原始置換群

数学において、空でない有限集合Xに作用する置換群 G は、 G がXに推移的に作用し、Gの作用が保存する分割が単一の集合または | X | 単独集合への自明な分割のみである場合に、原始的と呼ばれます。そうでない場合、Gが推移的であり、G が非自明な分割を保存する場合、Gは原始的と呼ばれます。

原始置換群は推移的ですが、推移的置換群のすべてが原始的であるわけではありません。最も単純な例は、正方形の頂点に作用するクラインの4 群で、対角線への分割が保存されます。一方、置換群が自明な分割のみを保存する場合、2 要素セットに作用する自明な群の場合を除き、それは推移的です。これは、非推移的作用の場合、 Gの軌道がGによって保存される非自明な分割を形成するか、または群作用が自明であるためです。この場合、Xのすべての非自明な分割(| X | ≥ 3 の場合に存在) はGによって保存されます。

この用語はエヴァリスト・ガロアが最後の手紙の中で導入したもので、ガロア群が原始的な方程式を表すためにフランス語のéquation primitiveという用語を使用しました。^[1]

ガロアは「原始的」という用語を導入した同じ手紙の中で、次のような定理を述べている。^[2]

G が有限集合Xに作用する原始可解群である場合、 Xの位数は素数pのべき乗である。さらに、X はp個の元を持つ有限体上のアフィン空間と同一視され、G はアフィン群のサブグループとしてXに作用する。

G が作用する集合X が有限である場合、その濃度はGの次数と呼ばれます。

ガロアのこの結果の系は、p が奇数の素数である場合、次数pの可解な推移群の位数は の約数であるということです。実際、素数次数の推移群はすべて原始的であり ( Gによって固定された分割の要素数はpの約数でなければならないため)、 はp個の要素を持つアフィン空間のアフィン群の濃度です。 ${\displaystyle p(p-1).}$${\displaystyle p(p-1)}$

したがって、p が3 より大きい素数である場合、対称群と次数pの交代群は、それらの位数がアーベル-ルフィニの定理よりも大きいため、解くことができません。また、対称ガロア群を持つ多項式が存在するという事実からも、この定理が導かれます。 ${\displaystyle p(p-1).}$

原始性の同等の定義は、群Gのすべての推移的作用が、 HがGの部分群であるときの剰余類の集合G / Hに対するGの標準作用から生じる作用と同型であるという事実に依存しています。群作用は、Gの最大部分群Hに対してG / Hと同型である場合に原始的であり、そうでない場合（つまり、Hが真部分群であるGの真部分群Kがある場合）は原始的です。これらの原始的作用は、誘導表現の例です。

小さな次数の原始群の数は、 1937 年にロバート カーマイケルによって次のように述べられました。

16次の原始群は多数存在します。カーマイケルが指摘しているように、^{[ページ数が必要]}対称群と交代群を除くこれらの群はすべて、2元有限体上の4次元空間上のアフィン群のサブグループです。

• 集合に作用する対称群 と順列を考える${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}.}$

とによって生成されるグループは両方ともプリミティブです。 ${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \eta}$

• ここで、集合に作用する対称群 と順列について考える。${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}.}$

によって生成される群は原始的ではありません。なぜなら、および の分割は、つまり およびのもとで保存されるからです。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$${\displaystyle X_{1}=\{1,3\}}$${\displaystyle X_{2}=\{2,4\}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma (X_{1})=X_{2}}$${\displaystyle \sigma (X_{2})=X_{1}}$

• 素次数の推移群はすべて原始的である
• 集合に作用する対称群は すべてのnに対して原始的であり、集合に作用する交代群はすべてのn  > 2に対して原始的である 。${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

• ブロック（順列群論）
• ジョルダンの定理（対称群）
• オナン・スコット定理、有限原始群を様々なタイプに分類する定理

• Roney-Dougal, Colva M. 「次数2500未満の原始置換群」、Journal of Algebra 292 (2005)、第1号、154–183ページ。
• GAP データ ライブラリ「プリミティブ順列群」。
• カーマイケル、ロバート D.、「有限順序群の理論入門」、ギン、ボストン、1937 年。ドーバー出版、ニューヨーク、1956 年に再版。
• Todd Rowland. 「原始群作用」。MathWorld。