幾何学

幾何学の数学分野において、幾何学的構成の研究は幾何学測量学である。 ^[1]幾何学測量学の概念と手法は、フランスの土木技師で数学者のエミール・ルモワーヌ(1840–1912) によって、1888 年に オランで開催されたフランス科学振興協会の会議で初めて説明された。 ^[1]ルモワーヌは後に、 1892 年に開催された同協会のポー会議で発表された別の回想録でその考えを拡張した。^[2]

初等幾何学では、ある種の幾何学的構成が他のものよりも単純であることはよく知られています。しかし多くの場合、構成の見かけの単純さは、構成の実際の実行ではなく、実行しなければならないことの記述の簡潔さにかかっています。では、同じ目的を達成するためのいくつかの異なる構成の相対的な単純さを推定するための客観的な基準を定めることはできるでしょうか。ルモワーヌは、この質問に答えるために、幾何学測量学の考えを展開しました。^[1]構成の普遍性の問題も提起されています。単純さに関係なく、構成がすべての条件またはほとんどの条件に適用できるかどうか、または特別な場合のみに適用できるかどうかは、重要な考慮事項です。

ルモワーヌは、幾何学的測量法の考え方を発展させるにあたり、定規とコンパスのみを使用したユークリッド作図に限定しました。ルモワーヌの分析によれば、このような作図はすべて、5 つの基本演算の固定セットから選択された一連の演算として実行できます。ルモワーヌが特定した 5 つの基本演算は次のとおりです。

幾何学的構成における基本的な操作

幾何学的構成において、操作 X がn回実行されるという事実は、式n X で表されます。定規を 2 つの点に一致させる操作は、 2R ₁で示されます。コンパスの 1 つの点を特定の点に置き、コンパスのもう 1 つの点を別の特定の点に置く操作は、 2C ₁で示されます。

あらゆる幾何学的構成は、次の形式の式で表すことができます。

l ₁ R ₁ + l ₂ R ₂ + m ₁ C ₁ + m ₂ C ₂ + m ₃ C ₃。

ここで、係数l ₁などは、特定の操作が実行される回数を表します。

l ₁ + l ₂ + m ₁ + m ₂ + m ₃という数は単純さの係数、または構成の単純さ と呼ばれます。これは演算の総数を表します。

l ₁ + m ₁ + m ₂という数は、正確さの係数、または構築の正確さと呼ばれます。これは、構築の正確さが依存する準備操作の数を表します。

ルモワーヌは彼の手法を応用して、初等幾何学における60以上の問題を解析した。^[1]

• 3 つの頂点を持つ三角形の構築は、 4R ₁ + 3R ₂という式で表すことができます。
• カーライル円を含む正17角形のある構成は、 8R ₁ + 4R ₂ + 22C ₁ + 11C ₃という式で表すことができ、単純度は45である。^[3]

• ヘス、アドリアンL (1956 年 3 月～ 4 月)。「定規とコンパスを使用した作図に関する特定のトピック」。数学雑誌。29 (4): 217–221。doi :10.2307/3029638。JSTOR  3029638。
• ニュートン、ガイ・ソーンウェル（1926年）。製図用器具への応用を含む幾何学図法。テキサス大学。190ページ。
• DeTemple, Duane W. (1991 年 2 月). 「Carlyle 円と Lemoine 多角形構築の単純さ」(PDF) . The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97–208. doi :10.2307/2323939. JSTOR 2323939. 2015 年 12 月 21 日の オリジナル(PDF)からアーカイブ。2011年11 月 6 日閲覧。