16角形

正六角形
正16角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	16
シュレーフリ記号	{16}、t{8}、tt{4}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 16）、次数 2×16
内角（度）	157.5°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

数学において、16角形（16かどかご、 16ゴンとも呼ばれる）は、16辺を持つ多角形である。^[1]

正16角形は、すべての角度が等しく、すべての辺が合同な16角形です。そのシュレーフリ記号は{16}で、切頂 八角形t{8}と2度切頂正方形tt{4}として作図できます。切頂16角形t{16}は、三十角形{32}です。

^{16 = 2 4}（2の累乗）なので、正16角形はコンパスと定規を使って作図できます。これは古代ギリシャの数学者にはすでに知られていました。^[2]

正 16 角形の各角度は 157.5度で、任意の 16 角形の合計角度は 2520 度です。

辺の長さがtの 正16角形の面積は

${\displaystyle {\begin{aligned}A=4t^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=&4t^{2}\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\right)\\=&4t^{2}({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1).\end{aligned}}}$

16角形の辺の数は2の累乗なので、ヴィエトの公式を切り捨てることで、その面積は外接半径 Rで計算できます。

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=4R^{2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}.}$

外接円の面積は 16 角形なので、正 12 角形はその外接円の約 97.45% を占めます。 ${\displaystyle \pi R^{2},}$

正 16 角形は、 Dih ₁₆対称性、順序 32 を持ちます。 4 つの二面体サブグループ ( Dih ₈、 Dih ₄、 Dih ₂、 Dih ₁ ) と 5 つの巡回サブグループ( Z ₁₆、 Z ₈、 Z ₄、 Z ₂、 Z ₁ ) があり、最後の Z 1 は対称性がないことを意味します。

正16角形には14の異なる対称性がある。ジョン・コンウェイは完全な対称性をr32と名付け、対称性がないものをa1と名付けた。二面体対称性は、頂点を通るか（対角の場合はd）、辺を通るか（垂直の場合はp ）によって分類される。中央の列の周期的対称性は、中心回転順序に応じてgと名付けられる。 ^[3]

最も一般的な高対称性 16 角形は、8 つの鏡で構成された等角16 角形 (長辺と短辺が交互に配置可能) のd16と、辺の長さは同じだが頂点の内角が交互に 2 つの異なる頂点で構成される等角 16 角形の p16 です。これら 2 つの形式は互いに双対であり、正 16 角形の半分の対称順序を持ちます。

各サブグループの対称性により、不規則な形状に対して 1 つ以上の自由度が可能になります。g16サブグループのみ自由度はありませんが、有向エッジとして見ることができます。

コクセターは、あらゆるゾノゴン（向かい合う辺が平行で長さが等しい2 m角形）はm ( m -1)/2 個の平行四辺形に分割できると述べています。 ^[4] 特に、これは辺の数が同じ正多角形に当てはまり、その場合、平行四辺形はすべて菱形になります。正16 角形の場合、m =8 であり、4 つの正方形と 3 組の 8 個の菱形の計 28 個に分割できます。この分解は、1792 面のうち 28 面を持つ8 角形のペトリ多角形投影に基づいています。リストOEIS : A006245 には、最大 16 倍の回転と反射のキラル形式を含め、解の数が 1232944 と列挙されています。

斜め 16 角形は、24 個の頂点と辺を持つが、同じ平面上に存在しない斜めの多角形です。このような 16 角形の内部は一般に定義されていません。斜めジグザグ 16 角形は、2 つの平行な平面間で頂点が交互に配置されます。

正斜十六角形は頂点推移的で辺の長さが等しい。3次元ではジグザグの斜十六角形となり、同じ D _8d、[2 ⁺ ,16] 対称性、次数 32 の八角形反プリズムの頂点と側辺に見られる。八角形反プリズムs{2,16/3} と八角形交差反プリズムs{2,16/5} も正斜八角形である。

正 16 角形は、次のような歪んだ直交投影で示される多くの高次元多面体のペトリー多角形です。

十六芒星は16 辺の星型多角形で、記号 {16/n} で表されます。同じ頂点を使用しながら、3 番目、5 番目、または 7 番目の点ごとに接続する 3 つの正多角形{16/3}、{16/5}、{16/7} があります。また、複合多角形も 3 つあります。{16/2} は 2{8} に簡約されて 2 つの八角形になり、 {16/4} は 4{4} に簡約されて 4 つの正方形になり、{16/6} は 2{8/3} に簡約されて 2 つの八芒星になり、最後に {16/8} は 8{2} に簡約されて 8 つの二角形になります。

正八角形と正八角形をさらに深く切断すると、等間隔の頂点と2辺の長さを持つ等角（頂点推移的）な中間十六角形が形成される。 ^[5]

切頂八角形は 16 角形、t{8}={16} です。半切頂八角形を反転して {8/7} にすると 16 角形、t{8/7}={16/7} になります。切頂八角形 {8/3} は 16 角形、t{8/3}={16/3} です。また、半切頂八角形を反転して {8/5} にすると 16 角形、t{8/5}={16/5} になります。

16世紀初頭、ラファエロは初めて正六角形の遠近法の絵を描いた。彼の絵画『聖母の結婚』の塔は16面体で、ピエトロ・ペルジーノの以前の絵画の8面体の塔を拡張したものである。^[6]

16角形（16面の星型多角形）はアルハンブラ宮殿のギリフ模様に含まれています。^[7]

八角形の星は凹んだ十六角形として見ることができます。

後者はキリスト教からイスラム教まで多くの建築物に見られ、またIRIB TV4のロゴにも見られます。

• 八芒星
• ランブルラインネットワーク

• Weisstein、Eric W.「16 角形」。MathWorld。