等高線

2変数関数の等高線（等高線、等値線、等量線、等量線とも呼ばれる）は、関数が一定値を持つ曲線であり、等しい値の点を結びます。[ 1 ^{] [2]}これは、関数の3次元グラフの平面に平行な部分です。より一般的には、2変数関数の等高線は、関数が同じ特定の値を持つ点を結ぶ曲線です。^[2]${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$

地図学では、等高線（単に「等高線」と呼ばれることが多い）は、平均海面などの特定のレベルから等しい標高（高さ）の点を結びます。^[3]等高線図は、地形図などの等高線で描かれた地図であり、谷や丘、斜面の急峻さや緩やかさを示します。^[4]等高線図の等高線間隔は、連続する等高線間の標高の差です。^[5]

関数の勾配は、常に等高線に対して垂直です。等高線が接近しているときは、勾配の大きさは大きくなり、変化は急になります。レベル セットは、任意の数の変数の関数の等高線を一般化したものです。

等高線は、地図上で曲線、直線、またはその両方の線が混ざったもので、実際または仮想の表面と 1 つ以上の水平面との交差を表します。これらの等高線の構成により、地図の読者はパラメーターの相対的な勾配を推測し、特定の場所でそのパラメーターを推定できます。等高線は、写真測量士が立体モデルを見て標高等高線をプロットする場合のように、表面の目に見える 3 次元モデル上にトレースされる場合もあれば、コンピューター プログラムがエリアの重心の観測点のネットワークに等高線を通す場合のように、推定された表面標高から補間される場合もあります。後者の場合、補間方法は個々の等高線の信頼性と、傾斜、くぼみ、山頂の描写に影響します。 ^[6]

等深線の概念は、何度か再発見された。最も古い等深線（深さが一定の等深線）は、オランダ人のピーテル・ブルーインスが1584年に作成した、ハールレム近郊のスパーネ川の地図に見られる。^[7] 1701年、エドモンド・ハレーは、磁気変化の図表にそのような線（等角線）を使用した。^[8] オランダの技術者ニコラス・クルキウスは1727年にメルウェーデ川の川床を1ファゾム間隔で等深線（等深線）で描き、フィリップ・ブアシュは1737年に作成され1752年に出版されたイギリス海峡の海図でそれらを10ファゾム間隔で使用しました。これらの線は、ドメニコ・ヴァンデッリが1746年にモデナ・レッジョ公国の地図で陸地の表面（等高線）を描くために使用され、1771年にデュカルラが理論的に研究し、チャールズ・ハットンはシーハリオンの実験でそれらを使用しました。1791年、JLデュパン・トリエルによるフランスの地図には、20メートル間隔の等深線、ハッチ、スポット高、垂直断面が使用されました。 1801年、フランス陸軍工兵隊のハクソ隊長は、ナポレオン時代の現在の北イタリアにあるロッカ・ダンフォの計画図に、1:500というより大きな縮尺の等高線を使用した。^{[9] [10] [11]}

1843年頃、陸地測量部がイギリスとアイルランドで等深線を定期的に記録し始めた頃には、等深線は既にヨーロッパ諸国で一般的に使用されていました。等深線は、ロシアでは1834年から、イギリスでは1838年から、海図で日常的に使用されるようになりました。^{[9] [12] [13]}

この技法のさまざまな用途が個別に発明されるにつれて、地図製作者たちは共通のテーマを認識し始め、これらの「等価値の線」を一般に何と呼ぶべきかについて議論した。アイソグラム（古代ギリシャ語 のἴσος (isos)  「等しい」と γράμμα (gramma)  「書く、描く」に由来）という言葉は、ある物理的状態や量の等価性を示す線を指すために1889年にフランシス・ゴルトンによって提案されたが、[ 14 ^]アイソグラムは文字が繰り返されない単語を指すこともできる。1944年になっても、ジョン・K・ライトはまだアイソグラムを好んでいたが、広く使われることはなかった。20世紀初頭、 1911年までに米国ではisopleth（πλῆθος、plethos、「量」）が使用され、isarithm（ἀριθμός、arithmos、「数」）がヨーロッパで一般的になった。ギリシャ語と英語の混成等尺線や等尺線（μέτρον、メトロン、「尺度」）などの代替案も登場しました。単一の基準を選択する試みにもかかわらず、これらの代替案はすべて現在まで生き残っています。^{[15] [16]}

等高線付きの地図が一般的になるにつれ、このアイデアは他の用途にも広がりました。おそらく最も最近開発されたのは、大気質と騒音公害の等高線地図です。これは、主にこれらのパラメータの空間的描写を義務付ける国の法律の結果として、1970 年頃に米国で初めて登場しました。

等高線には、マップされる変数の性質に応じて「 iso- 」で始まる特定の名前が付けられることがよくありますが、多くの場合、「等高線」という語句が最も一般的に使用されます。特定の名前は、異なる変数を含む複数のマップを同時に表示できる気象学で最もよく使用されます。接頭辞「' iso- 」を「 isallo- 」に置き換えると、特定の期間に 変数が同じ割合で変化するポイントを結ぶ等高線を指定できます。

等角線(古代ギリシャ語 のγωνία (gonia)  「角度」に由来) は、方向を測定する変数の等高線です。気象学および地磁気学において、等角線という用語には、以下に説明する特定の意味があります。等傾斜線( κλίνειν、klinein、「傾く、傾斜する」) は、等しい傾斜を持つ点を結んだ線です。人口動態学および地磁気学において、等傾斜線および等傾斜線という用語には、以下に説明する特定の意味があります。

等距離点の曲線は、特定の点、線、またはポリラインからすべて同じ距離にある点の集合です。この場合、等高線に沿って値が一定に保たれる関数は距離関数です。

1944年、ジョン・K・ライトは、一点で測定できない変数を表す等高線に等高線という用語を使用するよう提案した。等高線は、一点で測定できる変数を表す等高線とは対照的であり、等尺線は一点で測定できない変数を表す等高線とは対照的である。この区別はそれ以来一般的に採用されている。^{[16] [17]}等高線の例としては人口密度が挙げられ、人口密度は国勢調査区の人口をその区の表面積で割ることで計算できる。計算された各値は、その変数の領域の中心の値であると推定され、補間処理によって等高線を描くことができる。等高線図の考え方は、階級区分図の考え方と比較することができる。^{[18] [19]}

気象学では、等高線という言葉はあらゆる種類の等高線に使われます。^[20]

気象等高線は、気象観測所や気象衛星から受信したポイント データの補間に基づいています。気象観測所が等高線上に正確に位置していることはほとんどありません (位置している場合は、測定値が等高線の値と正確に等しいことを示します)。代わりに、利用可能な散在する情報ポイントに基づいて、正確な値の位置を最も正確に近似する線が描かれます。

気象等高線図には、特定の時点における実際の気圧などの収集データ、一定期間の平均気圧などの一般化されたデータ、または将来のある時点で予測される気圧などの予測データが表示される場合があります。

熱力学図では、複数の重なり合う等高線セット (等圧線や等温線を含む) を使用して、気象システムの主要な熱力学的要因を図で表します。

等圧線（古代ギリシャ語のβάρος (baros)  「重さ」に由来）は、グラフ、プロット、または地図上の等圧線、つまり圧力の等値線または等高線である。より正確には、等圧線は、指定された期間に海面まで下げられた平均気圧が等しい場所を結んで地図上に引かれた線である。気象学では、示されている気圧は海面まで下げられたものであり、地図上の場所の表面気圧ではない。^{[21]等圧線の分布は}風の場 の大きさと方向と密接に関連しており、将来の気象パターンを予測するために使用できる。等圧線はテレビの天気予報でよく使用される。

等圧線は、特定の時間間隔で圧力が等しく変化する点を結んだ線です。^[22]これらは、特定の時間間隔で圧力が等しく増加する点を結んだ線である異圧線と、 ^[23]圧力が等しく減少する点を結んだ片圧線に分けられます。^[24]一般に、気象システムは高等圧中心と低等圧中心を結ぶ軸に沿って移動します。^[25]等圧勾配は、地衡風を増減させるため、風の重要な構成要素です。

等密度線は、密度が一定の線です。等高線または等高線は、等圧面図上の一定のジオポテンシャル高さの線です。等高線と等高線は、単に地図上で等圧を示す線として知られています。

等温線（古代ギリシャ語 のθέρμη （thermē）  「熱」に由来）は、地図上で同じ温度の点を結ぶ線である。したがって、等温線が通るすべての点は、示された時間に同じか等しい温度になる。^{[26] [2]} 0℃の等温線は、氷点と呼ばれる。この用語は、プロイセンの地理学者で博物学者のアレクサンダー・フォン・フンボルトによって造られたもので、彼は植物の地理的分布に関する研究の一環として、1817年にパリで最初の等温線地図を出版した。^[27]

等温線は冬の平均気温が等しい線であり、等温線は夏の平均気温が等しい線です。

等角線( ἥλιος 、ヘリオス、 「太陽」) は、等しいまたは一定の太陽放射の線です。

等地温線とは、地球の表面下の等温度線です。

等雨量線（古代ギリシャ語のὑετός (huetos) 「雨」に由来）は、地図 上で一定期間に等しい降雨量の地点を結んだ線です。等雨量線のある地図は、等雨量線地図と呼ばれます。

等湿度線は相対湿度が一定の線であり、等露温線（古代ギリシャ語 のδρόσος (drosos)  「露」と θέρμη (therme)  「熱」に由来）は露点が等しいか一定である線です。

等雲線は、雲量が等しいことを示す線です。

等雹線は雹嵐の頻度が一定である線であり、等ブロントは雷雨活動の特定の段階が同時に発生した地理的地点を通る線です。

積雪は等高線地図として示されることが多いです。

等速直線(古代ギリシャ語の ταχύς (tachus)  「速い」に由来) は、一定の風速を持つ点を結んだ線です。気象学では、等速直線という用語は、一定の風向を持つ線を指します。

等圧線は各冬に氷が形成される日付が等しいことを示し、等圧線は氷が解ける日付が等しいことを表します。

等高線は、地図上で標高や高度、深さを表すために使用される一般的な方法の 1 つです。等高線から、大まかな地形の感覚を判断できます。等高線は、大規模な設計図や建築計画から、地形図や海底地形図、大陸規模の地図まで、さまざまなスケールで使用されます。

地図作成では「等高線」が最も一般的に使用されますが、水深測量図上の水中深度を表す等深線や標高を表す等高線も使用されます。

地図作成において、等高線間隔とは、隣接する等高線間の標高差のことです。等高線間隔は、1 つの地図上で同じである必要があります。地図の縮尺に対する比率として計算すると、地形の起伏の程度がわかります。

地形の等高線を解釈する際には、注意すべきルールがいくつかあります。

• V 字の法則: 鋭く尖った V 字は通常、川の谷にあり、排水路は V 字の先端を通過し、V 字は上流を向いています。これは侵食の結果です。
• Osの法則：閉じたループは通常、内側が上り坂で外側が下り坂になっており、最も内側のループが最も高いエリアです。ループが窪地を表している場合は、一部の地図では、等高線に垂直で低地の方向を指すハチュアと呼ばれる短い線でこれを示します。^{[28] （この概念は、}ハチュア地図で使用されるハチュアと似ていますが、異なります。）
• 等高線の間隔: 等高線が近いほど傾斜が急で、等高線が遠いほど傾斜が緩やかです。2 つ以上の等高線が合流している場合は崖です。川の区間を横切る等高線の数を数えることで、川の勾配を概算できます。

もちろん、2 点間の標高差を判断するには、等高線間隔、つまり 2 つの隣接する等高線間の高度距離を知る必要があり、これは通常、地図キーに記載されています。通常、等高線間隔は地図全体で一貫していますが、例外もあります。平坦な場所には中間等高線が存在する場合があります。中間等高線は、記載されている等高線間隔の半分の点線または破線で表示されます。山や平坦な低地を含む小縮尺の地図で等高線が測地色で使用されている場合、すべてのエリアの詳細が表示されるように、標高の低い場所では等高線間隔が狭くなるのが一般的です。逆に、急峻な崖に囲まれた台地で構成されている島の場合は、標高が高くなるにつれて等高線間隔を狭くすることができます。^[29]

等電位マップは、空間内の静電ポテンシャルの尺度であり、多くの場合、その電位を誘導する静電荷とともに 2 次元で表されます。等電位線または等電位線という用語は、一定の電位 の曲線を指します。等電位線を横切ることが電位の上昇を表すか下降を表すかは、電荷のラベルから推測されます。3 次元では、等電位面は2 次元の断面で表され、面と断面の交点に 等電位線が表示されます。

一般的な数学用語であるレベル セットは、特に高次元空間において、特定の可能性を持つ点の完全な集合を表すためによく使用されます。

地球の磁場の研究では、アイソゴンまたはアイソゴニック線という用語は、一定の磁気偏角、つまり地理的な北からの磁北の変化の線を指します。アイソゴン線は、磁気偏角がゼロの点を通って引かれます。アイソポリック線は、磁気偏角の年間変動が一定の線を指します。^[30]

等傾斜線は、等しい磁気傾斜の点を結び、等傾斜線は磁気傾斜がゼロの等傾斜線です。

等力線（「力」を意味するδύναμιςまたはdynamisから）は、磁力の強さが同じ点を結びます。

海洋学者は、海洋深度の他に、気象学者が大気現象を説明するのと同じように、等高線を使用して拡散変動現象を説明します。特に、等深線は水温が等しい水深を示す線、等塩線は海洋塩分濃度が等しい線、等密度線は水密度が等しい表面を示します。

構造地質学、堆積学、地層学、経済地質学では、さまざまな地質データが等高線図として表されます。等高線図は、地層の地下表面、断層面（特に低角の逆断層）、不整合を示すために使用されます。等厚線図は、等厚線（等厚線）を使用して、地質単位の厚さの変化を示します。

汚染について議論する場合、密度マップは汚染源や汚染が最も深刻な地域を示すのに非常に役立ちます。等高線マップは、拡散形態や汚染規模の拡大に特に役立ちます。酸性雨は等高線でマップ上に表示されます。環境科学における等高線マップの最も広範な用途には、環境騒音（等音圧レベルの線を等高線で示す[ ^31]）、大気汚染、土壌汚染、熱汚染、地下水汚染のマッピングがあります。等高線植栽や等高線耕作によって、水の流出率、ひいては土壌浸食を大幅に減らすことができます。これは河川沿いの地域 では特に重要です。

等層地図は、生物多様性が同程度の地域を結ぶ等高線です。通常、変数は、特定の属または科に属する、ある地域に生息する種の数です。等層地図は、多様性の中心などの分布パターンや傾向を示すために使用されます。^[32]

経済学では、等高線は空間的に量的に変化する特徴を表すために使用できます。等時線は、特定の場所までの等距離の運転時間または移動時間を示す線で、等時線マップの作成に使用されます。等時線は原材料の供給元からの等距離の輸送コストを示し、等距離線は移動時間の等距離コストを示します。

等高線は、経済学において、地理的でない情報を示すためにも使用されます。無差別曲線(左図) は、人が同等の効用を割り当てる商品の束を示すために使用されます。等量線(右図) は、入力用途の代替組み合わせに対して生産量が等しい曲線であり、等費用曲線(同じく右図) は、生産コストが等しい代替用途を示します。

政治学では、連合を理解するために同様の方法が用いられている（例えば、レーバーとシェプスルの研究^[33]の図）。

個体群動態において、等傾斜線は、相互作用する一対の個体群のうちの一方の個体群の変化率、または偏微分がゼロになる個体群サイズの集合を示します。

統計学において、等密度線^{[34]または等密度線は、}確率密度の値が同じである点を結んだ線である。等密度線は二変量分布を表示するのに用いられる。例えば、二変量楕円分布の場合、等密度線は楕円となる。

熱力学、工学、およびその他の科学におけるさまざまな種類のグラフでは、等圧線（一定圧力）、等温線（一定温度）、等容積線（一定比容積）、またはその他の種類の等値線が使用されますが、これらのグラフは通常、地図とは関係ありません。このような等値線は、2 次元グラフで 2 つ以上の次元（または量）を表すのに役立ちます。熱力学における一般的な例としては、いくつかの種類の状態図があります。

等傾斜線は常微分方程式を解くために使用されます。

レーダー画像を解釈する場合、等ドップラーはドップラー速度が等しい線であり、等エコーはレーダー反射率が等しい線です。

混成等高線の場合、混成軌道のエネルギーと純粋な原子軌道のエネルギーがプロットされます。得られたグラフは混成等高線と呼ばれます。

• 等高線：オーロラの等発生
• 等容積：体積
• 等線量：放射線の吸収線量
• 等位線：植物の開花など、偶然に起こる生物学的現象
• 等照度：照度
• 携帯電話:携帯電話の受信電力と携帯電話のカバーエリア

• 画像分割後のレベルセットの境界の検出
  • エッジ検出
  • レベルセット法
  • 境界の追跡
• アクティブ輪郭モデル

等高線図の読みやすさを最大限にするために、地図作成者は、主に線の太さ、線の色、線の種類、数値マークの方法など、 いくつかのデザイン選択肢を利用できます。

線の太さは、単に使用される線の濃さまたは厚さです。この選択は、読者が地図自体の背景情報を解読できるようにする、最も邪魔にならない等高線の形に基づいて行われます。基本地図にコンテンツがほとんどないかまったくない場合、等高線は比較的太い太さで描かれることがあります。また、地形図などの多くの等高線では、線の太さや色を変えるのが一般的であり、特定の数値に対して異なる線の特性が生じます。たとえば、上記の地形図では、100 フィートの標高は 20 フィート間隔とは異なる太さで示されています。

線の色は、表示に適した任意の数の顔料から選択できます。等高線を基本地図から区別するために、色だけでなく光沢やツヤが使用されることもあります。線の色は、他の情報を表示するために変更できます。

線の種類は、基本的な等高線が実線、破線、点線、または他のパターンで破線になっているかどうかを示し、目的の効果を生み出します。点線または破線は、基礎となるベースマップが非常に重要な (または読みにくい) 情報を伝える場合によく使用されます。破線の種類は、等高線の位置が推測される場合に使用されます。

数値マーキングは、等高線の算術値を表す方法です。これは、等高線のいくつかに沿って数字を配置することで実行できます。通常は、介在する線を補間します。あるいは、等高線とその値を関連付けた地図キーを作成することもできます。

等高線に数値ラベルが付いておらず、隣接する線が同じスタイル (同じ太さ、色、種類) である場合、等高線だけでは勾配の方向を判断することはできません。ただし、等高線が 3 つ以上のスタイルを循環している場合は、線から勾配の方向を判断することができます。数値テキスト ラベルの方向は、傾斜の方向を示すためによく使用されます。

最も一般的には、等高線は平面図、または宇宙の観測者が地球の表面を見るのと同じように、通常の地図の形式で描かれます。ただし、一部のパラメータは、マッピングされたパラメータの垂直プロファイルを示すプロファイル ビューで表示できることがよくあります。プロファイルにマッピングされる最も一般的なパラメータには、大気汚染物質の濃度と騒音レベルがあります。これらの各ケースでは、たとえば都市部のアパートの異なる階に住む人々など、異なる標高にいる人々に対する空気の質や騒音の健康影響を判断するために、さまざまな高さで（大気汚染物質の濃度または騒音レベルを）分析することが重要になる場合があります。実際には、平面図とプロファイル ビューの両方の等高線マップが、大気汚染と騒音公害の調査で使用されます。

ラベルは標高図の重要な要素です。適切にラベル付けされた等高線図は、地形の形状を素早く解釈するのに役立ちます。数字が互いに近い位置にある場合、地形が急峻であることを意味します。ラベルは、できれば複数の方向から山頂または天底を「指す」わずかに湾曲した線に沿って配置し、山頂または天底を視覚的に識別しやすくする必要があります。^{[35] [36]}等高線ラベルは、読者がラベルを読むときに上り坂を向くように配置できます。

等高線地図に手動でラベルを付ける作業は時間のかかる作業ですが、自動ラベル配置と呼ばれる、地図作成の慣例に従って自動的にこの作業を実行できるソフトウェア システムがいくつかあります。

ウィキメディア・コモンズには、等高線に関連するメディアがあります。

• フォースライトのフロンティステリー