屋外スペース

数学において、位相空間Xにおける外部性の概念は、族の基本的な性質を一般化する。

ε ^X _cc = {E ⊆ X : X\E は X の閉じたコンパクト部分集合である}

Xの閉じたコンパクト部分空間の補集合の集合で、アレクサンドロフコンパクト化を構成するのに使用されます。外形学は、端点^[1]の概念を導入して、端点への収束の観点からネットの発散を調べることを可能にし、非コンパクトな位相空間のいくつかの族を調べて分類するための便利なツールです。また、位相空間を他の位相空間の極限としてアプローチするためにも使用できます。外形学は、ヒルベルト空間に埋め込まれたコンパクト距離空間にその開近傍によってアプローチするときに非常に便利です。

(X,τ)を位相空間とする。 (X,τ)上の外部空間は、次を満たす開集合の空でない集合εである。

• E ₁、 E ₂ ∈ εならば、E ₁ ∩ E ₂ ∈ εである。
• E ∈ ε、U ∈ τ、E ⊆ Uならば、U ∈ εです。

外部空間 ( X,τ,ε)は位相空間(X,τ)と外部εから構成される。 εに含まれる開E は外部開部分集合と呼ばれる。写像f:(X,τ,ε) → (X',τ',ε')は連続かつf −1 ⁽ E) ∈ ε （すべてのE ∈ ε'に対して）であるとき、外部写像と呼ばれる。

外部空間と外部地図のカテゴリはEで表されます。Eが完全かつ共完全なカテゴリであることは注目に値します。

• 空間(X,τ)に対しては、常に自明な外部論 ε _tr ={X}を考えることができます。また、一方では、全外部論 ε _tot =τ を考えることができます。外部論εが位相となるのは、 ε=τ のときのみ、空集合がεのメンバーである場合であることに留意してください。
• 空間(X,τ)が与えられたとき、 Xの閉じたコンパクト部分集合の補集合の外在論ε ^X _{cc は}、固有写像の理論との関連を可能にする。
• 空間(X,τ)と部分集合A⊆Xが与えられたとき、族ε(X,A)={U⊆X:A⊆U,U∈τ}はXの外在性である。形状理論と力学系にそれぞれ重要な応用を持つ 2 つの特別なケースは以下のとおりである。
• A がヒルベルト立方体 X=Qの閉部分空間である場合、外部論ε ^A =ε(Q,A)は形状理論の意味でのAの解析です。
• X を連続的な力学系、P を周期点のサブセットとすると、外部論ε(X,P)を考えることができます。より一般的には、A が不変サブセットである場合、外部論ε(X,A)は流れの動的特性を調べるのに役立ちます。

• 適切なホモトピー理論: ^[1]位相空間間の連続写像f:X→Y は、Yのすべての閉じたコンパクト部分集合Kに対して、f ⁻¹ (K)がXのコンパクト部分集合である場合に適切であるという。空間と適切な写像のカテゴリはPで表記される。このカテゴリと対応する適切なホモトピーカテゴリは、非コンパクト空間の研究に非常に役立つ。ただし、このカテゴリには十分な極限と余極限がなく、ループ、ホモトピー極限、余極限などの通常のホモトピー構成を展開できないという問題がある。この問題の答えは、Quillen モデル構造を許容し、空間と適切な写像のカテゴリを完全なサブカテゴリとして含む外部空間のカテゴリEである。つまり、位相空間(X,τ)を外部空間(X,τ,ε ^X _cc )に運ぶ完全で忠実な関手P → Eが存在する。
• 適切なLS カテゴリ: この適切な不変量の Ganea と Whitehead の特徴付けを見つける問題は、(共) 極限がないため、適切なカテゴリ内では対処できません。ただし、この不変量を外部空間のカテゴリに拡張すると、このような問題の解決策を見つけることができます。この数値的な適切な不変量は、開いた 3 次元多様体の研究に適用されています。
• 形状理論:コンパクト計量空間の多くの形状不変量 (ボルスク群、クイグリー内向き群、接近群) は、ヒルベルト立方体に埋め込まれたコンパクト計量空間の開近傍によって決定される外部空間の外部ホモトピー群として得ることができます。
• 離散的および連続的な動的システム (半フローおよびフロー) : 外部空間を動的システムに関連付ける構成は多数あります。たとえば、連続 (離散) フローが与えられた場合、周期点のサブセット、ポアソン周期点、オメガ極限などの開いた近傍によって誘導される外部空間を検討できます。これらの関連する外部空間の構成とプロパティは、(半フロー) フローの動的プロパティを研究するために使用されます。

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