エアランゲンプログラム

数学におけるエアランゲン プログラムは、群理論と射影幾何学に基づいて幾何学を特徴付ける方法です。 1872 年にフェリックス・クラインによって『Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forshungen』として出版されました。この名前は、クラインが勤務していたエアランゲン・ニュルンベルク大学にちなんで命名されました。

1872 年までに、非ユークリッド幾何学は登場しましたが、その階層と関係を決定する方法がありませんでした。クラインの方法は、次の 3 つの点で根本的に革新的でした。

• 射影幾何学は、彼が考察した他のすべての幾何学を統一する枠組みとして強調されました。特に、ユークリッド幾何学はアフィン幾何学よりも制限が厳しく、アフィン幾何学は射影幾何学よりも制限が厳しいです。

• クラインは、対称性の概念を抽象化するために代数的手法を使用する数学の分野である群論が幾何学的知識を体系化する最も有用な方法であると提唱した。当時、群論はガロア理論の形ですでに方程式の理論に導入されていた。

• クラインは、それぞれの幾何学的言語にはそれ自身の適切な概念があるという考えをより明確にしました。したがって、たとえば射影幾何学は円錐曲線については正しく論じましたが、円や角度については論じませんでした。なぜなら、それらの概念は射影変換に対して不変ではなかったからです(幾何学的遠近法ではおなじみのことです)。その後、幾何学の複数の言語が再びひとつになった方法は、対称群のサブグループが互いに関連する方法によって説明できます。

その後、エリー・カルタンはクラインの同次モデル空間を特定の主バンドル上のカルタン接続に一般化し、リーマン幾何学を一般化しました。

ユークリッド以来、幾何学は2次元 (平面幾何学) または3次元 (立体幾何学) のユークリッド空間の幾何学を意味していた。19世紀前半には、状況を複雑にするいくつかの展開があった。数学的応用には4次元以上の幾何学が必要となり、伝統的なユークリッド幾何学の基礎を綿密に検討した結果、平行線公理が他の公理から独立していることが明らかになり、非ユークリッド幾何学が誕生した。クラインは、これらすべての新しい幾何学は、ポンスレ、メビウス、ケイリーらによってすでに展開されている射影幾何学の特殊なケースにすぎないという考えを提唱した。クラインはまた、数理物理学者に対して、射影の範囲を適度に培うだけでも大きな利益がもたらされる可能性があることを強く示唆した。

クラインは、あらゆる幾何学に、基礎となる対称性群を関連付けました。したがって、幾何学の階層は、これらの群の階層と、それらの不変量の階層として数学的に表現されます。たとえば、長さ、角度、面積は、ユークリッド対称群に関して保存されますが、最も一般的な射影変換では、接続構造と複比のみが保存されます。アフィン幾何学で保存される平行性の概念は、射影幾何学では意味がありません。次に、幾何学から基礎となる対称性群を抽象化することにより、それらの関係をグループレベルで再構築できます。アフィン幾何学の群は射影幾何学の群のサブグループであるため、射影幾何学で不変である概念は、アフィン幾何学で先験的に意味を持ちます。ただし、その逆は当てはまりません。必要な対称性を削除すると、理論はより強力になりますが、概念と定理は少なくなります（より深く、より一般的なものになります）。

言い換えれば、「伝統的な空間」は均質な空間ですが、一意に決定されたグループではありません。グループを変更すると、適切な幾何学的言語が変わります。

今日の言語では、古典幾何学に関係する群はすべて、リー群、すなわち古典群としてよく知られています。特定の関係は、専門用語を使用して非常に簡単に説明されます。

たとえば、n実数値次元の射影幾何学の群は、 n次元実射影空間の対称群(スカラー行列で割った次数n + 1の一般線型群) です。アフィン群は、無限遠で選択された超平面を尊重する (点ごとに固定するのではなく、自分自身にマッピングする) 部分群になります。この部分群は既知の構造 (次数nの一般線型群と平行移動の部分群との半直積) を持ちます。この説明から、どの特性が「アフィン」であるかがわかります。ユークリッド平面幾何学の用語では、平行四辺形はアフィンです。アフィン変換では常に 1 つの平行四辺形が別の平行四辺形に変換されるからです。円はアフィンではありません。アフィンせん断によって円が楕円になるからです。

アフィン幾何学とユークリッド幾何学の関係を正確に説明するには、アフィン群内のユークリッド幾何学の群を特定する必要があります。ユークリッド群は、実際には (アフィン群の以前の説明を使用すると) 直交 (回転と反射) 群と平行移動の半直積です。(詳細については、 クライン幾何学を参照してください。)

エアランゲン計画の長期的な影響は、純粋数学のあらゆる分野で見ることができます（たとえば、合同性（幾何学）における暗黙の使用を参照）。また、対称群を使用した変換と合成の考え方は、物理学の標準となっています。

同相写像の下で不変な性質という観点からトポロジーが日常的に説明されると、その根底にある考え方が実際に機能しているのがわかる。関係する群はほとんどの場合無限次元であり、リー群ではないが、考え方は同じである。もちろん、これは主にクラインの教育的影響を物語っている。HSMコクセターなどの著書では、幾何学を「配置」するのにエアランゲン・プログラムのアプローチが日常的に使用されていた。教育用語では、このプログラムは変換幾何学となったが、ユークリッドのスタイルよりも強い直観に基づいているが、論理システムに変換するのが難しいという意味で、一長一短である。

ジャン・ピアジェは著書『構造主義』（1970年）の中で、「ブルバキのような現代の構造主義数学者の目には、エアランゲン・プログラムは構造主義の部分的な勝利にしか過ぎない。なぜなら、彼らは幾何学だけでなくすべての数学を構造という概念に従属させたいと考えているからだ」と述べている。

幾何学とその群の場合、群の要素は幾何学の運動と呼ばれることがあります。たとえば、双曲幾何学のポアンカレ半平面モデルは、双曲運動に基づく展開を通じて学ぶことができます。このような展開により、連続的な運動によって超平行定理を系統的に証明することができます。

多くの場合、同型自己同型群を持つ2 つ以上の異なる幾何学が存在するように見えます。抽象群から幾何学への エルランゲン プログラムを読み取るという問題が生じます。

一例を挙げると、向きのある（つまり、反射は含まれない）楕円幾何学（つまり、対角が同一視されたn球面の表面）と向きのある 球面幾何学（同じ非ユークリッド幾何学だが、対角が同一視されていない）は、偶数のnに対して同型 自己同型群SO( n +1)を持ちます。これらは異なるように見えるかもしれません。しかし、これらの幾何学は非常に密接に関連しており、明確に表現できることがわかります。

別の例を挙げると、異なる曲率半径を持つ楕円幾何学には同型自己同型群があります。このような幾何学はすべて同型なので、これは批判にはなりません。一般的なリーマン幾何学はプログラムの境界外です。

複素数、双対数、倍数（分割複素数とも呼ばれる）数は、群SL(2, R )とその部分群H=A、N、Kに対して、同次空間SL(2, R )/Hとして現れる^。[1]群SL(2, R )は、これらの同次空間に対して線型分数変換によって作用し、それぞれの幾何学の大部分は、エルランゲン計画から均一な方法で得ることができる。

物理学の分野では、さらに注目すべき例がいくつか出てきました。

まず、n次元双曲幾何学、n次元ド・ジッター空間、( n −1)次元反転幾何学はすべて同型自己同型群を持ち、

${\displaystyle \mathrm {O} (n,1)/\mathrm {C} _{2},\ }$

直交ローレンツ群、n ≥ 3。しかし、これらは明らかに異なる幾何学です。ここで、物理学からの興味深い結果がいくつか登場します。3 つの幾何学のそれぞれにおける物理モデルは、いくつかのモデルに対して「双対」であることが示されています。

また、n次元反ド・ジッター空間と「ローレンツ」シグネチャを持つ ( n −1) 次元共形空間(3 次元以上では反転幾何学と同一である「ユークリッド」シグネチャを持つ共形空間とは対照的) は同型自己同型群を持ちますが、異なる幾何学です。もう一度言いますが、物理学には両方の空間の間に「双対性」を持つモデルがあります。詳細については AdS/CFT を参照してください。

SU(2,2)の被覆群はSO(4,2)の被覆群と同型であり、SO(4,2)は4次元共形ミンコフスキー空間と5次元反ド・ジッター空間および複素4次元ツイスター空間の対称群である。

したがって、エアランゲン計画は、物理学の二重性との関係において、依然として有望であると考えられる。

カテゴリーを導入した画期的な論文で、サンダース・マクレーンとサミュエル・アイレンバーグは次のように述べている。「これは、変換群を持つ幾何学的空間が、写像代数を持つカテゴリーに一般化されるという意味で、クライン・アーランガー・プログラムの延長とみなすことができる。」^[2]

エアランゲン計画と幾何学における群論に関するチャールズ・エアレスマンの研究との関係については、以下のプラディネスによる論文で考察されている。^[3]

数理論理学において、エアランゲン・プログラムはアルフレッド・タルスキの論理概念の分析にもインスピレーションを与えた。^[4]

ウィキブック幾何学には、グループに関するページがあります。

• Klein, Felix (1872)「幾何学における最近の研究の比較レビュー」。完全な英語訳は https://arxiv.org/abs/0807.3161 にあります。
• Sharpe, Richard W. (1997)微分幾何学: カルタンによるクラインのエルランゲン プログラムの一般化第 166 巻。Springer。
• ハインリッヒ・グッゲンハイマー（1977）『微分幾何学』ドーバー、ニューヨーク、ISBN 0-486-63433-7。 

リー、クライン、カルタンの研究を取り上げています。139 ページで、グッゲンハイマーは「クライン幾何学は、推移的変換群の幾何学的不変量の理論です (エアランゲン プログラム、1872)」と述べてこの分野を要約しています。

• トーマス・ホーキンス (1984)「フェリックス・クラインのエルランガー計画:数学史におけるその位置についての考察」、Historia Mathematica 11:442–70。
• 「エアランゲン プログラム」、数学百科事典、EMS プレス、2001 [1994]
• Lizhen Ji と Athanase Papadopoulos (編集者) (2015) Sophus Lie と Felix Klein: エアランゲン プログラムと数学および物理学におけるその影響、IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23、European Mathematical Society Publishing House、チューリッヒ。
• Felix Klein (1872) 「Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forshungen」 (「幾何学における最近の研究の比較レビュー」)、Mathematische Annalen、43 (1893) pp. 63–100 (別名: Gesammelte Abh. Vol. 1、Springer、 1921 年、460 ～ 497 ページ）。

メレン・ハスケルによる英訳がBull. NY Math. Soc 2 (1892–1893): 215–249に掲載されました。

エアランゲンプログラムのオリジナルのドイツ語テキストは、ミシガン大学のオンラインコレクション[1]で閲覧でき、HTML形式では[2]でも閲覧できます。

John Baezが管理するErlangenプログラムに関する中心的な情報ページは[3]にあります。

• フェリックス・クライン（2004）『高度な視点から見た初等数学：幾何学』ドーバー、ニューヨーク、ISBN 0-486-43481-8 

( Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus の翻訳、Teil II: Geometrie、Springer 発行、1924 年)。エアランゲン プログラムに関するセクションがあります。