カーターサブグループ

数学、特に群論の分野において、有限群Gのカーター部分群は、冪零であるGの自己正規化部分群である。これらの部分群はロジャー・カーターによって導入され、1960 年以降の可解群の理論の始まりとなった(Wehrfritz 1999)。

カーター (1961) は、任意の有限可解群にはカーター部分群があり、そのすべてのカーター部分群は共役部分群(したがって同型) であることを証明しました。群が可解でない場合、カーター部分群を持つ必要はありません。たとえば、位数 60 の交代群A ₅にはカーター部分群がありません。Vdovin (2006、2007) は、有限群が可解でなくても、任意の 2 つのカーター部分群は共役であることを示しました。

カーター群は、冪零群の正規化条件により、最大冪零部分群であるが、すべての最大冪零部分群がカーター群であるわけではない (Ballester-Bolinches & Ezquerro 2006, p. 100)。たとえば、位数 6 の非可換群の任意の非恒等部分群は最大冪零部分群であるが、位数 2 のものだけがカーター群である。可溶群のカーター部分群を含むすべての部分群は自己正規化も行い、可溶群は任意のカーター部分群とその冪零残差によって生成される(Schenkman 1975, VII.4.a)。

Gaschütz (1962) は、カーター部分群をシロー部分群とホール部分群の類似物とみなし、それらの扱いを形成理論と統一した。形成の言語では、シローp部分群はp群の形成に対する被覆群であり、ホールπ部分群はπ群の形成に対する被覆群であり、カーター部分群は冪零群の形成に対する被覆群である (Ballester-Bolinches & Ezquerro 2006, p. 100)。重要な一般化であるシュンク類、および重要な双対化であるフィッシャー類とともに、形成は有限可解群の理論における 20 世紀後半の主要な研究テーマを形成した。

カーター群の双対概念は、ベルント・フィッシャーによって(Fischer 1966) で導入されました。群のフィッシャー部分群は、それが正規化する他のすべての冪零部分群を含む冪零部分群です。フィッシャー部分群は最大冪零部分群ですが、すべての最大冪零部分群がフィッシャー部分群であるわけではありません。ここでも、位数 6 の非可換群が例を示しており、すべての非恒等部分群は最大冪零部分群ですが、位数 3 の部分群のみがフィッシャー部分群です (Wehrfritz 1999、p. 98)。

• カルタン部分代数
• カルタンサブグループ

• Ballester-Bolinches, Adolfo; Ezquerro, Luis M. (2006)、「有限群のクラス」、Mathematics and Its Applications (Springer)、vol. 584、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-1-4020-4718-3、MR  2241927
• Carter、Roger W. (1961)、「可溶性グループの非能性自己正規化サブグループ」、Mathematische Zeitschrift、75 (2): 136–139、doi :10.1007/BF01211016、S2CID  120448397
• フィッシャー、ベルント(1966)、「Klassen konjugierter Untergruppen in endlichen auflösbaren Gruppen」、Habilitationsschrift、Universität Frankfurt am Mainz
• Huppert、Bernd (1967)、Endliche Gruppen (ドイツ語)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-03825-2、MR  0224703、OCLC  527050特に Kap VI, §12, pp736–743
• ヴォルフガング・ガシュッツ (1962)、「Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen」、数学時代、80 : 300–305、doi :10.1007/BF01162386、ISSN  0025-5874、MR  0179257、S2CID  116064482
• シェンクマン、ユージン（1975）、群論、ロバートE.クリーガー出版、ISBN 978-0-88275-070-5、MR  0460422
• Vdovin、Evgenii P. (2006)、「カーター サブグループの共役問題について。(ロシア語)」、Sibirskiĭ Matematicheskiĭ Zhurnal、47 (4): 725–730、MR  2265277翻訳はシベリア数学ジャーナル47（2006年）、第4号、597-600頁に掲載されています。
• Vdovin, Evgenii P. (2007)、「有限ほぼ単純群のカーター部分群。（ロシア語）」、Algebra i Logika、46 (2): 157–216、MR  2356523
• Vil'yams, NN (2001) [1994]、「カーター部分群」、数学百科事典、EMS プレス
• Wehrfritz, Bertram AF (1999)、有限群、ニュージャージー州リバーエッジ：World Scientific Publishing Co. Inc.、ISBN 978-981-02-3874-2、MR  1733917