様相論理

様相論理は、必然性と可能性に関する陳述を表すために使用される一種の論理です。知識、義務、因果関係などの概念を理解するためのツールとして、哲学や関連分野で重要な役割を果たしています。たとえば、認識論的様相論理では、式を使用して、知られている陳述を表すことができます。義務論的様相論理では、同じ式を使用して、道徳的義務を表すことができます。様相論理では、様相陳述によって生じる推論を考慮します。たとえば、ほとんどの認識論的様相論理では、式をトートロジーとして扱い、真の陳述のみが知識として数えられるという原則を表します。ただし、この式は義務論的様相論理ではトートロジーではありません。なぜなら、真であるべきものが偽である可能性があるからです。 ${\displaystyle \Box P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Box P\rightarrow P}$

様相論理は、可能性と必然性をそれぞれ表すや などの単項演算子を含む形式体系です。たとえば、様相論理式は「おそらく」と読むことができ、 は「必然的に 」と読むことができます。様相論理の標準的な関係意味論では、式には可能世界に対する相対的な真理値が割り当てられます。1 つの可能世界 における式の真理値は、他のアクセス可能な可能世界における他の式の真理値に依存する場合があります。特に、があるアクセス可能な可能世界で真である場合、 はある世界で真ですが、がすべてのアクセス可能な可能世界で真である場合、 は世界で真です。アクセス可能性関係を制限することによって得られる意味論に関して健全で完全なさまざまな証明システムが存在します。たとえば、義務的様相論理D は、アクセス可能性関係が直列であることを要求する場合、健全で完全です。 ${\displaystyle \Diamond }$${\displaystyle \Box}$${\displaystyle \Diamond P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Box P}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Diamond P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Box P}$${\displaystyle P}$

様相論理の背後にある直観は古代にまで遡りますが、最初の様相公理系は1912 年にC. I. ルイスによって開発されました。現在標準となっている関係意味論は、20 世紀半ばにアーサー・プライアー、ヤッコ・ヒンティッカ、ソール・クリプキの研究から生まれました。最近の発展には、近隣意味論などの代替位相意味論や、関係意味論の元々の哲学的動機を超えた応用が含まれます。^{[1]このような応用には、}ゲーム理論、^[2]道徳理論と法律理論、^[2]ウェブデザイン、^[2]多元宇宙に基づく集合論、^[3]社会認識論などがあります。^[4]

様相論理は、や などの様相演算子を使用する点で他の種類の論理と異なります。前者は慣例的に「必然的に」と読み上げられ、道徳的または法的義務、知識、歴史的必然性などの概念を表すために使用できます。後者は通常「おそらく」と読み上げられ、許可、能力、証拠との適合性などの概念を表すために使用できます。様相論理の適切な式にはなどの非様相式が含まれますが、、、など の様相式も含まれます。${\displaystyle \Box}$${\displaystyle \Diamond }$${\displaystyle P\land Q}$${\displaystyle \Box (P\land Q)}$${\displaystyle P\land \Box Q}$${\displaystyle \Box (\Diamond P\land \Diamond Q)}$

したがって、基本的な命題論理の言語は次のように 再帰的に定義できます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. が原子式である場合、は の式です。${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
2. が の式である場合、も です。${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \neg \phi}$
3. およびが の公式である場合、も の公式です。${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \phi \land \psi }$
4. が の式である場合、も です。${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \Diamond \phi }$
5. が の式である場合、も です。${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \Box \phi }$

様相演算子は、上記の #4 および #5 に類似した規則を導入することで、他の種類のロジックに追加できます。様相述語論理は、 などの式を含む広く使用されているバリエーションの 1 つです。と が双対である様相論理システムでは、は の省略形としてとらえることができるため、 を導入するための別の構文規則は不要になります。ただし、2 つの演算子が相互定義可能でないシステムでは、別の構文規則が必要になります。 ${\displaystyle \forall x\Diamond P(x)}$${\displaystyle \Box}$${\displaystyle \Diamond }$${\displaystyle \Box \phi }$${\displaystyle \neg \ダイヤモンド \neg \phi }$

一般的な表記法のバリエーションには、知識を表すために使用される様相論理システムにおけるや などの記号や、信念を表すために使用される様相論理システムにおけるやなどの記号が含まれます。これらの表記法は、複数の様相演算子を同時に使用するシステムで特に一般的です。たとえば、認識論的義務論的論理を組み合わせた場合、「私は P が許可されていることを知っている」と読める式を使用できます。様相論理システムには、インデックスによって区別される無限の数の様相演算子 ( 、、など) を含めることができます。 ${\displaystyle [K]}$${\displaystyle \langle K\rangle }$${\displaystyle [B]}$${\displaystyle \langle B\rangle }$${\displaystyle [K]\langle D\rangle P}$${\displaystyle \Box _{1}}$${\displaystyle \Box _{2}}$${\displaystyle \Box _{3}}$

様相論理の標準的な意味論は関係意味論と呼ばれます。このアプローチでは、式の真偽は可能世界と呼ばれる点を基準にして決定されます。様相演算子を含む式の場合、その真理値は他のアクセス可能な世界で何が真であるかによって異なります。したがって、関係意味論は、次のように定義されたモデルを使用して様相論理の式を解釈します。^[5]

• リレーショナル モデルは、次の要素を含むタプルです。${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle W,R,V\rangle }$

1. ${\displaystyle W}$可能世界の集合である
2. ${\displaystyle R}$は二項関係である${\displaystyle W}$
3. ${\displaystyle V}$は、原子式と世界の各ペアに真理値を割り当てる評価関数です（つまり、原子式の集合はどこにあるか）。${\displaystyle V:W\times F\to \{0,1\}}$${\displaystyle F}$

集合はしばしば宇宙と呼ばれます。2 項関係はアクセス可能性関係と呼ばれ、何が真実であるかを決定するためにどの世界がお互いを「見る」ことができるかを制御します。たとえば、 は世界 が世界 からアクセス可能であることを意味します。つまり、として知られる状況はのライブ可能性です。最後に、関数 は評価関数 として知られています。これは、どの原子式がどの世界で真であるかを決定します。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle R}$${\displaystyle wRu}$${\displaystyle u}$${\displaystyle w}$${\displaystyle u}$${\displaystyle w}$${\displaystyle V}$

次に、モデル内の世界における式の真理を再帰的に定義します。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P}$もしも${\displaystyle V(w,P)=1}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \neg P}$もしも${\displaystyle \not \models P}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models (P\wedge Q)}$かつ​${\displaystyle w\models P}$${\displaystyle w\models Q}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Box P}$のあらゆる要素に対して、${\displaystyle u}$${\displaystyle W}$${\displaystyle wRu}$${\displaystyle u\models P}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Diamond P}$の何らかの要素に対して、かつ${\displaystyle u}$${\displaystyle W}$${\displaystyle wRu}$${\displaystyle u\models P}$

このセマンティクスによれば、世界 からアクセス可能なすべての世界で成り立つ場合、その式は世界に関して必須です。からアクセス可能ないずれかの世界で成り立つ場合、それは可能です。したがって、可能性はアクセス可能性関係 に依存し、これにより可能性の相対的な性質を表現できます。たとえば、物理法則を考慮すると、人間が光速よりも速く移動することは不可能ですが、他の状況を考慮すると、そうすることが可能であった可能性があると言えます。アクセス可能性関係を使用すると、このシナリオを次のように翻訳できます。私たち自身の世界にアクセス可能なすべての世界で、人間が光速よりも速く移動できるわけではありませんが、これらのアクセス可能な世界のうちの 1 つに、それらの世界からはアクセス可能だが私たちの世界からはアクセスできない別の世界があり、そこでは人間は光速よりも速く移動できます。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle R}$

アクセス可能関係の選択だけで、式の真偽を保証できる場合があります。たとえば、アクセス可能関係が反射的であるモデルを考えてみましょう。関係が反射的であるため、どの評価関数が使用されているかに関係なく、任意の に対してが成り立ちます。このため、様相論理学者は、評価関数を除いたリレーショナル モデルの部分である フレームについて話すことがあります。${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P\rightarrow \Diamond P}$${\displaystyle w\in G}$

• 関係フレームは、 が可能な世界の集合であり、が 上の二項関係であるペアです。${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle G,R\rangle }$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$

様相論理のさまざまなシステムは、フレーム条件を使用して定義されます。フレームは次のように呼ばれます。

• Gの任意のwに対してw R wならば反射的
• Gの任意のwとuに対して、 w R uならばu R wとなる場合、対称的である。
• Gのすべてのw、 u、 qに対して、 w R uとu R q が一緒にw R q を意味する場合、推移的。
• G の任意のwに対して、 w R uとなるようなGのuが存在する場合、直列となります。
• ユークリッドとは、任意のu、 t、 wに対して、 w R uおよびw R t がu R t を意味する（対称性により、 t R u 、 t R tおよびu R uも意味する）

これらのフレーム条件から生じるロジックは次のとおりです。

• K  := 条件なし
• D  := シリアル
• T  := 反射的
• B  := 反射的かつ対称的
• S4  :=反射的かつ推移的
• S5  := 反射的かつユークリッド的

ユークリッドの性質は、反射性とともに対称性と推移性をもたらします。(ユークリッドの性質は、対称性と推移性からも得られます。) したがって、アクセス可能性関係 R が反射的かつユークリッドである場合、Rは対称的かつ推移的であることも証明できます。 したがって、S5 のモデルでは、 Rは反射的、対称的かつ推移的である ため、Rは同値関係です。

これらのフレームは、すべての世界がWの他のすべての世界を見ることができるフレーム(つまり、Rが「完全な」関係) と同じ有効な文のセットを生成することを証明できます。これにより、対応するモーダル グラフが生成され、これは完全に完全です (つまり、これ以上のエッジ (関係) を追加することはできません)。たとえば、フレーム条件に基づく任意のモーダル ロジックでは、次のようになります。

${\displaystyle w\models \Diamond P}$Gの何らかの元uに対して、かつw R u が成り立つ場合のみ。${\displaystyle u\models P}$

全体の関係に基づいてフレームを考えると、次のように言える。

${\displaystyle w\models \Diamond P}$Gの何らかの元uに対して が成り立つ場合、かつその場合に限ります。${\displaystyle u\models P}$

後者の規定からアクセス可能性の条項を削除できます。なぜなら、このような全フレームでは、すべてのwとuについてw R uが自明に真だからです。しかし、これはすべての S5 フレームに当てはまるわけではありません。フレームは、互いに完全に接続されているものの、互いに切断されている複数の部分で構成される場合があります。

これらの論理システムはすべて、次のセクションで示すように公理的に定義することもできます。たとえば、S5 では、公理、および(それぞれ対称性、推移性、および反射性に対応) が成立しますが、これらの公理の少なくとも 1 つは、他のより弱い論理のそれぞれでは成立しません。 ${\displaystyle P\implies \Box \Diamond P}$${\displaystyle \Box P\implies \Box \Box P}$${\displaystyle \Box P\implies P}$

様相論理も位相構造を使用して解釈されてきました。たとえば、内部意味論では様相論理の式を次のように解釈します。

位相モデルは、 が位相空間であり、 が各原子式を のサブセットにマッピングする評価関数であるタプルです。基本的な内部意味論は、様相論理の式を次のように解釈します。 ${\displaystyle \mathrm {X} =\langle X,\tau ,V\rangle }$${\displaystyle \langle X,\tau \rangle }$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \mathrm {X},x\models P}$もしも${\displaystyle x\in V(P)}$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \neg \phi }$もしも${\displaystyle \mathrm {X} ,x\not \models \phi }$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \phi \land \chi }$かつ​${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \phi }$${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \chi }$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \Box \phi }$ある人にとってそれが両方存在し、またすべての人にとってもそれが存在する場合${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \mathrm {X} ,y\models \phi }$${\displaystyle y\in U}$

位相的アプローチは関係的アプローチを包含し、非正規様相論理を可能にします。それらが提供する追加の構造により、ある人が自分の信念に対して持っている証拠や正当性など、特定の概念をモデル化する透過的な方法も可能になります。位相的意味論は、形式認識論の最近の研究で広く使用されており、David LewisとAngelika Kratzerの反事実的論理などの以前の研究に先例があります。

様相論理の最初の形式化は公理的でした。CI Lewis が1912 年にこの分野の研究を開始して以来、非常に異なる特性を持つ多数のバリエーションが提案されてきました。たとえば、HughesとCresswell (1996) は、42 の正規様相論理と 25 の非正規様相論理について説明しています。Zeman (1973) は、Hughes と Cresswell が省略したいくつかのシステムについて説明しています。

様相論理の現代的な扱いは、命題論理に 2 つの単項演算を追加することから始まる。1 つは「必然性」、もう 1 つは「可能性」を表す。以来広く使われているC.I. ルイスの表記法は、「必然的にp」を接頭辞「ボックス」(□ p ) で表し、その範囲は括弧で示される。同様に、接頭辞「ダイヤモンド」(◇ p ) は「おそらくp 」を表す。一階述語論理の量指定子と同様に、「必然的にp」(□ p ) は量化の範囲(クリプキ意味論におけるアクセス可能な可能世界の集合) が空でないことを前提としないが、「おそらくp」(◇ p ) は暗黙的に(つまり、アクセス可能な可能世界の集合が空でないことを) 前提とすることが多い。表記法に関係なく、これらの演算子はそれぞれ、古典的な様相論理において他の演算子によって定義できる。 ${\displaystyle \Diamond \top }$

• □ p (必然的にp ) は¬◇¬ p (「 pでないことはあり得ない」)と同等である。
• ◇ p (おそらくp ) は¬□¬ p (「必ずしもpではない」)と同等である。

したがって、□と◇は演算子の双対を形成します。

多くの様相論理では、必然性演算子と可能性演算子は、ブール代数のド・モルガンの法則の次の類似物を満たします。

「Xである必要はない 」は論理的には「Xでない可能性がある」と同等です。

「Xは不可能である」は論理的には「 Xではないことが必要である」と同等です。

様相論理の使用可能なシステムを作成するために、命題計算に正確にどのような公理と規則を追加する必要があるかは、多くの場合、証明したい定理によって左右される哲学的意見の問題です。または、コンピューター サイエンスでは、どのような種類の計算システムまたは演繹システムをモデル化したいかという問題です。多くの様相論理 (総称して通常様相論理と呼ばれます) には、次の規則と公理が含まれます。

• N、必然性規則: p が（ Nを呼び出す任意のシステム/モデルの）定理/トートロジーである場合、□ p も同様に定理です（つまり）。${\displaystyle (\models p)\implies (\models \Box p)}$
• K、分布公理：□( p → q ) → (□ p → □ q )。

最も弱い通常の様相論理は、ソール・クリプキにちなんで「K 」と名付けられ、単に命題論理に□、規則N、公理Kを加えたものです。Kが弱いのは、命題が必然的であるかどうかは決定できず、偶然にしか必然的ではないからです。つまり、□ pが真であれば □□ p が真である、つまり必然的真理は「必然的に必然的」である、というのはKの定理ではありません。このような混乱が強引で人為的であると考えられるなら、 Kのこの欠陥は大きなものではありません。いずれにせよ、このような質問に対する異なる答えは、様相論理の異なるシステムを生み出します。

Kに公理を追加すると、他のよく知られた様相システムが生じます。K では、「p が必須」であれば p が真であることを証明することはできません。公理Tはこの欠陥を修正します。

• T、反射性公理：□ p → p（pが必須であれば、p が当てはまります。）

Tはほとんどの様相論理で成立しますが、すべて^に成立するわけではありません。Zeman(1973)はS10などのいくつかの例外について説明しています。

その他のよく知られている基本公理は次のとおりです。

• 4 :${\displaystyle \Box p\to \Box \Box p}$
• B :${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$
• D :${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$
• 5 :${\displaystyle \Diamond p\to \Box \Diamond p}$

これにより、次のシステムが生成されます (公理は太字、システムは斜体)。

• K  := K + N
• T  := K + T
• S4  := T + 4
• S5  := T + 5
• D  := K + Dです。

KからS5は入れ子になったシステムの階層を形成し、通常の様相論理の中核をなしています。しかし、特定のシステムには特定の規則または規則セットが適切な場合があります。たとえば、義務論理では、 ( pであるべきであれば、 pが許容される) は適切に思えますが、おそらくそれを含めるべきではありません。実際、そうすることは自然主義的誤謬を犯すことです (つまり、 pが当てはまる場合、p は許容されるべきだ と言って、自然であるものは良いものであるとも述べること)。${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$

一般的に使用されているシステムS5 は、すべての様相真理を単に必然的にします。たとえば、pが可能な場合、 pが可能であることが「必然的」です。また、 pが必要なら、 p が必要であることも必然的です。S5があらゆる種類の様相を記述していない ため、他の様相論理システムが定式化されています。

いくつかの様相論理ではシーケント計算と自然演繹のシステムが開発されてきたが、純粋性（証明理論はラベルなどの論理外の概念を導入しない）や解析性（論理規則は解析証明の明確な概念をサポートする）など、優れた構造証明理論に期待される他の特徴と一般性を組み合わせることは困難であることが判明した。より複雑な計算が様相論理に適用され、一般性を実現してきた。^[要出典]

解析的表は様相論理における最も一般的な意思決定方法を提供する。^[6]

必然性と可能性の様相は、アレティック様相と呼ばれます。これらは、ラテン語の「species」から、特殊様相と呼ばれることもあります。様相論理は、最初はこれらの概念を扱うために開発され、その後に他の概念にも拡張されました。このため、またはおそらくその馴染み深さと単純さのため、必然性と可能性は、様相論理の主題として何気なく扱われることがよくあります。さらに、法的、物理的、法理的、認識論的などに必然性を相対化する方が、他の概念を相対化するよりも理解しやすいです。

古典的な様相論理では、命題は

• 必ずしも偽ではない場合は可能（実際に真であるか偽であるかに関係なく）。
• 偽である可能性がない場合（つまり、真であり、必然的に真である場合）は必要である。
• 必ずしも偽ではなく、必ずしも真でもない（つまり、可能だが必ずしも真ではない）場合は偶発的である。
• それが真実である可能性がない場合（つまり、偽であり、必然的に偽である場合）は不可能です。

したがって、古典的な様相論理では、可能性または必然性のいずれかの概念が基本的なものとみなされ、他の概念はド・モルガンの双対性の方法でそれに基づいて定義されます。直観主義的様相論理では、可能性と必然性は完全に対称的ではないものとして扱われます。

たとえば、コンビニエンス ストアまで歩いているときに、フリードリヒの家のそばを通りかかったとき、電気が消えていることに気づいたとします。帰り道で、電気が点灯していることに気づきます。

• 「誰かまたは何かが電気をつけた」ことが必要です。
• 「フリードリヒが電気をつけた」、「フリードリヒのルームメイトのマックスが電気をつけた」、「アドルフという名の強盗がフリードリヒの家に侵入し、電気をつけた」は偶然の産物です。
• 上記の記述はすべて可能です。
• ソクラテス（死後2000年以上経っている）が明かりをつけたというのはあり得ないことだ。

(もちろん、この類推は、真に厳密な形で論理的様相を適用しているわけではありません。そうするためには、「人間は死から蘇ることはできない」、「ソクラテスは人間であり、不死の吸血鬼ではない」、「私たちは、明かりがついていると誤って信じる幻覚剤を服用していない」など、無限に公理的に述べなければなりません。真実か虚偽かの絶対的な確実性は、「4 辺の三角形を描くことは不可能である」、「独身者は全員未婚である」など、論理的に構築された抽象概念の意味でのみ存在します。)

何かが可能だが真実ではないという概念を理解するのが難しい人にとって、これらの用語の意味は、複数の「可能世界」（ライプニッツの意味で）または「代替宇宙」について考えることによってより理解しやすくなるかもしれません。つまり、「必要な」ことはすべての可能世界で真実であり、「可能な」ことは少なくとも 1 つの可能世界で真実であるということです。

物理法則によって許されるものは、物理的または理論的に可能である。^[要出典]たとえば、現在の理論では、原子番号126の原子が存在する可能性があると考えられているが、 ^[7]そのような原子は存在しない。対照的に、光速を超えて加速することは論理的には可能であるが、^[8]現代科学では、物質粒子や情報に対しては物理的に不可能であると規定されている。^[9]

哲学者^{[誰? ]}は、物体が科学的法則によって規定される性質とは独立した性質を持っているかどうかを議論します。たとえば、物理主義を主張する一部の人々が考えるように、すべての思考する存在は身体を持ち^{[10] 、}時間の経過を経験できることは形而上学的に必然的かもしれません。ソール・クリプキは、すべての人は必ず両親を持ち、両親が異なれば同じ人ではないと主張しました^{[11] 。}

形而上学的可能性は、単なる論理的可能性よりも制限的であると考えられてきた^[12] (つまり、形而上学的に可能なことは論理的に可能なことよりも少ない)。しかし、論理的可能性または物理的可能性との正確な関係 (もしあるとすれば) は論争の的となっている。哲学者^{[誰? ]}の間でも、形而上学的真実が単に「定義上」必然的なものなのか、それとも世界についての根底にある深い事実を反映しているのか、あるいはまったく別の何かなのかという点について意見が分かれている。

認識論的様相（ギリシャ語のepisteme、知識に由来）は、文の確実性を扱います。□ 演算子は「x は… を確信している」と翻訳され、◇ 演算子は「x が知っている限り、… は真実である可能性がある」と翻訳されます。日常会話では、形而上学的様相と認識論的様相はどちらもよく似た言葉で表現されます。次の対比が役立つかもしれません。

ジョーンズという人物は、(1)「いいえ、ビッグフットが存在する可能性はありません。私はそのことにかなり確信しています」と、(2)「もちろん、ビッグフットが存在する可能性はあります」の両方を言うのが妥当でしょう。ジョーンズが(1)で意味しているのは、入手可能なすべての情報を考慮すると、ビッグフットが存在するかどうかについては疑問の余地がないということです。これは認識論的な主張です。(2)によって、彼はビッグフットが存在する可能性があるという形而上学的主張をしていますが、彼はそうは思っていません。つまり、北アメリカの森林に、羽のない大きな二足歩行の動物で、毛が密生しているものが存在しないという物理的または生物学的な理由はないのです(存在するかどうかは関係ありません)。同様に、「この文章を読んでいる人が身長 14 フィートで、名前がチャドである可能性はある」というのは形而上学的には真実ですが (そのような人は身長と名前を理由にそうすることを何らかの形で妨げられることはないでしょう)、その説明に一致しない限り論理学的には真実ではなく、身長 14 フィートの人間が存在したことがなかったことが分かっている場合は認識論 的に真実ではありません。

反対に、ジョーンズは (3)「ゴールドバッハの予想が真である可能性はあるが、偽である可能性もある」、また( 4)「それが真であるならば、それは必然的に真であり、偽である可能性はない」と言うかもしれない。ここでジョーンズが意味しているのは、彼が知る限りでは、それが真であるか偽であるかは認識論的に可能だが(ゴールドバッハの予想は真か偽かは証明されていない)、証明があれば (これまで発見されていない)、ゴールドバッハの予想が偽であることは論理的に不可能である (ゴールドバッハの予想に違反する数の集合はあり得ない) ということが示されるだろう。論理的可能性は論理的可能性の一形態である。 (4) は、数学的真実が偽であった可能性があるかどうか (つまり、論理的に言えば) を主張するが、 (3) は、ジョーンズが知る限りでは (つまり、確実性について言えば)、数学的主張が具体的に真か偽かのどちらかである可能性があるかどうかのみを主張しており、したがってジョーンズはここでも矛盾していない。ジョーンズが必ずしも正しいわけではないことを指摘しておくことは価値がある。ゴールドバッハの予想は（認識論的には）真実でありながら証明不可能である 可能性がある。

認識論的可能性は、形而上学的可能性とは異なる形で現実世界にも影響を及ぼします。形而上学的可能性は世界がどうであったかに関係しますが、認識論的可能性は世界がどうなっているかに関係します(私たちが知る限り)。たとえば、出かける前に傘を持っていくべきかどうか知りたいとします。「外は雨が降っている可能性があります」と言えば (認識論的可能性の意味で)、傘を持っていくかどうかの判断材料になります。しかし、「外は雨が降っている可能性があります」と言えば(形而上学的可能性の意味で)、このわずかな様相的啓蒙によって私は何ら恩恵を受けられません。

認識論的様相論理のいくつかの特徴は議論の的となっている。例えば、x がpであることを知っている場合、x はpを知っていることを知っているだろうか？つまり、これらのシステムでは □ P → □□ Pが公理であるべきだろうか？この質問に対する答えは不明だが、^[13]認識論的様相論理に一般的に含まれる公理が少なくとも 1 つある。これは、すべての通常の様相論理に最低限当てはまるためである（公理システムのセクションを参照）。

• K、分布公理: 。${\displaystyle \Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)}$

認識論的様相と論理的様相は互いに区別されるべきかどうかが疑問視されてきた。批判によれば、「世界の真実」（論理的）と「個人の心の中の真実」（認識論的）の間には実質的な違いはないという。^{[14]調査では、}文法的な法則などによって論理的様相と認識論的様相が形式的に区別されている言語は一つも見つかっていない。^[15]

時制論理は、時制のある表現、つまり「いつ」という条件付きの表現の意味論を扱うアプローチです。「2 + 2 = 4」などの表現は常に真ですが、「ジョンは幸せだ」などの時制のある表現は時々しか真になりません。

時制論理では、時制構造は様相の観点から扱われます。時間に関する話を形式化する標準的な方法は、過去と未来を表す2組の演算子を使用することです (P は単に「現在 P が当てはまる」という意味になります)。たとえば、次のようになります。

F P  : 時にはP

G P : Pは 常にそうである

P P ： P が

H P ： Pは 常にそうでした

すると、少なくとも3つの様相論理を展開することができます。例えば、次のように規定することができます。

${\displaystyle \Diamond P}$= Pはある時刻tにおいて当てはまる

${\displaystyle \Box P}$= Pはすべての時刻tにおいて当てはまる

あるいは、これらの演算子を未来（または過去）のみを扱うように変更することもできます。たとえば、

${\displaystyle \Diamond _{1}P}$= F P

${\displaystyle \Box _{1}P}$= GP​

または、

${\displaystyle \Diamond _{2}P}$= Pおよび/またはF P

${\displaystyle \Box _{2}P}$= PとG P

演算子FとG は、最初は馴染みのないものに思えるかもしれませんが、通常の様相システムを作成します。F P は¬ G ¬ Pと同じです。上記の演算子を組み合わせて複雑なステートメントを作成できます。たとえば、P P → □ P P は(事実上)、 「過去であり真実であるものはすべて必然的である」と言います。

明日は雨が降るかもしれないし、降らないかもしれないと言うのは合理的に思えます。一方、過去を変えることはできないので、昨日雨が降ったことが真実であれば、昨日雨が降らなかったかもしれないということは真実ではあり得ません。過去は「固定」または必然的であるように思われますが、未来はそうではありません。これは偶然の必然性と呼ばれることもあります。しかし、過去が「固定」されており、未来にあるものはすべて最終的には過去になるのであれば、未来の出来事も必然的であると言うのは妥当に思えます。

同様に、未来の偶発性の問題は、未来についての主張の意味論を考慮します。つまり、「明日は海戦があるだろう」という命題と「明日は海戦はないだろう」という命題のどちらかが現在真実であるかどうかです。この命題を考慮したアリストテレスは、未来に関する主張の 二価性の原理を否定しました。

追加の二項演算子も時相論理に関連しています (線形時相論理を参照)。

時相論理のバージョンは、コンピュータサイエンスでコンピュータ操作をモデル化し、それらに関する定理を証明するために使用できます。 1 つのバージョンでは、 ◇ P は「計算中の将来の時点で、コンピュータの状態が P が真になる可能性がある」ことを意味します。 □ P は「計算中の将来のすべての時点で P が真になる」ことを意味します。 別のバージョンでは、 ◇ P は「計算の直後の状態で、Pが真になる可能性がある」ことを意味します。 □ P は「計算の直後の状態で、P が真になる」ことを意味します。 これらは、アクセシビリティ関係の選択が異なります。 (P は常に「現在のコンピュータ状態で P が真である」ことを意味します。) これら 2 つの例は、非決定性または完全には理解されていない計算に関係しています。 さまざまな種類のプログラム分析に特化した他の多くの様相論理があります。 それぞれが自然にわずかに異なる公理につながります。

同様に、道徳や義務、規範全般についての話は様相構造を持っているようです。「あなたはこれをしなければなりません」と「あなたはこれをしてもよいです」の違いは、「これは必要です」と「これは可能です」の違いによく似ています。このような論理は、ギリシャ語で「 義務」を意味する「義務論的」と呼ばれます。

義務論的論理には、クリプキ意味論におけるアクセス可能性関係の反射性に意味的に対応する公理T が通常ありません。記号では、 です。 □ を「義務である」と解釈すると、T は非公式にすべての義務が真であることを示します。たとえば、他人を殺さないことが義務である場合 (つまり、殺人は道徳的に禁じられている)、T は人々が実際には他人を殺さないことを意味します。結論は明らかに偽です。 ${\displaystyle \Box \phi \to \phi }$

代わりに、クリプキ意味論を使用すると、私たちの世界はすべての義務を実現していないが、それにアクセス可能な世界はそうする（つまり、これらの世界ではTが成り立つ）と言うことができます。これらの世界は理想化された世界と呼ばれます。Pは私たちの世界に関して義務的であり、私たちの世界にアクセス可能な理想化された世界があれば、Pが成り立ちます。これは形式意味論の最初の解釈の1つでしたが、最近批判されています。^[16]

義務論的原理としてしばしば（少なくとも伝統的に）受け入れられているもう 1 つの原理はD、であり、これはアクセス可能性関係の連続性（または拡張可能性または無制限性）に対応します。これは、「義務は可能を意味する」というカント的な考えを具体化したものです。（明らかに、「可能」は、道徳的または論理的意味など、さまざまな意味で解釈できます。） ${\displaystyle \Box \phi \to \Diamond \phi }$

倫理を標準的な様相論理で形式化しようとすると、いくつかの問題にぶつかります。命題K : あなたはいくらかのお金を盗みました、そして、別の命題Q : あなたは少額のお金を盗みました。ここで、「あなたがいくらかのお金を盗んだのなら、それは少額のお金であるべきだ」という考えを表現したいとします。可能性のある候補は 2 つあります。

（１）${\displaystyle (K\to \Box Q)}$

（２）${\displaystyle \Box (K\to Q)}$

しかし、(1) とK を合わせると、 □ Qとなり、これはあなたが少額のお金を盗んだはずである、ということになります。これは確かに正しくありません。なぜなら、あなたは何も盗んではいけないからです。また、(2) もうまくいきません。「あなたがいくらかのお金を盗んだとしたら、それは少額であるべきだ」の正しい表現が (2) であれば、(3)「あなたがいくらかのお金を盗んだとしたら、それは多額のはずだ」の正しい表現は です。ここで、(合理的に思えるのですが) 何も盗んではいけない、または と仮定します。しかし、 と(の逆説)を介して推論できます。したがって、文 (3) は私たちの仮説から導き出されます (もちろん、同じ論理で文 (2) がわかります)。しかし、これは正しくないはずであり、自然言語を使用する場合にも正しくありません。誰かに盗んではいけないと言うことは、確かに、もしその人が窃盗に手を染めたなら、多額のお金を盗むべきだということを意味しません。^[17]${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle \Box \lnot K}$${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle \Box (\lnot K)\to \Box (K\to K\land \lnot K)}$${\displaystyle \Box (K\land \lnot K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle Q\to K}$

ドクサスティック論理は、信念の論理（エージェントの集合）に関するものです。ドクサスティックという用語は、古代ギリシャ語の「信念」を意味する doxaに由来しています。通常、ドクサスティック論理では、多くの場合「B」と表記される □ を使用して、「それは信じられている」という意味になります。または、特定のエージェント s に相対化される場合は、「s によってそれは信じられている」という意味になります。

様相論理の最も一般的な解釈では、「論理的に可能な世界」を考慮します。すべての可能世界で文が真である場合、それは必然的な真実です。文が私たちの世界ではたまたま真であるが、すべての可能世界では真ではない場合、それは偶然の真実です。ある可能世界（必ずしも私たちの世界ではない）で真である文は、可能真実と呼ばれます。

この「可能世界イディオム」では、ビッグフットの存在は可能だが現実ではないと主張するには、「ビッグフットが存在する可能世界はあるが、現実世界にはビッグフットは存在しない」と言う。しかし、この主張が何を意味するのかは不明である。私たちは、現実世界と同じくらい現実的だが、現実ではない可能世界が存在すると本当に主張しているのだろうか？ソール・クリプキは、「可能世界」はやや誤った呼び方であり、「可能世界」という用語は可能性の概念を視覚化する便利な方法に過ぎないと考えている。^[18]彼にとって、「6 ではなく 4 を振る可能性もあった」という文と、「現実世界では 4 を振ったが 6 を振った可能性がある世界がある」という文は、それほど異なる文ではなく、どちらも可能世界の存在を私たちに約束するものではない。^[19] 一方、デイヴィッド・ルイスは、単に可能世界である世界はすべて私たちの世界と同じくらい現実的であり、私たちの世界を現実世界と区別するのは、それがまさに私たちの世界、つまりこの世界であるということだと主張して、辛抱強く主張し、悪名を馳せた。^{[20]この立場は「}様相実在論」の主要な信条である。哲学者の中には、様相実在論のいかなるバージョンも、存在論的に突飛であるとして支持せず、こうした存在論的コミットメントを言い換えるさまざまな方法を求める者もいる。ロバート・アダムズは、「可能世界」は「世界物語」、つまり一貫した命題の集合として考えた方がよいと主張している。したがって、そのような状況が首尾一貫して記述できる場合、4 を出した可能性がある。^[21]

コンピュータ科学者は、通常、分析対象の特定の種類の計算に特化した、モーダル演算子の非常に具体的な解釈を選択します。「すべての世界」の代わりに、「コンピュータのすべての可能な次の状態」または「コンピュータのすべての可能な将来の状態」を使用することもできます。

様相論理は文学、詩、芸術、歴史などの人文科学の分野で使われ始めている。^{[22] [23]}宗教哲学では、様相論理は神の存在を主張する議論によく使われる。^[24]

様相論理の基本的な考え方は古代に遡る。アリストテレスは分析学第一巻（第8章～第22章）で様相三段論法を展開し、テオプラストスはこれを改良しようとした。^{[25]アリストテレスの著作には、}解釈論§9の有名な海戦の議論など、様相論理と潜在性および時間の関連を予期したものと現在では見なされている箇所もある。ヘレニズム時代には、論理学者のディオドロス・クロノス、弁証法家フィロン、ストア派の哲学者クリュシッポスがそれぞれ、可能性と必然性の相互定義可能性を考慮した様相体系を展開し、公理T（下記参照）を受け入れ、様相論理と時間論理の要素を組み合わせて悪名高いマスター・アーギュメントを解決しようとした。^{[26]様相論理の最も初期の形式体系は}アヴィセンナによって開発され、彼は最終的に「時間的に様相的な」三段論法の理論を開発しました。^[27]自己認識的な主題としての様相論理は、スコラ学者、特にウィリアム・オッカムとドゥンス・スコトゥスの著作に大きく負っています。彼らは様相的な方法で非公式に推論し、主に本質と偶然性に関する陳述を分析しました。

19世紀、ヒュー・マッコールは様相論理に革新的な貢献をしたが、あまり評価されなかった。^[28] C.I.ルイスは、 1912年に「含意と論理の代数」から始まる一連の学術論文で現代の様相論理を確立した。^{[29] [30]}ルイスは、古典論理が、偽はあらゆる命題を含意するという原理のような物質的含意のパラドックスを認めているという理由で、様相論理、特に厳密な含意を発明した。^{[31]この研究は、1932年に}CHラングフォードと共著した著書「記号論理学」で最高潮に達し、^[32] 5つのシステムS1からS5を紹介した。

ルイスの後、様相論理は数十年間ほとんど注目されなかった。ニコラス・レッシャーは、これはバートランド・ラッセルがそれを拒絶したためだと主張した。^{[33]しかし、ヤン・デイノツカはこの見解に反論し、デイノツカが「MDL」と呼ぶ様相システムはラッセルの著作に記述されていると述べている。ただし、ラッセルは}『物質の分析』で書いたように、様相の概念は「命題と命題関数の混同から生じた」と信じていた。^[34]

ルース・C・バーカン（後のルース・バーカン・マーカス）は、ルイスのS2、S4、S5の第一および第二の拡張である量化様相論理の最初の公理系を開発した。^{[35] [36] [37]} アーサー・ノーマン・プライアーは、様相論理に対する偏見があるため、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインとの量化様相論理に関する議論には十分に備えるようにと彼女に警告した。^[38]

様相意味論の現代時代は、ソール・クリプキ(当時 18 歳のハーバード大学の学部生) が様相論理の現在の標準であるクリプキ意味論を導入した 1959 年に始まりました。これらは一般に「可能世界」意味論と呼ばれています。クリプキとAN プライアは以前からかなり長い間文通していました。クリプキ意味論は基本的に単純ですが、 EW ベスが説明しているように、意味表または解析表を使用すると証明が容易になります。

AN Prior は1957 年に、様相論理に密接に関連する現代の時相論理を考案しました。これは、「最終的に」と「以前に」を意味する様相演算子 [F] と [P] を追加したものです。Vaughan Pratt は1976 年に動的論理を導入しました。1977 年に、Amir Pnueli は、時相論理を使用して、継続的に動作する並行プログラムの動作を形式化することを提案しました。時相論理の種類には、命題動的論理(PDL)、(命題)線形時相論理(LTL)、計算木論理(CTL)、Hennessy–Milner 論理、およびTがあります。^{[説明が必要]}

様相論理の数学的構造、すなわち単項演算で拡張されたブール代数（しばしば様相代数と呼ばれる）は、 JCCマッキンゼーが1941年にS2とS4が決定可能であることを証明したことで現れ始め、^{[39] 、}アルフレッド・タルスキとその弟子ビャルニ・ヨンソンの研究で完全に開花した（ヨンソンとタルスキ1951-52）。この研究は、S4とS5が内部代数のモデルであることが明らかになった。内部代数は、もともと位相幾何学の内部演算子と閉包演算子の特性を捉えるために設計されたブール代数の適切な拡張である。様相論理に関するテキストでは、通常、ブール代数と位相幾何学の研究との関連についてしか触れられていない。形式様相論理の歴史と関連する数学の徹底的な調査については、ロバート・ゴールドブラット（2006）を参照のこと。 [ ^40]

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• 論理システムのリスト John Halleck による、ソース付きの多くの様相論理のリスト。
• 様相論理の進歩。様相論理に関する 2 年に 1 度の国際会議および書籍シリーズ。
• S4prover S4ロジックのタブロー証明器
• 「論理と位相に関するいくつかのコメント」 – リチャード・ムート著。様相論理 S4 の位相的 意味論を説明します。
• LoTREC IRIT/トゥールーズ大学の様相論理のための最も一般的な証明器