正則p群

数学の有限群論では、正則p群の概念はアーベル p群のより重要な特性のいくつかを捉えていますが、ほとんどの「小さな」 p群を含むほど一般的です。正則p群は、フィリップ ホール (1934) によって導入されました。

有限p群Gは、以下の同値な(Hall 1959, Ch. 12.4)、(Huppert 1967, Kap. III §10)条件のいずれかが満たされる場合、 正則群であると言われる。

• Gの任意のa、bに対して、aとbによって生成されるGの部分群Hの導来部分群H ′にa c が存在し、a ^p · b ^p = ( ab ) ^p · c ^pが成立する。
• Gの任意のa、bに対して、 aとbによって生成される部分群の導来部分群に元c _{i が}存在し、a ^p · b ^p = ( ab ) ^p · c ₁ ^p ⋯ c _k ^pが成立します。
• Gの任意のa、bおよび任意の正の整数nに対して、aとbによって生成される部分群の導来部分群に元c _iが存在し、 a ^q · b ^q = ( ab ) ^q · c ₁ ^q ⋯ c _k ^q、ただしq = p ⁿとなります。

よく知られているp群の多くは正則です。

• すべてのアーベル p群は正則です。
• pより小さいべき零類のすべてのp群は正則である。これはホール・ペトレスコ恒等式から導かれる。
• 最大でp ^{p の}位数を持つすべてのp群は正則です。
• 指数 pのすべての有限群は正則です。

しかし、よく知られているp群の多くは正規ではありません。

• すべての非可換 2 群は不規則です。
• p ²点上の対称群のシローp部分群は不規則であり、位数はp ^{p +1}です。

p群が正則となるのは、 2 つの要素によって生成される すべての部分群が正則となる場合のみです。

正則群のすべての部分群と商群は正則ですが、正則群の 直積は必ずしも正則である必要はありません。

2 群は、可換群である場合に限り正則群となります。2 つの生成元を持つ 3 群は、その導来部分群が巡回である場合に限り正則群となります。巡回導来部分群を持つ奇数次の すべてのp群は正則群です。

p ^kを割り切る位数の元によって生成されるp群Gの部分群はΩ _k ( G )と表記され、 Ω _k ( G ) はまさにp ^{k を}割り切る位数の元の集合であるという点で、正則群は行儀が良い。 Gのすべてのp ^k乗の元によって生成される部分群は℧ _k ( G )と表記される。正則群では、添え字[G:℧ _k ( G )] は Ω _k ( G ) の位数に等しい。実際、交換子とべき乗は特に単純な方法で相互作用する (Huppert 1967、Kap III §10、Satz 10.8)。たとえば、正則p群Gの正規部分群MとNおよび非負整数mとn が与えられると、[℧ _m ( M ),℧ _n ( N )] = ℧ _{m + n} ([ M、N ])となる。

• フィリップ・ホールのp群Gの正則性の基準:次のいずれかが成り立つ場合、 G は正則です。
  1. [ G :℧ ₁ ( G )] < p ^p
  2. [ G ′ :℧ ₁ ( G ′ )| < p ^{p −1}
  3. |Ω ₁ ( G )| < p ^{p −1}

• 強力なpグループ
• パワークローズド pグループ

• ホール、マーシャル（1959）、群論、マクミラン、MR  0103215
• ホール、フィリップ(1934)、「素数冪順序の群の理論への貢献」、ロンドン数学会紀要、36 : 29–95、doi :10.1112/plms/s2-36.1.29
• Huppert, B. (1967)、Endliche Gruppen (ドイツ語)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 90–93、ISBN 978-3-540-03825-2、MR  0224703、OCLC  527050