ランベルト正積方位図法

ランベルト正積方位図法は、球面から円盤への特定のマッピングです。球面のすべての領域の面積を正確に表しますが、角度を正確に表すことはできません。1772年に発表したスイスの数学者ヨハン・ハインリヒ・ランベルトにちなんで名付けられました。 ^{[ 1 ]}「天頂」は「方位」と同義であるため、この投影法はランベルト正積天頂図法とも呼ばれます。^{[ 2 ]}

ランベルト方位図法は、地図作成において地図投影法として用いられます。例えば、米国国立地図帳では、オンラインの地図作成アプリケーションで情報を表示するためにランベルト方位等積図法が用いられています^{[ 3 ]} 。また、欧州環境庁は、統計分析や表示のための欧州地図作成にランベルト方位等積図法の使用を推奨しています^{[ 4 ]} 。さらに、地質学などの科学分野では、3次元空間における線の向きをプロットするためにも用いられます。このプロットは、シュミットネットと呼ばれる特殊な方眼紙によって補助されます^{[ 5 ]}。

ランベルト方位角投影を定義するには、球面上の点Sで球面に接する平面を想像します。Pを、Sの対蹠点以外の球面上の任意の点とします。dを、 3 次元空間におけるSとPの間の距離とします(球面上の距離ではありません)。すると、投影によってP は、Sから距離dの平面上の点P′に写像されます。

これをより正確にするために、Sを中心とし、 P を通り、平面に垂直な円が一つだけ存在する。この円は平面と 2 点で交わる。P に近い方をP ′とする。これが投影点である。図を参照のこと。必要な円が一意ではないため、 Sの対蹠点は投影から除外される。S の場合は退化しており、Sは半径 0 の円に沿って自身に投影される。^{[ 6 ]}

コンピュータ上で投影を実行するには、明示的な公式が必要です。中心が にある投影を考えてみましょう。${\displaystyle S=(0,0,-1)}$単位球面上、つまり点の集合は${\displaystyle (x,y,z)}$三次元空間において$\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$そのため、${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$⁠ .デカルト座標系では⁠${\displaystyle (x,y,z)}$球面上で、そして${\displaystyle (X,Y)}$平面上では、射影とその逆は次のように記述される 。$${\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\sqrt {\frac {2}{1-z}}}\,x,{\sqrt {\frac {2}{1-z}}}\,y\right),\\(x,y,z)&=\left({\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,X,{\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,Y,-1+{\frac {X^{2}+Y^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$$

球面座標系において${\displaystyle (\psi ,\theta )}$球面上（${\displaystyle \psi }$余緯度と​​${\displaystyle \theta }$（経度）と極座標${\displaystyle (R,\Theta )}$ディスク上では、マップとその逆は^{[ 6 ]}で与えられる。$${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left(2\cos {\tfrac {1}{2}}\psi ,-\theta \right),\\(\psi ,\theta )&=\left(2\arccos {\tfrac {R}{2}},-\Theta \right).\end{aligned}}}$$

円筒座標系において${\displaystyle (r,\theta ,z)}$球面上および極座標${\displaystyle (R,\Theta )}$平面上では、写像とその逆写像は次のように与えられる 。$${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\sqrt {2(1+z)}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left(R{\sqrt {1-{\frac {R^{2}}{4}}}},\Theta ,-1+{\frac {R^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$$

投影は他の点を中心とすることができ、同様の式を用いて半径が 1 以外の球面上に定義することもできる。^{[ 7 ]}

前節で定義したように、単位球のランベルト方位角投影は ⁠ で定義されない。${\displaystyle (0,0,1)}$⁠ . 残りの球面を原点を中心とする半径2の開いた円盤に送ります。${\displaystyle (0,0)}$平面上で。ポイントを送信します。${\displaystyle (0,0,-1)}$⁠から⁠${\displaystyle (0,0)}$赤道​${\displaystyle z=0}$半径の円へ$\displaystyle {\sqrt {2}}}$中心は⁠${\displaystyle (0,0)}$⁠、そして下半球⁠${\displaystyle z<0}$その円の中にある開いた円盤へ。

この射影は、球面(マイナス⁠${\displaystyle (0,0,1)}$⁠ ) と半径 2 の開円盤。これは面積保存（等面積）マップであり、投影の逆関数でパラメータ化された球の 面積要素を計算することで確認できます$${\displaystyle dA=dX\;dY.}$$ これは、球面上の領域の面積を測定することは、円盤上の対応する領域の面積を測定することと全く同じであることを意味する。

一方、投影法では球面上の曲線間の角度関係は保持されません。球面の一部と平面との間のマッピングでは、角度と面積の両方を保持することはできません。（もし保持できるマッピングがあれば、それは局所等長写像となり、ガウス曲率を保持することになりますが、球面と円盤は曲率が異なるため、これは不可能です。）平面図では球面の領域を完全に表現できないというこの事実は、地図作成における根本的な問題です。

その結果、球面上の領域は、平面に投影されると大きく歪んだ形状になる可能性がある。この歪みは、投影の中心から遠く離れるほど顕著になる。${\displaystyle (0,0,-1)}$実際には、投影は多くの場合、その点を中心とした半球に限定されます。反対側の半球は、対蹠点を中心とした別の投影を使用して個別にマッピングできます。

ランベルト方位図法は、もともと等積図法として考案されました。現在では、地質学などの分野で、以下のように方向データをプロットするためにも使用されています。

3次元空間における方向は、原点を通る直線に対応する。このような直線の集合自体が空間であり、数学では実射影平面と呼ばれる。原点を通るすべての直線は、単位球面とちょうど2点で交わり、そのうちの1点は下半球上にある。${\displaystyle z\leq 0}$（水平線は赤道と交差する）${\displaystyle z=0}$2つの対蹠点において。赤道上の対蹠点は1本の線を表すものと理解されている。（商位相を参照。）したがって、3次元空間における方向は、（ほぼ完全に）下半球上の点に対応する。半球は半径の円盤としてプロットできる。$\displaystyle {\sqrt {2}}}$ランベルト方位図法を用いる。

このように、ランベルト方位図法では、方向を円盤上の点としてプロットすることができます。この図法は等面積性を持つため、円盤上の対応する領域を積分することで、実際の射影平面（方向の空間）の領域を積分することができます。これは、ランダムな剛体回転を含む方向データの統計分析に役立ちます。^{[ 6 ] [ 8 ]}

ランベルト方位図法では、原点を通る直線だけでなく平面も描画できます。平面は半球と円弧を描き、これを平面の軌跡と呼びます。この軌跡は円盤上に投影され、通常は非円形の曲線になります。この曲線を描画することもできますし、あるいは平面に垂直な直線（極）に置き換えて、その直線を描画することもできます。複数の平面を同時に描画する場合、軌跡ではなく極を描画する方が、より見やすい図になります。

構造地質学の研究者は、ランベルト方位図法を用いて、結晶軸や結晶面、岩石中の線構造や葉理、断層中の条線、その他の線状および平面状の特徴を図示します。この文脈では、この投影法は等面積半球投影法と呼ばれます。また、立体投影法によって定義される等角半球投影法もあります。^{[ 6 ]}

ここでの議論は、下半球を内側から外側へと捉える視点を強調してきた。${\displaystyle z\leq 0}$（星図に見られるように）しかし、一部の分野（地図作成など）では、上半球を外側から内側に見る視点を好む。${\displaystyle z\geq 0}$^{[ 6 ]}実際、どの半球でも三次元空間の原点を通る線を記録するために使用できます。

ランベルト正積方位図法と、北緯90度を中心とするいくつかの方位図法を 同じ縮尺で比較したもの。投影高度は地球半径で表した順になっている（詳細はこちらをクリック  ）。

させて${\displaystyle (u,\phi )}$2 つのパラメータ${\displaystyle -1<u\leq 1}$そして${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$。 させて${\displaystyle H}$は「時間」パラメータ（アニメーション内のシェルの高さ、つまり垂直方向の厚さに等しい）です。均一な直交グリッドが描画されている場合、${\displaystyle (u,\phi )}$空間では、このグリッド内の任意の点が点に変換されます${\displaystyle (x,y,z)}$高さの球殻上で${\displaystyle H}$マッピングによると $${\displaystyle x=\lambda (u,H)\cos(\phi )}$$$${\displaystyle y=\lambda (u,H)\sin(\phi )}$$$${\displaystyle z={\frac {Hu}{2}}}$$ どこ${\displaystyle \lambda (u,H)={\frac {1}{2}}{\sqrt {(1-u)\left[8-H^{2}(1-u)\right]}}}$アニメーションの各フレームは、シェル高さの固定値における変形グリッドのパラメトリックプロットに対応しています。${\displaystyle H}$（0から2の範囲）。物理的には、${\displaystyle \lambda }$は微小線分の伸び（変形後の長さ÷初期の長さ）である。${\displaystyle d\phi }$このマッピングは、代わりに線分を使用することで、南極を固定したままのマッピングに変換できます。${\displaystyle z={\frac {H(1-u)}{2}}.}$

価値に関係なく${\displaystyle (u,\phi ,H)}$このマッピングのヤコビアンは常に 1 に等しく、アニメーション全体を通して等面積マッピングであることを示しています。この一般化されたマッピングには、ランベルト投影が特殊なケースとして含まれます。${\displaystyle H=0}$。

応用例：このマッピングは、ランベルト投影法の意味を説明するのに役立ちます。極で球体を「剥がす」ことで、グリッドセルで囲まれた領域を変えることなく、球体を円盤状に変形させることができるからです。

• 地図投影法の一覧
• 方位等距離投影
• 欧州の送電網
• ハンマーの投射

• 座標変換の図解による説明
• ウィキメディア・コモンズにあるランベルト正積方位図法に関するメディア
• 方位図作成ツール– 任意の場所を中心とした、カスタマイズ可能な方位等積投影図を作成できるインタラクティブツール。スタイル設定やエクスポートオプションもカスタマイズ可能です。