四角形

幾何学において、四角形（ラテン語の quadrator  「平方する」に由来）は、別の曲線の面積（または求積法）の尺度となる縦座標を持つ曲線です。このクラスで最も有名な 2 つの曲線は、ディノストラトスとEW チルンハウスの曲線で、どちらも円に関連しています。

ディノストラトスの方曲線（ヒッピアスの方曲線とも呼ばれる）は古代ギリシャの幾何学者にはよく知られており、プロクロスによって言及されています。プロクロスは、この曲線の発明はソクラテスと同時代の人、おそらくエリスのヒッピアスによるものだと考えています。ギリシャの幾何学者でプラトンの弟子であったディノストラトスは、この曲線について論じ、それが円を二乗する機械的な解決法にどのように影響するかを示しました。パップスは著書『幾何学集成』で、この曲線の歴史を扱い、この曲線を生成する2つの方法を示しています。

1. 直円柱にらせんを描くと、らせんの各点から軸に垂直な線を引くことで、らせん面が得られます。この面の一部を、垂線の 1 つを含み軸に傾斜した平面に投影したものが、四角形です。
2. アルキメデスの螺旋を底とする直円筒は、螺旋の始点を通る円筒の母線を軸とする直円錐と交差します。交差曲線のすべての点から、軸に垂線が引かれます。こうして得られた螺旋面 (パップスのプレクトイド面) の任意の平面断面が四角形です。

別の構成は次のとおりです。DABは、線DAと円弧DB が同じ数の等しい部分に分割される象限です。象限の中心から円弧の分割点まで半径が引かれ、これらの半径は、半径DA上の対応する点を通ってABに平行に引かれた線と交差します。これらの交点の軌跡が四分円です。

Aを直交座標系の原点、Dをx軸に沿って原点からa単位離れた点( a ,0)、Bをy軸に沿って原点からa単位離れた点(0, a )とすると、曲線自体は次の式で表される^[1]。

${\displaystyle y=x\cot \left({\frac {\pi x}{2a}}\right).}$

余接 関数は引数の否定に対して不変であり、πの各倍数で単純な極を持つため、四次曲線はy軸に関して鏡映対称性を持ち、同様に整数値のnに対してx = 2 naの形式の xの各値に対して極を持ちます。ただし、x = 0では余接の極が四次曲線の式のxの係数によってキャンセルされます。これらの極は、曲線を無限の枝が両側にある中央部分に分割します。曲線がy軸と交差する点はy = 2 a/πです。したがって、曲線を正確に構成できる場合は、長さが1/ πの有理倍数である線分を構成することができ、円を二乗するという古典的な問題を解くことができます。これはコンパスと定規では不可能なので、今度はコンパスと定規で四次曲線を構成することはできません。四分儀を正確に作図すれば、コンパスと定規では不可能だと知られている他の 2 つの古典的な問題、すなわち立方体を 2 倍にすることと角度を 3 等分することの解も可能になります。

チルンハウスの四分円^[2]は、象限の円弧と半径を前と同じ数の等しい部分に分割することによって作成されます。円弧の分割点からDAに平行に引いた線と、DAの分割点を通ってABに平行に引いた線との交点は、四分円上の点です。直交座標は です。曲線は周期的で、x軸を点で切断します。これは整数です。 の最大値はです。その特性は、ディノストラトスの四分円の特性に似ています。 ${\displaystyle y=a\cos \!{\big (}{\tfrac {\pi x}{2a}}{\big )}}$${\displaystyle x=(2n-1)a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$

歴史的に円を二乗するために使用されてきた他の曲線には、アルキメデスの螺旋や蝸牛曲線などがあります。

•  この記事には、現在パブリック ドメインとなっている出版物のテキストが組み込まれています:  Chisholm, Hugh編 (1911)。「Quadratrix」。Encyclopædia Britannica。第 22 巻 (第 11 版)。Cambridge University Press。p. 706。

ウィキメディア・コモンズには、 Quadratrixに関連するメディアがあります。

• ヒッピアスの四分儀は、2012 年 2 月 4 日にWayback MachineのMacTutor アーカイブにアーカイブされました。
• ヒッピアスの収束点における四分儀 2020-09-08ウェイバックマシンにアーカイブ(MAA 定期刊行物)