困難な作業である。また、アシュテカーが使用したハミルトン制約は、元のハミルトンではなく、密度化されたバージョンであった。つまり、彼は、${\textstyle {\チルダ {H}}={\sqrt {\det(q)}}H~.}$

この量を量子演算子に昇格させるのには大きな困難があった。1996年にトーマス・ティーマンはアシュテカーの形式論を実接続（実数値を取る）に一般化し、特に元のハミルトニアンを第2項とともに簡略化する方法を考え出した。彼はまた、このハミルトニアン制約をループ表現内で明確に定義された量子演算子に昇格させることにも成功した。^{[7] [8]}${\displaystyle \beta}$

リー・スモーリン、テッド・ジェイコブソン、ジョセフ・サミュエルは、一般相対性理論の四項パラティーニ作用原理の自己双対定式化を考慮することにより、理論のラグランジアン定式化が実際に存在することを独立に発見した。 ^{[9] [10] [11]}これらの証明はスピノルによって与えられた。新しい変数の三項による純粋にテンソル的な証明はゴールドバーグによって与えられ^[12]、四項による証明はヘノー、ネルソン、ショーブロンド（1989）によって与えられた。^[13]

• Ashtekar, Abhay (1986). 「古典重力と量子重力の新しい変数」. Physical Review Letters . 57 (18): 2244–2247. Bibcode :1986PhRvL..57.2244A. doi :10.1103/PhysRevLett.57.2244. PMID  10033673.