ヘンデカゴン

正12角形
正12角形
	正12角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	11
シュレーフリ記号	{11}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 11）、位数2×11
内角（度）	≈147.273°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学において、11角形（ 12角形、 11角形^[1]^[2]または12角形^[3]とも呼ばれる）または11角形は、11辺を持つ多角形である。（11角形という名前は、ギリシャ語のhendeka「11」と-gon「角」に由来し、最初の部分がラテン語のundecim「11」から形成されるハイブリッドな12角形よりも好まれることが多い。 ^[4]）

正12角形

正十二角形はシュレーフリ記号{11}で表されます。

正十六角形の内角は147.27 度（=147度）である。^{[5]辺の長さが}aである正十六角形の面積は^[2]で与えられる。 ${\tfrac {3}{11}}$

A={\frac {11}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}\simeq 9.36564\,a^{2}.

11はフェルマー素数ではないので、コンパスと定規を使って正十一角形を作ることはできません。^{[6] 11は}ピアポント素数ではないので、角の三等分線を使っても正十一角形を作ることは不可能です。

正十一角形に近い近似値を作ることも可能である。例えば、古代ギリシャの数学者は、単位円に内接する十一角形の辺の長さを14/25単位と近似した。^[7]

12角形は、ニューシス作図^[8]と2つ折り折り紙^[9]によって正確に作図することができます。

大まかな構成

1800年にT.ドラモンドは次のような建設の説明をしている。^[10]

「半径ABを描き、それをCで二等分します。コンパスの開きは半径の半分に等しく、AとC を中心にして円弧CDIとADを描きます。Iからの距離IDで円弧 DO を描き、線分CO を描きます。これは、練習に十分なほど正確な 12 角形の 1 辺の範囲になります。」

単位円上:

12角形の辺の長さ $b=0.563692\ldots$
理論上の12角形の辺の長さ $a=2\sin({\frac {\pi }{11}})=0.563465\ldots$
絶対誤差– ABが 10 m の場合、この誤差は約 2.3 mm になります。 $\delta =ba=2.27\ldots \cdot 10^{-4}$

対称

正十一角形は、Dih ₁₁対称性、次数 22 を持ちます。11 は素数なので、二面体対称性を持つサブグループが 1 つあります: Dih ₁、および巡回群対称性が 2 つあります: Z ₁₁、および Z ₁。

これらの 4 つの対称性は、 12 角形上の 4 つの異なる対称性で確認できます。ジョン・コンウェイは、これらを文字とグループの順序でラベル付けしています。^[11]正規形の完全な対称性はr22で、対称性がない場合はa1とラベル付けされます。二面体対称性は、頂点 (対角の場合はd ) または辺 (垂直の場合はp )を通過するかどうかによって分類され、反射線が辺と頂点の両方を通過する場合はiと分類されます。中央の列の周期的対称性は、中心回転順序により gとラベル付けされています。

各サブグループの対称性により、不規則な形状に対して 1 つ以上の自由度が許可されます。g11サブグループのみ自由度はありませんが、有向エッジとして見ることができます。

貨幣としての使用

カナダドル硬貨であるルーニーは、正十一角柱に似ているが、正確には正十一角柱ではない。^[12]インドの2ルピー硬貨^[13]や他のあまり使われていない他の国の硬貨も同様である。^[14]ルーニーの断面は、実際にはルーローの十一角形である。アメリカ合衆国のスーザン・B・アンソニー・ドルは、縁の内側に十一角形の輪郭がある。^[15]

参照

10単体- 正11角形直交投影の完全グラフとして見ることができる

参考文献

^ ハルデマン、サイラス B. (1922)、「六次曲線による正十角形の構築」、ディスカッション、アメリカ数学月刊誌、29 (10)、doi :10.2307/2299029、JSTOR 2299029。
^ ab ルーミス、エリアス（1859）、平面および球面三角法の要素：計測、測量、航海への応用、ハーパー、p. 65。
^ ブリューワー、エベネザー・コブハム（1877年）、話し言葉と綴りの誤り、ロンドン：W.テッグ社、p. iv。
^ ヘンデカゴン – Wolfram MathWorldより
^ McClain, Kay (1998)、Glencoe 数学: 応用と接続、Glencoe/McGraw-Hill、p. 357、ISBN 9780028330549。
^ ガウスが証明したように、 pの辺が素数である多角形は、p − 1 が2 の累乗である場合に限り作図できるが、11 の場合はそうではない。Kline , Morris (1990)、Mathematical Thought From Ancient to Modern Times、第 2 巻、Oxford University Press、pp. 753–754、ISBN 978-4535-11111 を参照。 9780199840427。
^ ヒース、サー・トーマス・リトル（1921年）『ギリシャ数学史第2巻：アリスタルコスからディオファントスまで』クラレンドン・プレス、329ページ。
^ ベンジャミン、エリオット; スナイダー、C. ケンブリッジ哲学協会数学紀要156.3 (2014年5月): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
^ Lucero, JC (2018). 「2倍折り紙による正12角形の構築」Crux Mathematicorum 44 : 207–213. 2018年6月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年6月20日閲覧。
^ T. Drummond、(1800) The Young Ladies and Gentlemen's AUXILIARY、『Taking Heights and Distances ...』、建設説明 pp. 15–16 図 40: 69 ページから 76 ページまでのスクロール、パート I。第 2 版、2016 年 3 月 26 日に取得
^ John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、(2008) The Symmetries of Things、ISBN 978-1-56881-220-5 (第 20 章、一般化された Schaefli 記号、多角形の対称性の種類、pp. 275-278)
^ Mossinghoff, Michael J. (2006)、「1ドルの問題」(PDF)、American Mathematical Monthly、113 (5): 385–402、doi :10.2307/27641947、JSTOR 27641947
^ クハジ、ジョージ S. Michael、Thomas (2012)、2013 Standard Catalog of World Coins 2001 to Date、Krause Publications、p. 402、ISBN 9781440229657。
^ クハジ、ジョージ S. Michael、Thomas (2011)、Unusual World Coins (6th ed.)、Krause Publications、23、222、233、526、ISBN 9781440217128。
^ 米国下院、1978年、7ページ。

引用文献

米国下院 (1978)。小型 1 ドル硬貨の提案。ワシントン DC: 政府印刷局。

外部リンク

インタラクティブアニメーションによる11角形（12角形）の特性
Weisstein、Eric W.「Hendecagon」。MathWorld。
正12角形
正12角形、近似的な構造

[1] ハルデマン、サイラス B. (1922)、「六次曲線による正十角形の構築」、ディスカッション、アメリカ数学月刊誌、29 (10)、doi :10.2307/2299029、JSTOR 2299029。

[loomis-2] ルーミス、エリアス（1859）、平面および球面三角法の要素：計測、測量、航海への応用、ハーパー、p. 65。

[3] ブリューワー、エベネザー・コブハム（1877年）、話し言葉と綴りの誤り、ロンドン：W.テッグ社、p. iv。

[4] ヘンデカゴン – Wolfram MathWorldより

[5] McClain, Kay (1998)、Glencoe 数学: 応用と接続、Glencoe/McGraw-Hill、p. 357、ISBN 9780028330549。

[6] ガウスが証明したように、 pの辺が素数である多角形は、p − 1 が2 の累乗である場合に限り作図できるが、11 の場合はそうではない。Kline , Morris (1990)、Mathematical Thought From Ancient to Modern Times、第 2 巻、Oxford University Press、pp. 753–754、ISBN 978-4535-11111 を参照。 9780199840427。

[7] ヒース、サー・トーマス・リトル（1921年）『ギリシャ数学史第2巻：アリスタルコスからディオファントスまで』クラレンドン・プレス、329ページ。

[8] ベンジャミン、エリオット; スナイダー、C. ケンブリッジ哲学協会数学紀要156.3 (2014年5月): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753

[9] Lucero, JC (2018). 「2倍折り紙による正12角形の構築」Crux Mathematicorum 44 : 207–213. 2018年6月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年6月20日閲覧。

[10] T. Drummond、(1800) The Young Ladies and Gentlemen's AUXILIARY、『Taking Heights and Distances ...』、建設説明 pp. 15–16 図 40: 69 ページから 76 ページまでのスクロール、パート I。第 2 版、2016 年 3 月 26 日に取得

[11] John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、(2008) The Symmetries of Things、ISBN 978-1-56881-220-5 (第 20 章、一般化された Schaefli 記号、多角形の対称性の種類、pp. 275-278)

[12] Mossinghoff, Michael J. (2006)、「1ドルの問題」(PDF)、American Mathematical Monthly、113 (5): 385–402、doi :10.2307/27641947、JSTOR 27641947

[13] クハジ、ジョージ S. Michael、Thomas (2012)、2013 Standard Catalog of World Coins 2001 to Date、Krause Publications、p. 402、ISBN 9781440229657。

[14] クハジ、ジョージ S. Michael、Thomas (2011)、Unusual World Coins (6th ed.)、Krause Publications、23、222、233、526、ISBN 9781440217128。

[FOOTNOTEU.S._House_of_Representatives,_19787-15] 米国下院、1978年、7ページ。