ノイシス建設

幾何学において、ネウシス（νεῦσις、古代ギリシア語のνεύειν （neuein）「～に向かって傾く」に由来、複数形：νεύσεις、neuseis）は、古代ギリシアの数学者によって使用された幾何学的作図法である。 

ネウシス構成とは、与えられた長さ（ a）の直線要素を、与えられた2つの（必ずしも直線ではない）直線（ lとm ）の間に、直線要素の延長線が与えられた点Pを通るように配置することである。つまり、直線要素の一端はl上に、もう一端はm上にあり、直線要素は点Pに向かって「傾いている」必要がある。

点Pはニューシスの極、線l はディレクトリックスまたはガイドライン、線mはキャッチラインと呼ばれます。長さaはディアステマ(ギリシャ語: διάστημα 、文字通り「距離」 )と呼ばれます。

ネウシス作図は、点Pを中心に回転可能な目盛り付き定規を用いて行うことができます(これは、点Pにピンを刺し、定規をピンに押し付けることで行うことができます)。図では、定規の一端に黄色の目盛りが付いています。これが定規の目盛りの原点です。定規のもう 1 つの目盛り (青色の目盛り) は、原点からの距離aを示しています。黄色の目盛りを線lに沿って移動させ、青色の目盛りが線mと一致するまで移動させます。

直線lとmの両方が直線である必要がある場合、この構成は直線-直線ネウシスと呼ばれます。直線-円ネウシスと円-円ネウシスも同様に定義されます。直線-直線ネウシスは、2 次および 3 次 (したがって 4 次) の方程式を解くための正確な能力を与えてくれますが、直線-円ネウシスと円-円ネウシスは、直線-直線ネウシスよりも厳密に強力です。技術的には、直線-円ネウシスまたは円-円ネウシスのいずれかによって生成される任意の点は、各隣接ペアのインデックスが 2、3、5、または 6 である体のタワーによって到達できる有理数の拡張体にありますが、直線-直線ネウシスの拡張体のタワー上の隣接ペアのインデックスは 2 または 3 です。^{[ 1 ]}

2行から始めます$\displaystyle \ell _{1}}$そして$\displaystyle \ell _{2}}$角度で交差する${\displaystyle \alpha }$（三等分の対象）${\displaystyle A}$交点とし、${\displaystyle B}$2番目のポイントは$\displaystyle \ell _{2}}$円を描きます${\displaystyle B}$中心は${\displaystyle A}$（準線は$\displaystyle \ell _{1}}$（そしてキャッチラインは円です。）定規を線に置きます$\displaystyle \ell _{2}}$そしてそれをマークする${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$定規（ただし印は除く）を接触させたまま${\displaystyle B}$定規をスライドさせて回転させ、マークが${\displaystyle A}$タッチ$\displaystyle \ell _{1}}$マークまで${\displaystyle B}$再び円に接する。この点を円上にラベル付けする。${\displaystyle C}$そして${\displaystyle D}$定規（およびその${\displaystyle A}$-マーク) タッチ$\displaystyle \ell _{1}}$角度${\displaystyle \beta =ADB}$の3分の1に等しい${\displaystyle \alpha }$（構造図の下にある視覚的な証明に示すように）。

ノイシスは、コンパスと定規だけでは解けない幾何学的問題を解決する手段となることがあるため、重要でした。例としては、任意の角を3等分することや、立方体の2倍などが挙げられます。^{[ 2 ] [ 3 ]}シラクサのアルキメデス （紀元前287～212年）やアレクサンドリアのパップス（ 紀元後290～350年）などの数学者はノイシスを自由に利用しました。アイザック・ニュートン（1642～1726年）も彼らの考えに倣い、ノイシス作図法を用いました。^{[ 4 ]}しかしながら、この技法は次第に使われなくなりました。

数学史家のTLヒースは、ギリシャの数学者オエノピデス（紀元前440年頃）が、コンパスと定規を使った作図をネウセイスよりも優先させた最初の人物であると示唆している。可能な限りネウセイスを避けるという原則は、オエノピデスと同じ島出身で、体系的に整理された幾何学の教科書を最初に書いたとされるキオスのヒポクラテス（紀元前430年頃）によって広められた可能性がある。彼から100年後、ユークリッドもまた、非常に影響力のある教科書『原論』の中でネウセイスを避けた。

ネウシスに対する次の攻撃は、紀元前4世紀以降、プラトンの観念論が勢力を拡大した時に起こった。その影響下で、幾何学的構成の3つの階層が発展した。「抽象的で高貴なもの」から「機械的で現実的なもの」へと順に、3つの階層は以下の通りである。

1. 直線と円のみを用いた作図（コンパスと定規を使用）。
2. これに加えて円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）を用いる構造物。
3. 例えば、ノイセイスのような、別の建設手段を必要とする建造物。

結局、ネウシスは、他の2つのより高度な構築方法では解決できない場合にのみ許容されるものとみなされた。ネウシスは、他のより信頼できる方法がすべて失敗した場合にのみ用いられる、いわば最後の手段となった。他の構築方法が使えるはずの場面でネウシスを用いることは、後期のギリシャの数学者アレクサンドリアのパップス（紀元325年頃）によって「無視できない誤り」と烙印を押された。

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• R. Boeker、「Neusis」、Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft、G. Wissowa red。 (1894–)、Supplement 9 (1962) 415–461.–ドイツ語。最も包括的な調査。しかし、著者は時々かなり奇妙な意見を持っています。
• T.L.ヒース著『ギリシア数学史』（全2巻、オックスフォード、1921年）。
• HG Zeuthen、Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [= 古代における円錐曲線の理論] (コペンハーゲン 1886; 再版ヒルデスハイム 1966)。

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