スペクトル空間

数学において、スペクトル空間は可換環のスペクトルに同相な位相空間である。コヒーレントトポイとの関連から、コヒーレント空間と呼ばれることもある。

X を位相空間とし、K ( X )をXのすべてのコンパクトな開部分集合の集合と します。X がスペクトルであるとは、次の条件をすべて満たす場合です。 ^{${\displaystyle \circ}$}

• X はコンパクトで、T ₀です。
• K ( X ) はXの開集合の基底です。^{${\displaystyle \circ}$}
• K ( X ) は有限交差に対して閉じている。^{${\displaystyle \circ}$}
• X は非可約閉集合である、すなわち、Xの空でない既約 閉集合はすべて（必然的に唯一の）一般点を持つ。

X を位相空間とします。次の各特性は、 Xがスペクトルであるという特性と同等です。

1. Xは有限T0_空間の射影極限に同相である。
2. X は有界分配格子Lのスペクトルに同相である。この場合、L は（有界格子として）格子K ( X ) に同型である（これは分配格子のストーン表現と呼ばれる）。 ^{${\displaystyle \circ}$}
3. X は可換環のスペクトルに同相である。
4. X はプリーストリー空間によって決定される位相空間です。
5. X は、開集合のフレームがコヒーレントなT ₀空間です(そして、すべてのコヒーレント フレームは、このようにして一意のスペクトル空間から来ます)。

X をスペクトル空間とし、 K ( X ) を前と同じとします。すると、 ^{${\displaystyle \circ}$}

• K ( X ) はXの部分集合の有界部分格子です。^{${\displaystyle \circ}$}
• Xのすべての閉じた部分空間はスペクトルです。
• Xのコンパクト部分集合と開部分集合（つまりK ( X )の元）の任意の交差もスペクトル集合となる。^{${\displaystyle \circ}$}
• Xは定義によりT ₀であるが、一般にはT ₁ではない。^[1]実際、スペクトル空間がT ₁であるのは、それがハウスドルフ（またはT _{2 ）である場合、かつそれが}ブール空間である場合、かつK ( X )がブール代数である場合に限ります。^{${\displaystyle \circ}$}
• Xは対となるストーン空間として見ることができる。^[2]

スペクトル空間XとY の間のスペクトル写像 f : X → Yは、 fの下でのYのすべての開いたコンパクトな部分集合の逆像が再びコンパクトになるような連続写像です。

スペクトル写像を射として持つスペクトル空間のカテゴリは、有界分配格子のカテゴリ（およびそのような格子の準同型）と双対的に同値である。[ 3 ]この反^同値性において、スペクトル空間Xは格子K（X）に対応する。 ^{${\displaystyle \circ}$}