交差点

数学では、 2 つ以上のオブジェクトの交差は、すべてのオブジェクトに同時に含まれるすべてのものからなる別のオブジェクトです。たとえば、ユークリッド幾何学では、平面上の2 本の線が平行でない場合、それらの交差はそれらの線が出会う点です。より一般的には、集合論では、集合の交差は、それらの集合すべてに属する要素の集合として定義されます。ユークリッドの定義とは異なり、これは、検討中のオブジェクトが共通の空間にあることを前提としていません。

交差は、幾何学の基本概念の 1 つです。交差はさまざまな幾何学的形状をとることができますが、平面幾何学では点が最も一般的です。入射幾何学は、交差 (通常は平面の交差) を、元のオブジェクトのそれぞれに付随する低次元のオブジェクトとして定義します。このアプローチでは、交差は、平行線の場合のように定義されない場合があります。どちらの場合も、交差の概念は論理積に依存します。代数幾何学は、交差理論を使用して独自の方法で交差を定義します。

交差点を形成するプリミティブ オブジェクトは、点 (上図) など、複数存在する場合があります。交差点は、共有オブジェクトすべて (つまり、交差点操作の結果はセット(空の場合もあります)) としてまとめて表示することも、複数の交差点オブジェクト(ゼロの場合もあります) として表示することもできます。

2つの集合AとBの共通集合は、AとBの両方に含まれる要素の集合である。正式には、

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}}$^[1 ]

たとえば、 かつ の場合、となります。より複雑な例 (無限集合を含む) は次のとおりです。 ${\displaystyle A=\{1,3,5,7\}}$${\displaystyle B=\{1,2,4,6\}}$${\displaystyle A\cap B=\{1\}}$

${\displaystyle A=\{x:{\text{ x is an even integer}}\}}$

${\displaystyle B=\{x:{\text{ x is an integer divisible by 3}}\}}$${\displaystyle {\text{ , then}}}$

${\displaystyle A\cap B=\{6,12,18,\dots \}}$

別の例として、数5 は素数の集合{2, 3, 5, 7, 11, …}と偶数の集合{2, 4, 6, 8, 10, …}の交差には含まれません。これは、 5 が素数ではあるものの、偶数ではないためです。実際、数2はこれら 2 つの集合の交差に含まれる唯一の数です。この場合、交差には数学的な意味があります。つまり、数2 は唯一の偶数の素数です。

幾何学において、交差点とは、2 つ以上のオブジェクト (直線、曲線、平面、面など) に共通する点、直線、または曲線のことです。ユークリッド幾何学における最も単純なケースは、 2 つの異なる直線間の交差点です。交差点は、1 つの点(頂点と呼ばれることもあります) であるか、存在しません (直線が平行である場合)。その他の幾何学的交差点の種類には、次のものがあります。

• 線と面の交差
• 線と球の交差
• 多面体と直線の交差
• 線分の交点
• 交差曲線

平面（高次元空間に埋め込まれた線状の幾何学的オブジェクト） の交差の判定は、線型代数の単純なタスク、つまり線型方程式の連立解法です。一般に、交差の判定は非線型方程式につながり、これはニュートン反復法などを使用して数値的に解くことができます。直線と円錐曲線（円、楕円、放物線など）または二次曲線（球、円柱、双曲面など）との交差の問題は、簡単に解ける二次方程式につながります。二次曲線同士の交差は、代数的に解ける四次方程式につながります。

交差は、 Unicode 数学演算子のU+2229 ∩ INTERSECTIONで表されます。

記号U+2229 ∩ INTERSECTION は、1844年のHermann GrassmannのDie Ausdehnungslehreで、共通部分に特化した記号ではなく、一般的な演算記号として初めて使用されました。その後、1888年にGiuseppe Peano (1858–1932)がH. Grassmann の Calcolo geographico secondo l'Ausdehnungslehreで共通部分を表すために使用しました。^{[2] [3]}

ペアノはまた、1908年の著書『数学の公式』の中で、2つ以上のクラスの一般的な積集合と和集合を表す大きな記号を作成した。^{[4] [5]}

• 構成的立体幾何学、ブール交差は2D/3D形状を組み合わせる方法の1つです。
• 次元拡張9交差モデル
• 会う（格子理論）
• 交差（集合論）
• 和集合論

• Weisstein、Eric W.「交差点」。MathWorld。