サブセット

数学では、集合 Aが集合Bのサブセットであるとは、 Aのすべての要素がBの要素でもある場合であり、その場合、 BはAのスーパーセットです。 AとBが等しい場合もあり、等しくない場合、 AはBの真サブセットです。1 つの集合が別の集合のサブセットである関係は、包含(または包含の場合もあります) と呼ばれます。AがBのサブセットであることは、 B がAを含む (または含む)またはAがBに含まれる (または含まれる)と表現することもできます。kサブセットは、 k個の要素を持つサブセットです。

定量化すると^[1]のように表される。${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right).}$

この主張は、要素論証^[2]と呼ばれる証明手法を適用することで証明できる。${\displaystyle A\subseteq B}$

集合AとBが与えられているとする。${\displaystyle A\subseteq B,}$

1. aはAの特定の、しかし任意に選ばれた要素であると仮定する
2. aがBの要素であることを示します。

この手法の有効性は、普遍的一般化の結果として見ることができます。つまり、この手法では、任意に選択された要素cに対して が示されます。普遍的一般化により、 は上記の と 同等であることが示されます。${\displaystyle (c\in A)\Rightarrow (c\in B)}$${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right),}$${\displaystyle A\subseteq B,}$

AとB が集合であり、Aのすべての要素がBの要素でもある場合、次のようになります。

• A はBのサブセットであり、と表記される。あるいは、${\displaystyle A\subseteq B}$
• BはAのスーパーセットであり、${\displaystyle B\supseteq A.}$

AがBのサブセットであるが、A がBと等しくない 場合（つまり、Aの要素ではない B の要素が少なくとも 1 つ存在する場合）、次のようになります。

• A はBの真部分集合（または厳密な部分集合）であり、と表記される。または、${\displaystyle A\subsetneq B}$
• B はAの真（または厳密）なスーパーセットであり、次のように表される。${\displaystyle B\supsetneq A.}$

または と表記される空集合 には要素がないため、任意の 集合Xの空集合として存在します。 ${\displaystyle \{\}}$${\displaystyle \varnothing,}$

• 反射性：任意の集合が与えられたとき、 ^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subseteq A}$
• 推移性：ならば、${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle A\subseteq C}$
• 反対称性:かつならば。${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle A=B}$

• 反射性なし: 任意の集合が与えられた場合、は False です。${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subsetneq A}$
• 推移性：ならば、${\displaystyle A\subsetneq B}$${\displaystyle B\subsetneq C}$${\displaystyle A\subsetneq C}$
• 非対称性: の場合はFalseです。${\displaystyle A\subsetneq B}$${\displaystyle B\subsetneq A}$

著者によっては、記号と をそれぞれ部分集合と上位集合を示すために使用しています。つまり、記号との代わりに、 と と同じ意味を持ちます。^[4]たとえば、これらの著者にとって、すべての集合Aについて(反射関係) は真です。 ${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \supseteq .}$${\displaystyle A\subset A.}$

他の著者は、適切な（厳密とも呼ばれる）部分集合と適切な上位集合をそれぞれ示すために、記号とを使用することを好みます。つまり、記号との代わりに、記号はおよびと同じ意味を持ちます^[5]この使用法では、とが不等号記号とに類似しています。たとえば、の場合、xはyと等しい場合も等しくない場合がありますが、の場合、 x はyと等しくなく、はyより小さくなります（非反射関係）。同様に、適切な部分集合 という規則を使用すると、の場合、 A はBと等しい場合も等しくない場合がありますが、の場合、A はBと等しくありません。 ${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \subsetneq }$${\displaystyle \supsetneq .}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle <.}$${\displaystyle x\leq y,}$${\displaystyle x<y,}$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle A\subseteq B,}$${\displaystyle A\subset B,}$

• 集合 A = {1, 2} は B = {1, 2, 3} の真部分集合なので、式と式は両方とも真です。${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle A\subsetneq B}$
• 集合 D = {1, 2, 3} はE = {1, 2, 3} のサブセット（ただし、真サブセットではない）であるため、真であり、真ではない（偽）です。${\displaystyle D\subseteq E}$${\displaystyle D\subsetneq E}$
• 集合 { x : xは10 より大きい素数} は、集合 { x : xは 10 より大きい奇数}の真部分集合である。
• 自然数の集合は有理数の集合の真部分集合です。同様に、線分の点の集合は直線の点の集合の真部分集合です。これらは、部分集合と集合全体が両方とも無限であり、部分集合が全体と同じ濃度（有限集合のサイズ、つまり要素の数に対応する概念）を持つ 2 つの例です。このようなケースは、最初の直感に反する可能性があります。
• 有理数の集合は、実数の集合の適切な部分集合です。この例では、両方の集合は無限ですが、後者の集合は前者の集合よりも大きな濃度（または累乗）を持ちます。

オイラー図の別の例:

• 
  A は B の適切な部分集合です。
• 
  C は B のサブセットですが、真サブセットではありません。

のすべての部分集合の集合はその冪集合と呼ばれ、 と表記される。^[6]${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$

包含関係は 、によって定義される集合上の半順序である。逆集合包含によって半順序付けすることもでき、次のように定義する。${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle A\leq B{\text{ if and only if }}B\subseteq A.}$

集合Sの冪集合について、包含半順序は、順序同型性を除き、上の半順序の( Sの濃度) コピーの直積である。これは、 を列挙し、 がT のメンバーである場合に限り、i番目の座標が 1 となるk組を各サブセット(つまり、 の各要素)に関連付けることで示せます 。${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$${\displaystyle k=|S|}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle 0<1.}$${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$${\displaystyle T\subseteq S}$${\displaystyle 2^{S}}$${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$${\displaystyle s_{i}}$

のすべての -部分集合の集合は、 -元集合の -部分集合の数を数える二項係数の表記法 と類似して、 で表されます。集合論では、特に が超限基数である場合に、という表記法も一般的です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tbinom {A}{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [A]^{k}}$${\displaystyle k}$

• 集合AがBの部分集合となるのは、それらの共通部分が A と等しい場合のみです。正式には、

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.}$

• 集合A が集合Bの部分集合となるのは、それらの和が集合 B に等しい場合のみです。正式には、次のようになります。

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.}$

• 有限集合Aが Bの部分集合となるのは、それらの共通部分の濃度が A の濃度と等しい場合のみです。正式には、

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.}$

• 部分集合関係は、集合上の半順序を定義します。実際、与えられた集合の部分集合は、部分集合関係の下でブール代数を形成します。この部分集合関係では、結合と会合は交差と和集合によって与えられ、部分集合関係自体はブール包含関係です。
• 包含は標準的な半順序であり、すべての半順序集合は包含によって順序付けられた集合の集合と同型である。順序数は簡単な例である。各順序数nがn以下のすべての順序数の集合と同一視される場合、${\displaystyle (X,\preceq )}$${\displaystyle [n]}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

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• ジェック、トーマス(2002)。集合論。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-44085-2。

• ウィキメディア・コモンズのサブセットに関連するメディア
• ワイスタイン、エリック・W.「サブセット」。マスワールド。