ダイヤモンドキュービック

ダイヤモンド格子の立体投影における極点図。［111］方向に沿った3回対称性を示す。

結晶学において、ダイヤモンドの立方晶構造は、特定の物質が凝固する際に採用する8個の原子の繰り返しパターンです。最初に知られている例はダイヤモンドですが、 α-スズ、半導体のシリコンとゲルマニウム、および任意の比率のシリコン-ゲルマニウム合金など、 14族の他の元素もこの構造を採用しています。また、クリストバライトの高温形態のように、ダイヤモンドの炭素原子の位置に1種類の原子（クリストバライトのシリコンなど）があり、それらの中間に別の種類の原子（酸素など）がある、類似の構造を持つ結晶もあります（カテゴリ:空間群227の鉱物を参照）。

この構造はしばしばダイヤモンド格子と呼ばれるが、数学で用いられる厳密な意味での格子ではない。

結晶構造

ダイヤモンドの立方構造は、面心立方ブラベー格子に従うFd 3 m空間群(空間群 227) に属します。格子は繰り返しパターンを記述します。ダイヤモンド立方結晶の場合、この格子は、各基本セル内の2 つの四面体結合原子のモチーフで「装飾」されており、各次元で単位セルの幅の 1/4 だけ離れています。 [ 1 ]ダイヤモンド格子^は^、^各次元で単位セルの幅の1/4だけ離れた、交差する一対の面心立方格子として見ることができます。ガリウムヒ素、β-シリコン炭化物、インジウムアンチモン化物などの多くの化合物半導体は、類似の閃亜鉛鉱構造を採用しており、各原子は異なる元素の最近接原子を持っています。閃亜鉛鉱の空間群はF43mですが、その構造特性の多くはダイヤモンド構造と非常によく似ています。^[²^]

ダイヤモンド立方構造の原子充填率（構造の頂点を中心とし、重なり合わない限り最大の球によって満たされる空間の割合）は $\displaystyle {\tfrac {\pi {\sqrt {3}}}{16}}\approx 0.34,}$ ^{[ 3 ]}面心立方格子および体心立方格子の充填率よりも著しく小さい（密度が低い構造を示す）。^{[ 4 ]}閃亜鉛鉱構造は、2 つの構成原子の相対的なサイズに応じて、0.34 より高い充填率を持つ。

立方格子定数を単位とした、第一、第二、第三、第四、第五の最近接原子間距離は以下のとおりである。 ${\tfrac {\sqrt {3}}{4}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {11}}{4}},1,{\tfrac {\sqrt {19}}{4}},$ それぞれ。

数学的構造

数学的には、ダイヤモンド立方構造の点は、4単位の立方単位セルを使用して、3次元整数格子の部分集合として座標を与えることができます。これらの座標により、構造の点は方程式^[⁵^]を満たす座標 $(x 、 y 、 z)を持ちます。$ ${\begin{aligned}x=y&=z\ ({\text{mod }}\ 2),\\x+y+z&=0{\text{ または }}1\ ({\text{mod }}\ 4).\end{aligned}}$

これらの条件を満たす点（法4）は8つあります。

(0,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0),

(3,3,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)

この構造内の他のすべての点は、これら 8 つの点の $x、y、z$ 座標に 4 の倍数を加えることで得られます。この構造内の隣接する点は距離⁠ $\displaystyle {\sqrt {3}}}$ 整数格子内で離れており、ダイヤモンド構造の辺は整数格子立方体の体対角線に沿っています。この構造は、 $すべて$ の座標を a / 4 で乗算することにより、一辺が a 単位の $立方体$ $単位$ $セル$ $に$ $拡大$ することができます。

あるいは、ダイヤモンド立方構造の各点は、合計がゼロまたは 1 になる 4 次元整数座標で表すことができます。 2 つの点がダイヤモンド構造で隣接しているのは、それらの 4 次元座標が 1 つの座標で 1 だけ異なる場合のみです。任意の 2 つの点間の座標値の合計差 (それらの 4 次元マンハッタン距離) は、ダイヤモンド構造におけるそれらの間の最短経路のエッジの数を示します。この座標系では、各点の 4 つの最近傍は、座標の合計がゼロまたは 1 になる場合に応じて、4 つの座標のそれぞれに 1 を加えるか、4 つの座標のそれぞれから 1 を引くことによって得られます。これらの 4 次元座標は、式^{[ 5 ]}^{[ 6 ]によって 3 次元座標に変換できます。} $(a,b,c,d)\to (a+bcd,\ a-b+cd,\ -a+b+cd).$ ダイヤモンド構造は4次元整数格子の距離保存部分集合を形成するため、部分立方体である。^{[ 6 ]}

ダイヤモンドキュービックの別の座標化では、3次元グリッドグラフから一部のエッジが除去されます。この座標化では、標準的なダイヤモンドキュービック構造とは歪んだ形状ですが、トポロジー構造は同じで、ダイヤモンドキュービックの頂点はすべての可能な3Dグリッドポイントで表され、ダイヤモンドキュービックのエッジは3Dグリッドエッジのサブセットで表されます。^{[ 7 ]}

ダイヤモンド立方体は「ダイヤモンド格子」と呼ばれることもありますが、数学的には格子ではありません。たとえば、点 (0,0,0) を点 (3,3,3) に変換するような並進対称性はありません。しかし、それでも非常に対称的な構造です。任意の頂点と辺のペアは、ユークリッド空間の合同によって他の任意のペアに変換できます。さらに、空間内のネットワークとしてのダイヤモンド結晶は、強い等方性を持っています。^[⁸^]つまり、結晶ネットの任意の2 つの頂点 $x、yと、$ $xに隣接する辺の任意の順序、および$ $y$ に隣接する辺の任意の順序に対して、 $xを$ $y$ に、各 $x$ 辺を同様に順序付けられた $y$ 辺に変換するネット保存合同が存在します。この性質を持つ別の (仮想の) 結晶は、ラーベスグラフ(K ₄結晶、(10,3)-a、またはダイヤモンド双晶とも呼ばれる)です。 ^[⁹^]

機械的特性

ダイヤモンドや窒化ホウ素などの様々な材料の圧縮強度と硬度（これは密接に関連する閃亜鉛鉱構造を持つ）は、ダイヤモンドの立方晶構造に起因する。^{[ 10 ]}

同様に、ダイヤモンド立方体形状に従うトラスシステムは、個々の支柱の非支持長さを最小限に抑えることで、圧縮に耐える能力が高い。^{[ 11 ]}ダイヤモンド立方体形状は、構造的剛性を提供する目的でも検討されてきたが^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} 、八面体トラスなどの骨格三角形で構成された構造の方が、この目的にはより効果的であることがわかっている。

参考文献

↑小橋浩二 (2005)「2.1 ダイヤモンドの構造」、ダイヤモンド薄膜：配向成長およびヘテロエピタキシャル成長のための化学気相成長法、エルゼビア、9ページ、ISBN 978-0-08-044723-0。
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↑ Askeland, Donald R.; Phulé, Pradeep Prabhakar (2006), "例3-15: ダイヤモンド立方シリコンの充填率の決定", The Science and Engineering of Materials , Cengage Learning, p. 82, ISBN 978-0-534-55396-8。
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↑ Parhami, B.; Kwai, Ding-Ming (2001), "ハニカムネットワークとダイヤモンドネットワークの統一的定式化", IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems , 12 (1): 74–80 , doi : 10.1109/71.899940。
↑砂田俊和(2012) 『トポロジカル結晶学 -離散幾何解析への展望-』、シュプリンガー、ISBN 978-4-431-54176-9
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↑ギルマン、J.「四面体トラス」、米国、米国特許、US4446666、1981年

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにあるダイヤモンド立方体に関連するメディア
ダイヤモンド立方格子上で自己回避ランダムウォークを構築するソフトウェア

[1] 小橋浩二 (2005)「2.1 ダイヤモンドの構造」、ダイヤモンド薄膜：配向成長およびヘテロエピタキシャル成長のための化学気相成長法、エルゼビア、9ページ、ISBN 978-0-08-044723-0。

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[3] Askeland, Donald R.; Phulé, Pradeep Prabhakar (2006), "例3-15: ダイヤモンド立方シリコンの充填率の決定", The Science and Engineering of Materials , Cengage Learning, p. 82, ISBN 978-0-534-55396-8。

[4] Novikov, Vladimir (2003), Concise Dictionary of Materials Science: Structure and Characterization of Polycrystalline Materials , CRC Press, p. 9, ISBN 978-0-8493-0970-0。

[ny09-5] 1 2 Nagy, Benedek; Strand, Robin (2009)、「ダイヤモンドグリッドにおける近傍シーケンス – 4 つの近傍を持つアルゴリズム」、組み合わせ画像解析: 第 13 回国際ワークショップ、IWCIA 2009、メキシコ、プラヤ・デル・カルメン、2009 年 11 月 24 ～ 27 日、議事録、Lecture Notes in Computer Science、vol. 5852、Springer-Verlag、pp. 109～ 121、Bibcode : 2009LNCS.5852..109N、doi : 10.1007/978-3-642-10210-3_9、ISBN 978-3-642-10210-3。

[e09-6] 1 2 Eppstein, David (2009)、「等長ダイヤモンドサブグラフ」、Tollis, Ioannis G.、Patrignani, Maurizio (編)、Graph Drawing: 16th International Symposium, GD 2008、ギリシャ、クレタ島、イラクリオン、2008年9月21～24日、Revised Papers、Lecture Notes in Computer Science、vol. 5417、Springer-Verlag、pp. 384–389、arXiv : 0807.2218、doi : 10.1007/978-3-642-00219-9_37、ISBN 978-3-642-00219-9S2CID 14066610 。

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[8] 砂田俊和(2012) 『トポロジカル結晶学 -離散幾何解析への展望-』、シュプリンガー、ISBN 978-4-431-54176-9

[9] 砂田俊和（2008）「自然が作り損ねるかもしれない結晶」アメリカ金属学会報、55：208-215

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は

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[ 6 ]によって 3 次元座標に変換できます。

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関連項目

参考文献

外部リンク

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