収束空間

数学において、収束空間は一般化収束とも呼ばれ、 Xの元とX上のフィルタの族を関連付ける特定の性質を満たす、収束と呼ばれる関係を伴う集合です。収束空間は、計量収束や一様収束など、点集合位相に見られる収束の概念を一般化したものです。すべての位相空間は標準収束を生じますが、どの位相空間からも生じない非位相収束と呼ばれる収束もあります。 ^[1]一般に非位相的である収束の例としては、ほぼあらゆる所での収束があります。多くの位相的性質は、収束空間に一般化されています。

位相では記述できない収束の概念を記述できることに加え、収束空間の圏は位相空間の圏が欠いている重要な圏論的性質を持つ。位相空間の圏は指数圏ではない（または同義で、直交閉ではない）が、擬位相空間の指数圏に含まれ、擬位相空間の指数圏は収束空間の（これも指数的な）圏のサブカテゴリーである。 ^[2]

集合の冪集合を次のように表す^。[3]における部分集合族の上方閉包 または等音化は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X).}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\left\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ ある }}B\in {\mathcal {B}}\,\right\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\left\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\right\}}$

同様に、の下向き閉包は（それぞれ） の場合、 は上向き閉包（それぞれ下向き閉包）であると言われる。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\left\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\right\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }={\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$

家族のために宣言する ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}},}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$任意のに対して、${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle F\subseteq C}$

または、同等に、 の場合、の場合に限り、関係はの事前順序を定義します。定義により が である場合、 はに従属し、 より細かいと言われ、 はより粗いと言われることになります。この関係は従属関係と呼ばれます。 および 2 つの族は、および の場合に同等(従属関係に関して)と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \,\geq \,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}.}$

集合 上のフィルタは${\displaystyle X}$、有限交差の下で閉じているにおいて上向きに閉じている空でない部分集合であり、空集合を要素として持たない (つまり)。プレフィルタは、(従属関係に関して) 何らかのフィルタと同等である集合の族、または同等に、上向き閉包がフィルタである集合の族である。族がプレフィルタ(フィルタ ベースとも呼ばれる) であるのは、任意の に対してが存在する場合、かつその場合に限ります。 フィルタサブベースは、有限交差特性を持つ任意の空でない集合の族です。同等に、フィルタ (またはプレフィルタ) のサブセットとして含まれる任意の空でない族であり、その場合、 を含む最小の (またはに関して) フィルタは、 によって生成されるフィルタ(上)と呼ばれます。 上のすべてのフィルタ(それぞれプレフィルタ、フィルタ サブベース、ウルトラフィルタ)の集合は、 (それぞれ)によって表されます。上の点における主フィルタまたは離散フィルタは、フィルタ です。${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A\subseteq B\cap C.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {フィルター} (X)}$${\displaystyle \operatorname {プレフィルタ} (X),}$ ${\displaystyle \operatorname {FilterSubbases} (X),}$ ${\displaystyle \operatorname {UltraFilters} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$

任意のifについて定義する ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \wp (\wp (X)),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}:=\left\{x\in X~:~\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi \right\}}$

そして定義する ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }^{-1}(x):=\left\{{\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)~:~\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi \right\}}$

ならば、ならば、 ならば、 の場合に限り、 集合はの基礎集合と呼ばれ、 ^[1]で表されます。${\displaystyle \left(x,{\mathcal {F}}\right)\in X\times \wp (\wp (X))}$${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \left|\xi \right|:=X.}$

空でない集合上の前収束[ ^{1] [2] [4]}は、次の性質を持つ 二項関係である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$

1. 等音:ならば、${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}\subseteq \lim {}_{\xi }{\mathcal {G}}}$
   • 言葉で言えば、の任意の極限点は、必然的に任意のより細かい/従属的なファミリーの極限点である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\geq {\mathcal {F}}.}$

さらに、次の特性も備えている場合:

2. 中央揃え: if then${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi }\left(\{x\}^{\uparrow X}\right)}$
   • 言い換えると、主/離散ウルトラフィルタが${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

となる。この前収束は^[1]上の収束と呼ばれる。一般化収束 または収束空間（それぞれ前収束空間）は、集合と^[1]上の収束（それぞれ前収束）からなるペアである。${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

前収束は、次のように定義される関係に標準的に拡張することができる^[1]。${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle X\times \operatorname {Prefilters} (X),}$${\displaystyle \xi ,}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}:=\lim {}_{\xi }\left({\mathcal {F}}^{\uparrow X}\right)}$

すべてに対してこの拡張された前収束は、等音となり、その場合、${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Prefilters} (X).}$${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X),}$${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Prefilters} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}\subseteq \lim {}_{\xi }{\mathcal {G}}.}$

をとする位相空間とします。がの近傍フィルタを表す場合、はで表されたの点に収束するといわれます。におけるすべて の の集合はまたは単にで表され、この集合の要素はにおけるの極限点と呼ばれます。に関連付けられる、またはによって誘導される (標準)収束は で表され、すべてに対して、すべてに対して で定義される への収束です。 ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X\neq \varnothing .}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {N}}(x),}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim {}_{X}{\mathcal {F}},}$${\displaystyle \lim {\mathcal {F}},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \xi _{\tau },}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi _{\tau }}{\mathcal {F}}}$の場合のみ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

同様に、すべての${\displaystyle \lim {}_{\xi _{\tau }}{\mathcal {F}}:=\lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$

上の何らかの位相によって誘導される（事前）収束は位相的（事前）収束と呼ばれ、そうでない場合は非位相的（事前）収束と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$

およびを位相空間とし、 を連続写像の集合とする。および に関するべき乗は 、自然な結合を連続写像にする上の最も粗い位相である^[2] べき乗を求める問題は、が局所コンパクトでない限り解がない。しかし、位相ではなく収束を探す場合、この問題を解く収束が常に存在する (局所コンパクト性がなくても)。^[2]言い換えれば、位相空間のカテゴリは指数カテゴリではない(つまり、直交閉 ではない) が、擬位相の指数カテゴリに含まれ、擬位相の指数カテゴリ自体は (これも指数) 収束カテゴリのサブカテゴリである。^[2]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (Z,\sigma )}$${\displaystyle C:=C\left((X,\tau );(Z,\sigma )\right)}$${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Z,\sigma ).}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle =f(x)}$${\displaystyle (X,\tau )\times \left(C,\theta \right)\to (Z,\sigma ).}$${\displaystyle (X,\tau )}$

標準収束${\displaystyle \mathbb {R} }$

実数直線上の標準収束は${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$、すべてのおよびすべての に対して次のように定義される への収束である^[1]。${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X=\mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\nu }{\mathcal {F}}}$もし、もし、${\displaystyle {\mathcal {F}}~\geq ~\left\{\left(x-{\frac {1}{n}},x+{\frac {1}{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \right\}.}$

離散収束

空でない集合上の離散前収束 は、すべておよびすべてに対して次のように定義されます^[1]。${\displaystyle \iota _{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\iota _{X}}{\mathcal {F}}}$もし、もし、${\displaystyle {\mathcal {F}}~=~\{x\}^{\uparrow X}.}$

上の前収束は、次の場合のみ収束となる^[1]${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \xi \leq \iota _{X}.}$

空の収束

空でない集合上の空の前収束は、すべて[ 1 ^]に対して次のように定義されます。${\displaystyle \varnothing _{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle \lim {}_{\varnothing _{X}}{\mathcal {F}}:=\emptyset .}$

これは の事前収束ではあるが、 の収束ではない。の空事前収束は非位相的事前収束である。なぜなら、 の任意の位相に対して、任意の点における近傍フィルタは必ず に収束するからである。${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X\neq \varnothing }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

混沌とした収束

空でない集合上のカオス的前収束 は、すべてに対して次のように定義されます^[1]。上のカオス的前収束は、 が非離散位相を備えている場合に、 によって誘導される標準収束に等しくなります。${\displaystyle o_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle \lim {}_{o_{X}}{\mathcal {F}}:=X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

空でない集合上の前収束はハウスドルフまたは、すべてに対してが単独集合である場合はT ₂^{と呼ばれます[1]}すべてに対してである場合はT ₁ と呼ばれ、すべてに対して異なる場合はT ₀と呼ばれます^[1]有限集合上の すべてのT ₁^{前収束はハウスドルフです。 [1]}有限集合上の すべてのT ₁^{収束は離散的です。 [1]}${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$${\displaystyle \lim {}_{\xi }\left(\{x\}^{\uparrow X}\right)\subseteq \{x\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {lim} ^{-1}{}_{\xi }(x)\neq \operatorname {lim} ^{-1}{}_{\xi }(y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$

位相空間のカテゴリは指数的（つまりデカルト的に閉じた）ではないが、収束空間のサブカテゴリを使用することで指数的カテゴリに拡張することができる。^[2]

• コーシー空間 – 一般位相と解析学の概念
• 位相空間のカテゴリの特徴
• 収束フィルター – フィルターを使用して、すべての基本的なトポロジの概念と結果を記述および特徴付けます。Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 近接空間 – サブセット間の「近さ」の概念を記述する構造
• 位相空間 – 近さの概念を持つ数学的空間