スペシャライゼーション（事前）注文

位相幾何学として知られる数学の分野において、特殊化（または標準）順序は、位相空間の点の集合における自然な順序である。実際に考慮されるほとんどの空間、すなわちT ₀分離公理を満たすすべての空間では、この順序は部分的な順序（特殊化順序と呼ばれる）でさえある。一方、T ₁空間では順序は自明となり、あまり重要ではない。

特殊化順序は、T ₀空間が表示的意味論で出現するコンピュータサイエンスのアプリケーションでよく考慮されます。特殊化順序は、順序理論で行われるように、半順序集合上の適切なトポロジーを識別するためにも重要です。

任意の位相空間X を考えてみましょう。X上の特殊化前順序≤ は、Xの2 つの点の一方が他方の閉包内にある場合に、それらの点を関連付けます。しかし、順序がどの「方向」に進むべきかについては 、さまざまな著者が意見を異にしています。合意されているのは^{[引用が必要] 、}

xはcl{ y }に含まれる、

（ここで、cl{ y }は単集合{ y }の閉包、つまり{ y }を含むすべての閉集合の共通部分を表す）、xはyの特殊化であり、yはxの一般化であると言う。これは通常、y⤳xと表記される。

残念なことに、「 x はyの特殊化である」という性質は、さまざまな著者によって「x ≤ y」や「y ≤ x」と表記されることがあります（それぞれ^[1]と^[2]を参照）。

どちらの定義も直感的に正当性がある。前者の場合、

cl{ x } ⊆ cl{ y }のときのみx ≤ y となる。

しかし、空間Xが可換環Rの素スペクトル Spec Rである場合（代数幾何学に関連する応用における動機付けの状況）、順序の2番目の定義の下では、

環Rの素イデアルとしてy ≤ xである場合、かつその場合に限りy ⊆ xである。

一貫性を保つために、この記事の残りの部分では、最初の定義、「xはyの特殊化である」をx ≤ yと表記することにします。すると、

x ≤ yであるのは、 x がy を含むすべての閉集合に含まれる場合のみです。

x ≤ yであるのは、 y がx を含むすべての開集合に含まれている場合のみです。

これらの言い換えは、なぜ「特殊化」という言葉が使われるかを説明するのに役立ちます。つまり、yはxよりも一般的です。なぜなら、 y はより多くの開集合に含まれているからです。閉集合を点x が持つかもしれない、あるいは持たないかもしれない特性と見なすと、これは特に直感的です。点を含む閉集合が多いほど、その点が持つ特性が多くなり、より特殊になります。この用法は、種と種の古典的な論理概念と一致しています。また、代数幾何学における一般的な点の伝統的な用法とも一致しています。代数幾何学では、閉点が最も特殊ですが、空間の一般的な点は、すべての空でない開部分集合に含まれる点です。特殊化という概念は、付値理論にも適用されています。

上位要素がより具体的であるという直感は、コンピュータ サイエンスで幅広く応用されている順序理論の分野である ドメイン理論に典型的に見られます。

X を位相空間とし、 ≤ をX上の特殊化順序とします。すべての開集合は≤ に関して上集合であり、すべての閉集合は下集合です。逆は一般には成り立ちません。実際、位相空間がアレクサンドロフ離散空間となるのは、すべての上集合が開集合でもある場合（または同等に、すべての下集合が閉集合でもある場合）のみです。

A をXのサブセットとします。Aを含む最小の上集合は↑ Aと表記され、 A を含む 最小の下集合は↓ Aと表記されます。A = { x } がシングルトンの場合は、 ↑ xおよび ↓ xという表記を使用します。x ∈ Xの場合、次のようになります。

• ↑ x = { y ∈ X  : x ≤ y } = ∩{ xを含む開集合}。
• ↓ x = { y ∈ X  : y ≤ x } = ∩{ xを含む閉集合} = cl{ x }.

下集合 ↓ x は常に閉じています。ただし、上集合 ↑ x は開いている必要も閉じている必要もありません。位相空間Xの閉点は、≤ に関する Xの最小要素とまったく同じです。

• 開集合{∅, {1}, {0,1}}を持つシェルピンスキー空間{0,1}では、特殊化順序は自然な順序（0 ≤ 0、0 ≤ 1、1 ≤ 1）です。
• p、qがSpec ( R )（可換環Rのスペクトル）の元である場合、 p≤qであるためにはq⊆p（素イデアルとして）が成立する必要がある。したがって、Spec ( R )の閉点はまさに最大イデアルである。

名前が示すように、特殊化の事前順序は事前順序、つまり反射的かつ推移的です。

特殊化の順序によって決定される同値関係は、まさに位相的区別不能性の同値関係です。つまり、 x と y が位相的に区別不能なのは、 x ≤ y かつ y ≤ x の場合のみです。したがって、 ≤の反対称性は、まさにT 0 分離公理です。つまり、xと_yが区別不能な場合は、 x = y です。この場合、特殊化順序について話すことは正当です。

一方、特殊化順序の対称性は、 R ₀分離公理と同等です。つまり、 x ≤ y は、 xとy が位相的に区別できない場合に限ります。したがって、基礎となる位相が T ₁の場合、特殊化順序は離散的であり、x = yの場合に限りx ≤ yとなります。したがって、特殊化順序は T ₁位相、特にすべてのハウスドルフ空間ではあまり重要ではありません。

2 つの位相空間間の連続関数 はいずれも、これらの空間の特殊化事前順序に関して単調である。つまり、 となる 。ただし、その逆は一般には成り立たない。圏論の言語では、位相空間のカテゴリから事前順序付き集合のカテゴリへの関数が存在し、これによって位相空間に特殊化事前順序が割り当てられる。この関数には左随伴関数があり、これによってアレクサンドロフ位相が事前順序付き集合上に 置かれる。${\displaystyle f}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$

_{この順序が興味深い T 0}空間よりも特殊な空間が存在します。それは、非定常空間です。これらと特殊化順序との関係はより微妙です。

特殊化順序≤を持つ任意の 冷静な空間Xに対して、

• ( X , ≤) は有向完全半順序である、すなわち、( X , ≤)のすべての有向部分集合 Sは上限sup Sを持ち、
• ( X , ≤ ) のすべての有向部分集合Sとすべての開集合Oに対して、 sup SがOに含まれる場合、SとO は空でない共通集合を持ちます。

2 番目の特性は、開集合は有向頂点によってアクセス不可能であると言うことで説明できます。位相が特定の順序 ≤ に関して順序整合的であるとは、それがその特殊化順序として ≤ を誘導し、≤ 内の有向集合の (既存の) 頂点に関してアクセス不可能であるという上記特性を持つ場合です。

特殊化順序は、あらゆるトポロジーから事前順序を取得するためのツールを生み出します。逆を求めるのも自然です。つまり、あらゆる事前順序は、何らかのトポロジーの特殊化事前順序として取得されるのでしょうか?

実際、この質問に対する答えは「はい」であり、一般に、特定の順序 ≤ を特殊化順序として誘導する集合X上の位相が多数存在します。順序 ≤ のアレクサンドロフ位相は特別な役割を果たします。これは、≤ を誘導する最も細かい位相です。もう一方の極値、つまり ≤ を誘導する最も粗い位相は、上位相、つまり集合 ↓ x ( X内の任意のxについて)のすべての補集合が開いている最小の位相です。

これら 2 つの極端な位相の間にも興味深い位相があります。与えられた順序 ≤ に対して上記の意味で順序無矛盾な最も微細なソバー位相はスコット位相です。ただし、上部位相は依然として最も粗いソバー順序無矛盾位相です。実際、その開集合はどの上限からもアクセスできません。したがって、特殊化順序 ≤ を持つソバー空間は上部位相よりも細かく、スコット位相よりも粗いです。ただし、そのような空間は存在しない可能性があります。つまり、ソバー順序無矛盾位相が存在しない部分順序が存在します。特に、スコット位相は必ずしもソバーではありません。

• MM Bonsangue、「意味論におけるトポロジカル双対性」、Electronic Notes in Theoretical Computer Scienceの第 8 巻、1998 年。著者の博士論文の改訂版。オンラインで入手可能。特に、コンピュータ サイエンスの表示的意味論の観点から動機を説明している第 5 章を参照してください。著者のホームページも参照してください。